1、2014余杭區教育學會論文初巾數學學科皮亞杰認知發展理論在初中生解題能力培養中的應用研究【內容摘要】作為初中教師，我們面對的是初中生。作為學生，進入初中階 段后，懂事了很多，懂得自己去思考如何掌握老師傳授的知識，從而提高學習成績。作為老師，則也在思考如何提升學生的解題能力， 從而提高學生的學習成績。 本文主要論述教師如何利用皮亞杰認知發展理論， 利用培養數學語感、創造解題 氛圍再加上合適的引導等方法達到增加記憶深度、 擴大記憶廣度的目的，并運用 聯想記憶等方法，有效提高學生的解題能力。【關鍵詞】皮亞杰、認知發展、聯想、解題前言我們先來看一道例題，此題是八年級一次函數章節復習課例題。弓I例：觀察

2、圖形，你能從圖形中得到什么信息？(1)你能否利用這個信息求得該直線的函數關系式嗎？(2)點(2,m)在這條直線上，則 m=;(3)當-3My M3時x的取值范圍為;(4)圖象與兩坐標軸圍成三角形的面積為 ;1(5)在上圖中作出y2= x+1的圖象，并求出兩圖象的父點;2(6)兩函數與x軸圍成的面積為 ;(7)當 x 時，y 0,當 x 時,y2 y.本題題型比較基礎，所以對學生的解題速度做了一定的要求，規定了解題時 問。全班48位學生，在規定時間內，按時完成題目的人數1,做全對的人數0.在九年級中考復習專題一次函數課上，再一次出示了本題，并且縮短了 解題時間，做完題目的人數為 9,做全對白勺人

3、數為1。究其原因，能做完題目的 學生都記得以前做過這一題，解題時思路比較清晰，寫過程時感到非常順暢。做全對的這位同學記的更清楚，還記得兩條直線的交點坐標具體是多少。“做全對是因為記得，這種情況值得我們進行思考。學生對于做過的題做 不出或者做不到全對，原因很多，本題的解答情況體現了記憶方面的原因有著決 定性的作用。初中生的記憶發展有一定的特點和規律， 前蘇聯的心理學家維果斯 基特別提出：“教學應當走在發展的前面。”如果在教學中我們能掌握并順應此規 律，就可以走在發展的前面，更有效地提高學生的解題能力。本文主要利用皮亞 杰的有關初中生的認知發展理論， 通過增加記憶深度、擴大記憶廣度、利用記憶 的聯

4、想等途徑，達到提高解題能力的目的。正文瑞士心理學家皮亞杰認知發展理論認為初中生的認知屬于第四階段(11-16歲)：形式運算階段。此階段記憶發展的最大特點，就是青少年時期的記憶力是 人生中記憶力的“最佳時期”，達到了記憶的“高峰”。我們在教學中能夠抓住最 佳機會，對學生進行適當的記憶訓練，就可以達到事半功倍的作用。一、增加記憶深度相對于高中生以意義識記為主，初中生的機械識記能力較好，并隨著年齡的 增長呈下降趨勢。教學中，我們應抓住機械識記能力發展階段的“尾巴”，進行一些讀、記方面的訓練。同時，給學生創造一個學習氣氛濃厚的解題環境，并引 導學生能夠充分地理解并能利用題中所給的已知條件， 理解后再去

5、掌握題目的解法，對于相同類型的題就可以觸類旁通，從會解一道題轉化為會解多道題，達到 增加記憶深度的目的。（一）語感的培養不能忽略學英語時，經常被老師告誡：語感很重要，要多讀多背！有時候做單項選擇 題時一般講不清為什么，但是絕對正確！語感具有一聽就清，一說就順，一寫就 通，一讀就懂的功能。其實，數學也是一門語言，也需要語感。數學中的語感可 以歸結為把定理、法則轉化為數學語言（主要由中文、數字、數學符號等組成），即把文字敘述的定理、公式等進行“翻譯”并應用到解題過程中去。在學習幾何 方面內容時，語感的作用尤為重要。請看下面的例題：例1:下列命題是假命題的是（）A.兩條平行直線被第三條直線所截，同旁

6、內角互補；B.腰長和一個底角相等的兩個等腰三角形全等；C.垂直于同一條直線的兩條直線平行；D. 一條邊上的中線等于這條邊一半的三角形是直角三角形；本題考察的是學生對于定理“同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平 行”的條件和結論的認識和理解。條件是“同一平面的兩條直線垂直于同一條直 線”，結論是“這兩條直線平行”，翻譯成數學語言請看下圖1,直線a與b在同 一平面內，都與直線c垂直，那么直線a和b平行。選項C錯誤的原因是少了 “同 一平面內”幾個字，那么就變成了一個假命題，可以通過舉反例說明選項 C是假 命題，請看教室右上角東西向的直線，教室黑板底下南北向的直線，這兩條直線都與墻角豎著的直線垂

7、直，但它們不平行。因為這兩條直線不滿足定理的條件， 所以得不到定理的結論。學生認為選型C是正確的主要原因是對于幾何定理缺乏 “語感”，導致了本題的錯誤率很高，在一張試卷中此題也只是分布在選擇題的4-5題，屬于中等題，但是錯誤率會高于 50%為了解決此類錯誤，提高正確率，在學習幾何方面內容時，每條定理的得出， 我都會讓學生多讀幾遍，而且要帶著感情讀，注意抑揚頓挫，讀出“感覺”來， 這不等同于死記硬背，而是在培養語感。如定理“同一平面內，垂直于同一條直 線的兩條直線平行”讀過去要自然而然翻譯成下圖 1,比較下圖1與反例圖，多 讀幾遍、多翻譯幾遍，就會牢記定理的條件，自然而然會感覺到選項C是錯誤的，

8、因為少了 “同一平面”這幾個字圖1例2:計算a3十3a3;同底數幕的乘法法則是：同底數幕相乘，底數不變，指數相加。我要求學生 每做一題計算題之前，心里都要念幾遍法則，再邊念法則邊做題。幾題過后，學 生對于法則有了一定的語感，計算 a3 + 3a3時更容易發現這是同底數幕相加，不 是相乘，不能運用乘法法則，再進一步就能發現運用合并同類項法則就能得到正 確答案。（二）解題的氛圍最為關鍵初中生的認知能力、行為習慣等逐漸趨于成熟，但難免還是有部分學生“稚 氣未脫”，課堂上有點跳脫，不能及時地靜下心來，同時又會影響周圍一部分的 同學，使得課堂的氛圍不適合學習。而做數學題又需要一個相對安靜的環境，在適合的

9、環境下，容易使人“神清氣爽，耳清目明”，解題的效率會相應地提高。 這個時候需要老師進行提點，為學生創造合適的解題氛圍。例：我有幸聽到了骨干教師王老師的一堂課一元二次方程的應用（1）0課件出示例題：“例1某花圃用花盆培育某種花苗，經過實驗發現每盆的盈 利與每盆的株數構成一定的關系.每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣 的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利 達到10元，每盆應該植多少株？” 一分鐘后，王老師問：“題目看好了嗎？” 這 時候我觀察到至少還有7、8位學生還在找筆、找練習本，我以為這幾位學生至 少會有人急著回答“老師，我還沒看完，等一下！ ”但是，

10、結果使我驚訝，他們跟著其他同學回答“看好了” 。如果這時候老師直接讓學生做題，等大部分學生 做好了，這幾位同學可能還沒看懂題，那么接下來老師講的解題過程肯定聽不進 去。這時候我多么希望王老師會注意到這幾位學生是在說謊，再給點時間看題。 結果不出我所料，王老師說了四個字“在看一遍。回想當時，我為我能猜到王 老師的想法而開心不已的同時，又觀察了這幾位同學，神奇的是，連沒有找到筆的學生都停下手中的事情，坐端正了抬頭看題。 可以說，這第二遍看題是專門為 這幾位“性子跳脫”的學生準備的。沒有這一環節，可能班級里就多了7、8位學困生。這讓我想到了一位高級教師的一句話：“學困生的產生是因為他們得不到關注。”

11、半分鐘后，幾乎所有的學生都看過題目了，接下來王老師的一句話讓 我抬起了頭向王老師行注目禮，王老師說“再看一遍。”這個時候，全班學生都 驚訝了，更有幾個夸張地張大了嘴。頓了頓，王老師接著說：“這一遍看題，大家帶著問題看，找出題中涉及的數量關系。”話落，全班所有的學生都在認真看 題、思考、動筆分析。王老師的“一題看三遍”讓我記憶深刻。雖然沒有華麗的詞藻和激情的表演， 王老師的課卻非常吸引人，學習的氛圍非常濃厚。在如此濃厚的學習氛圍下，學 生對題目的理解會更加的深刻，透徹，解題思路會更加清晰，順暢。（三）合適的引導至關重要記住了幾何定理，在一個學習氣氛濃厚的解題氛圍下，作為學生，解題時想 把題目解對

12、的意愿肯定是非常強烈的。 但是當自己做好準備想一展身手的時候卻 還是解不出，這個時候可以用“萬事俱備，只欠東風”來形容，那么，這時候老 師的引導就顯得尤為重要。教學中，教師應引導學生如何去分析題中的已知條件， 如何整合這些已知條件，提高已知條件的利用率，再結合問題，從而形成完整的解題思路。例：已知：如下圖，在 ABC中，AHL BC于點H; D, E, F分別是BC, AC AB的中點，求證： DE/AHFE師：會做的舉手。（舉手的學生只有6位）師：先看已知條件“ AHL BC,由垂直你想到了什么？（問題簡單，學生就爭先恐后地回答，生怕別人不知道似的。）生1: 90度，直角三角形！生2:勾股定

13、理！生3: HL!直角三角形兩銳角互余！師：還有呢？我們研究三角形性質時，通常從哪三方面考慮？生4:邊角線！師：結合直角三角形，你想到了那條性質？生5:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半！師：再由條件“ D, E, F分別是BG AG AB的中點”，出現一個中點你想到了什 么？出現兩個及以上中點你又想到了什么？生6:中線、中位線！師：最后看結論，要證明兩個三角形全等，有哪幾種方法？結合我們剛才的分析， 哪種方法比較適合？學生思考后齊聲回答：SSS師：現在會做的舉手。（舉手的學生增加到了 21位）解此題的關鍵是充分利用垂直及兩個以上中點這些條件，學生單獨做題時往往無法把條件串聯起來，從而形成完

14、整的解題思路。這個時候老師的引導至關重 要，設置的問題的先后順序其實也在向學生展示考慮問題的方向和解題的思路， 學生解題時，經常跟著老師的思路走，可以更快地提高解題能力。二、擴大記憶廣度皮亞杰不主張毫無根據地或人為地加速學生的發展； 但同時，過于簡單的問 題對學生的認知發展作用也不大。 在皮亞杰看來，學生的認知發展是以學生已有 的認知結構為基礎的，并以已有圖式與環境相互作用而產生的認知需要為動力。鑒于此，教師應該為學生提供略微高于他們現有思維水平的教學，使學生通過同化和順應過程達到平衡，從而幫助學生發展已有的圖式，并建立新的圖式。解題過程中，我們可以一題多解，或者從不同角度對原題進行變式訓練，

15、達到擴大學 生記憶廣度的目的，讓學生不僅僅會解一道題，還會解一類題。（一）多方法的解答一題多解，有利于溝通各知識的內涵和外延，深化知識，培養發散性和創造 性思維，有利于提煉分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優，培養聚合思 維。進行一題多解教學時，可以進行小組討論，促使學生充分參與，盡可能多的 得到相關思路和解法，從中挑選出最優方案，加深對題目的記憶并掌握更多的方 法，擴大記憶廣度。例 1:已知（-1 , yi）, （-2, y2）, （-4, ya）是拋物線 y= -2x 2-8x+m 上的點, 則（）yiy2 yayay2yiyayiy2y2yayi解法一：本題的出題意圖是考查學生對函數

16、圖象及其性質的掌握， 只要明確 拋物線y= -2x2-8x+m的開口方向和對稱軸，把點（-4, ya）進行軸對稱變換到對 稱軸的同一側，根據增減性來做。解法二：部分學生碰到此類題目，慣用代入法，本題用代入法也非常快捷。例2:如右圖，已知 D E在BC上，AB=AC AD=AE求證：BD=CE TOC o 1-5 h z 思路與解法一：仄dABCft ADE是等腰三角形這一角度出發，利用”等腰 三角形三線合一”這一重要性質，使得三種證,法，即過點A作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是“等腰三角形三線合一“，得 BH=CH DH=EH 證得 BD=CE./、思路與解法二：從證線段相

17、等常用三角形:全等這一角度出發，本題可設法證 ABH4ACE或證4AB陷AACtD于是又得 兩種證法，而證這兩對三角形全等又都可用 AAS ASA SAS進行證明，所以實際 是六種證法。其通性是“全等三角形對應邊相等”。思路與解法三：從等腰三角形的軸對稱性這一角度出發，于是用疊合法可證。（二）多角度的變式解題的前提是理解題意。很多題目，條件結論進行細微的變化或者交換順序， 就成為了一道新的題。學生在解題時若能夠充分理解題意， 理解本題包含的各個 結論之間的聯系，那么不管題怎么出都不怕了，不僅能解一道題，還會解一類題, 甚至學生可以自己編寫變式題，達到擴大記憶廣度的目的。例1:已知如下圖1, A

18、D是4ABC的高,AE是 ABC外接圓的直徑，求證： / 1=/ 2.E圖1變式1:已知如下圖2, /1=/ 2, AE是 ABC外接圓的直徑，求證：AD是 ABC的高.變式2:已知如上圖3, AD是4ABC的高，點O是ABCft一點，且OA=OB=OC 求證：/ 1 = /2.說明：變式1把條件“ AD是4ABC的高”與2論“/ 1 = /2”對調，會解變 式題的前提是會解原題，理解整一個證明過程，“AD是4ABC的高”與/ 1=/2” 是充要條件的關系，那么不管題目怎么變，都難不倒學生了。變式2把“AE是 ABC外接圓的直徑”改成條件“點 O是 ABC內一點，且 OA=OB=OC說法不一樣

19、，本質卻是一樣的，就像中文的“一、二、三”與英語 的“one、two、three ”的關系。出示變式2時應該讓學生比較原題與變式題之 間的區別，讓學生感受到原來題目可以這么變。例2:已知如下圖1, ABC, AB=AC /B、/C的角平分線交于點 O,過 點O作EF/ BC交AR AC于點E、F,求EF與BE、CF之間的關系。變式1:已知如上圖2, 4ABC中，/R /C的角平分線交于點 O,過點O 作EF/ BC交AB AC于點E、F,求EF與BE CF之間的關系。變式2:已知如上圖3, ABCt, /B的平分線與/ ACB的外角平分線交于 點0,過點O作EF/ BC交AR AC于點E、F,

20、求EF與BE、CF之間的關系。說明：此題的變式題可以引導學生自己得出。仔細分析已知條件，可以發現能做出改變的條件有三個：AB=AC /B的角平分線BO /C的角平分線CO對 于改變條件 AB=AC,可以引導學生往反面思考，如果 AAAC對結果有沒有 影響？對于條件“/ B的角平分線BO /C的角平分線CO,可以引導學生認識 到/B、/C都是三角形的內角，與之相對的是外角，學生自然能想到可以把一 條內角平分線改成外角的角平分線。更進一步，可以引導學生在數字上進行改變， 可以把兩條內角平分線都改成外角平分線。變式 3是學生自己編的題：變式3:已知如下圖4, ABC, /B、/C的外角平分線交于點

21、O,過點O作EF/ BC交AB AC的延長線于點E、F,求EF與BE CF之間的關系圖4三、運用聯想記憶聯想記憶法是指利用事物間的聯系通過聯想進行記憶的方法。聯想是由當前感知或思考的事物想起有關的另一事物， 或者由頭腦中想起的一件事物，又引起 想到另一件事物。由于客觀事物是相互聯系的， 各種知識也是相互聯系的，因而 在思維中，聯想是一種基本的思維形式，是記憶的一種方法。聯想，就是當人腦 接受某一剌激時，浮現出與該剌激有關的事物形象的心理過程。一般來說，互相接近的事物、相反的事物、相似的事物之間容易產生聯想。 用聯想來增強記憶是 一種很常用的方法。記憶的一種主要機能就是在有關經驗中建立聯系，思維

22、中的聯想越活躍，經驗的聯系就越牢固。如能經常形成聯想和運用聯想，就可增強記憶的效果。（一）相似聯想法是根據事物之間在性質、成因、規律等方面有類似之處而建立起來的記憶方 法。通過類似聯想有助于我們發現事物的共性，強化記憶。當一種事物和另一種事物相類似時，往往會從這一事物引起對另一事物的聯 想。把記憶的材料與自己體驗過的事物相連結起來，記憶效果就好。例1:用等式的基本性質來記憶不等式的基本性質等式的基本性質，小學里就學過，學生比較熟悉。學習了解方程之后，對等 式的基本性質已基本掌握。在學習不等式知識時，比較等式與不等式，發現兩個式子非常“相似”，只要把等式中的等號變成不等號，等式就變成了不等式。同

23、 時，等式的基本性質與不等式的基本性質也類似，在記住了相似點之后再去找不 同點，就更容易記憶了。例2:用隊列來記憶橫縱坐標學習了坐標知識之后，一開始學生很容易把橫縱坐標的順序顛倒。 把坐標和 隊列相比較，可以發現兩者同樣都是表示位置。只要把橫坐標看成是第幾列，縱坐標就是這一列的第幾個，而學生每次要上室外課或者去其他教室上課， 排隊都 是兩列中隊，所以寫橫縱坐標的時候很容易就能聯想到排隊要先搞清楚自己在第 幾列，然后再是這一列的第幾個，那么記住先寫橫坐標、再寫縱坐標就不是問題。(二)形象聯想記憶法是把所需要記憶的材料同某種具體的事物等聯系起來，借助形象思維加以記 憶。形象聯想既有利于激發興趣、調動學習的積極性，又有利于加深記憶。例：用溫度計來記憶數軸及其相關概念數軸的知識是最基礎的數形結合思想的體現，是學生第一次體會數形結合，因為比較抽象，絕大部分學生都要花很長時間才能理解。 學習用數軸表示數的知 識時，可以跟溫度計聯系起來。首先明確數軸的三要素一一原點、正方向、單位 長度。把溫度計橫著放，跟數軸的“長相”非常相似。其中原點相當于溫度計的 零點，向右為正方向相當于向右溫度越來越高，單位長度相當于刻度。那么互為相反數、絕對值、有理數大小的比較等非常的直觀化， 跟