1、2007入理工數學一試題詳解及評 項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內（1） 當x0時，x 等價的無窮小量是 )1A. 1xx D.1 B.11曲線ln(1ex漸近線的條數為 )x(3)如圖，連續函數 y=f(x)在區間-32007入理工數學一試題詳解及評 項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內（1） 當x0時，x 等價的無窮小量是 )1A. 1xx D.1 B.11曲線ln(1ex漸近線的條數為 )x(3)如圖，連續函數 y=f(x)在區間-3，-2，2，3上的圖形分別是直徑為 1 的上、下半圓周x在區間-2，0，0，2的圖形分別是直徑為2 的上、下半圓周，設f (t)dt

2、 .則下0結論正確的是 3)535A.F(3)=FB.FC.F(3)=FD.F(3)= F4444(4)設函數 f（x）在 x=0 處連續，下列命題錯誤的)f(x) f fA. 若B. 若xfxf(x) f f0f0C. 若D. 若xx(5)設函數f（x）在（0,）f (xo, 令un =f(n)=1,2,.n, 結論正確的是 )A.若u1u2，則unB. 若u1 u2，則unC. 若u1u2，則un D. 若u1u2，則un(6)設曲線L：f(x,y) = 1 (f(x, y)具有一階連續偏導數，過第象限內的點MN,T為LMN()A. r (x,f x (x, y)dxf y (x,f (x

3、,f (x, （7）設向量組12 3()（A） 1 2,2 3,3 （C）122,2 23,3（B） 1 2,2 3,3 （D）1 22,2 23,3 10 0 （8）A1 2 1，B=01 0 A()1 2001不合同，但相(B) 合同，但不相(D)既不合同，也不相p0 p 1，則此人42()（A）3p(1不合同，但相(B) 合同，但不相(D)既不合同，也不相p0 p 1，則此人42()（A）3p(1 (B)6p(1 3p2(1 (D) 6p2(1 (10) 設隨即變量（X，Y）XYfX(xfYyX，Y Yy 的條件下，X fX | Y(x| y()(B) fY(fX(C) fX(x) fY

4、(fY(二填空題：1116424112exdx3x1（12）設f(u,v)為二元可微函數，z f(x ,y )，則x yx(13)二階常系數非齊次線性方程y 4y3y 2e2x的通解為(14)設曲面 ：|x| y|z|1，則 (x| y|)ds0 0 00 0 0 0 (15)設矩陣A，則A3的秩101 2(17)（本題滿分11分）求函數f(xy x2 2y2 x2y2在區域D(xy) x2 y2 4y2I xzdydz2xydzdx其中為曲面z 1x 24(19)(I xzdydz2xydzdx其中為曲面z 1x 24(19)(本題是11分設函數f(xg(x)在ab上連續，在(ab)內二階導

5、數且存在相等的最大值， f (a) g(a), f (b) g(b)證明：存在 (ab)，使得f ) g).設冪級數xn在(, )內收斂，其和函數y(x)滿ny 2xy 4y 0,y(0)0,y(0)2na ,n1,2,L n(2)求y(x)x3 設線性方程組x 2x ax 4x a2x 3x3 a1,1) 是A的屬于(22)3階對稱矩陣A的特征向量值 1 2 2 1T12311一個特征向量,B A54A3EE3(I) 驗證1 是矩陣B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量(IIB(23)設二維變量(x, y) 的概率密度f (x,y) 2x 0 x1,0 y(IPX 2Y(IIz X

6、Y 的概率密度3(24)設總體X 10 x(24)設總體X 10 xf (x,) x12(1X1 , X2 Xn X X (I求參數 (II) 判斷4X 2 是否為 2的無偏估計量,并說明理由42007入數學一試試題詳解與評選擇題（10 小題，每小4 40 分，在每小題給的 四個選項中一有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內（1）x 0時，與 x 1 （A）1 x（C） 1x （D）1 2007入數學一試試題詳解與評選擇題（10 小題，每小4 40 分，在每小題給的 四個選項中一有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內（1）x 0時，與 x 1 （A）1 x（C） 1x

7、（D）1 11 1 xo(x)x x)x o( x，因此B。x 【解11考點：泰勒公式與等價無窮小量的正確運用（2）y 1 ln(1exxDx0y 0(x y xx 【解考點：漸近線的實質是極限問題，應從單側極限入單側漸近線的存在（3）y f (x在區間3,2，2,31 x周，在區間2,0,0,2上的圖形分別是直徑為2 的上、下半圓周，設F(x) f (t)dt，035（A）F(3) F4（C）F(3) F（B）F(3) F4（D）F(3) F3544【解C。利用積分的幾何意義，并注意代數面積的概念（水木艾迪輔導的星級考點（4）f (xx 0f(x) f(f( 0f (0) 0f (0) （A

8、）若（B）若xxf (x) f （C）若lim f (x) f (0) f (0（D）若xx【解D的成立不一定保證（5）f (x在(0,f (x) 0，令un f (n) 1,2,Ln1（A）若u1 u2，則un 必收（C）若u1 u2 ，則un 必收（B）若u1 u2，則un 必發（D）若u1 u2 ，則un（A）若u1 u2，則un 必收（C）若u1 u2 ，則un 必收（B）若u1 u2，則un 必發（D）若u1 u2 ，則un 必發D。畫出草圖，結論顯見。下面證明 u1 u2 ，則 2 u1 0,其中c是某個確定的正數，于是存在1,2 2 2) f ( ) c 0121對任x 1,)

9、， f(1) c 0) 0f x又存在2 (1,x)使得f(x) f(1)(2)( 1) (x ) （6）L: f xy) （f (x, y具有一階連續偏導數M N T LM N x,y x,y TT（D） fx,y dx y(x,x,y TT（B）（A）M N T LM N 段弧(x y d 1dx (N)0 x其中 (M), (NTT（B）T f(xy)dy T1dy y(N y(M0MMN y xy d 1ds 弧長TT（D）T fx(x,y)dx fy(x,y)dy 0dx0dy T（7）設向量組1, 2 , 3 線性無關，則下列向量組線性相關的（A）1 2,2 3,3 （C）1 2

10、2 23,3 （B）1 2,2 3,3 （D）1 2 2 23,3 A因為( 233 10，所以12,2 3,3 12考點：線性相關與線性無關的概念200100A（8）A1, B 考點：線性相關與線性無關的概念200100A（8）A1, B （A）合同，且相（C）【解B（D）既不合同，也不相A的特征值為330ABAB22AB考點：矩陣的相似與合同概念，相似矩陣的性質，合同矩陣的性質，慣性定理等目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為p(0 p 1)，則此人第2(A) 3p(1 p)(B) 6p(1 p)(C) 3p2(1 (D) 6p2(1 【與點評】P42次命中目標=P431 次 pC1p

11、(1 p)2 3p2(1 p)3C本題是 Bernoulli 試驗中的典型問題(10) 設量(X,Y)服從二維正態分布，且X 與Y 不相關，fX (x), fY (y)分別表示X Y 的概率密度，則在Y yX fX Y (x y為AfX （A）f (B) f (C) f (x)f (XYf (Y與點評】由于(X,Y)服從二維正態分布，且X 與Y 不相關，所以X 與Y 相互獨立f (x, fX Y (x y) fX (xf (Y本題主要考查了二維正態分布的不相關性與獨立性的等價關系，屬于最基本的內容 寫在答題紙指定位置上1122exdx x131 1112 1 12e 2【解x2x2112考點：

12、湊微分法是處理積分問題最重要的基礎y (12) 設f (u,v)是二元可微函數，z f)，則 x 【解： f y fx f y fuvuvxyxy y1x fu f fvvu1 1112 1 12e 2【解x2x2112考點：湊微分法是處理積分問題最重要的基礎y (12) 設f (u,v)是二元可微函數，z f)，則 x 【解： f y fx f y fuvuvxyxy y1x fu f fvvu2yxyx z y f y f x f y f uvuvxyxy x 2 fu x fv y考點：具有抽象函數記號的多元復合函數的偏導數計算（13）二階常系數非齊次線性微分方程y 4y3y 2e2x的

13、通解為y 【解】齊次解為 y C ex ，設特解為 y ，由待定系數法得124Ae2x 8Ae2，A2：y C 。12考點：常規的二階常系數非齊次線性微分方程解法( 非齊次項P x)ex 型)的求解n1(x（14）設曲面x y zy)dS 【解（方法 1）由域與被積函數的對稱性有xdS 0, ydS xdS zdSy)dS ydS 1(ydS xdS z(x 3 1(z)dS 1dS 8 y333（方法 2）利用物理481 8 3 )dS ydS,x,y,ydS 8 y 3（3）y 3dxdy 4 3)dS x,y, x,y,1081 8 3 )dS ydS,x,y,ydS 8 y 3（3）y

14、 3dxdy 4 3)dS x,y, x,y,1000000001000 （15）A0 ，則A 的秩100000010A 30rA ) 13001 21(1)22與點評】 由幾何概型計算（見圖，可知所求概率 | A| |S 41y1x1三、解答題：17-24 86 分。請將解答寫在（17（11分）f(xyx22y2 x2y25SAD (xyx2 y2 4, y 0 （1）f 2x2xy2f 4y2x2yf(xyD (xyx2 y2 4, y 0 （1）f 2x2xy2f 4y2x2yf(xy) x2 2y2 22xy 2x2xy2 f 4y2x2y D(xyx2 y2 4, y0 21 （2）

15、f(xy) x2 2y2 x2y2在區域邊界上的條件極值。Lagrange x2 2 2 x2y2 x2 y2 L 4y2x y2y2x y 435條件駐點為2（3）比較函數 (x, ) x2 2y2 x2y208（1（2）在邊界L ：y (2 x 2)上，f(x,y) x2，最大值為4,最小值為01在邊界L2：x y (y 0)上，y 4x (x,y) 4 5x2 852x1 （18（10分）Ixzdydz2zydzdx3xydxdy，其中6yz 1 x (0 z 124【解（1）Guass式z S x 14xzdydz2zydzdx3xydxdy xzdydz2zydzdx3xydxdy

16、S11 01dxdy 6 z(1yz 1 x (0 z 124【解（1）Guass式z S x 14xzdydz2zydzdx3xydxdy xzdydz2zydzdx3xydxdy S11 01dxdy 6 z(1z)dz y02x 14而 xzdydz2zydzdx3xydxdy 3xydxdy Sy1x 2故 I xzdydz 2zydzdx3xydxdy （方法 2）直接計算，記曲面 在三個坐標面上的投影分別為 Dxy Dyz , 3xydxdy 3xydxdy 01dydz 202 1y4xzdydz 21 z1z42 11z2(1z)dz 3011 1 22zydzdx 4z 4(

17、1z x2)dzdx 8z1z x2dx 3D0所以： I xzdydz2zydzdx3xydxdy 方法 yy1:z 1x (0 z 1)，n 2xijk，n0 (4xi y j2k)24216x2 y2 4x2z2zy2 I (xzi2zy j3xyk)n0dS 16x y 716x2 y2 其中dS dS 16x2 y16x2 y2 其中dS dS 16x2 y2 dxdy2I 14x2z2zy2dS2本題考點：第二型曲面積分概念與計算點評：第二類曲線積分有三種求值方法：直接計算法，Guass 公式法，將第二類曲面積分變第一類曲面積分，本題用這三種方法都能（19（11）f(xg(x在ab

18、上連續，在(abf(a) g(a), f(b) g(b，證明：存在 ab，使得 f () g(【證】移項造輔助函數hx) f x gx，則h(a) 0h(b) 0 x0 (ab使得hx0) 0Rolle （方法一）若 f x), gx的最大值在(ab) x0 (ab) hx0) 0fxgx二階可導，于是由 Rolle x1 ax0 x2 x0b使得hx10與 hx20，進而 x1x2 (ab，使得h(0f() g(f xgxx1 abx2 ab，x1 x2 得f(x1) max f(x) g(x2) max g(hx1) fx1 gx1) 0且hx2) fx2 gx2 由連續函數的零點定理，存

19、在介于 x1x2 之間的 x0 (ab) hx0) 0 ，又h(a) 0，h(b) 0f xgxRolle 定理，1ax02 x0使得h(1)0 h(2)0 ，于是 (1,2) (a,b) ，使得h()0 ，f() g( abf () g(（方法二）用反證法也能證明存在(a,bh() 0假 設 不 存 在 (a,b)使 h() 0 ， 則 h(x) 0,x(a,b) ； 8hx) 0 xab 。不妨假設 hx) 0 xab 設g(x)在x1 (a,b)取到最大值則應x1)ghx) 0 xab 。不妨假設 hx) 0 xab 設g(x)在x1 (a,b)取到最大值則應x1)g(與已知條件函x),

20、g(1在( , )內有相等的最大。因此假設不成立，即存在 a,b 使h() 0。其余步同（方法一（20（本題滿分 10 分）設冪級數 a xn (,) 內收斂，其和函數 y(x) 滿足ny2xy4y 0, y(0) 0, y(0 2（）an2 n 1n（）y(x（1（y 0) 得a0 0y 0) 得a1 1y(0 0 2 a2 a2 0y(x)2xy(x)2y(x)4y(x)2xy 31 (x)42(3)y (2(0) 2 (04y(0 6a 3 a ，因此1，即k 1時成立a。k133kk y(4)(0) 2y(0)42(42)y(0 0 4 a ，a y(n)(x) 2xy n )(x)

21、4 2(n 2)y(n2)(假設k 2n1y(k)(x) 2xy k )(x)42(k 2)y(k2)(y(k)(0)42(k2 y(k2)y(2n)(0) 0，y(2n1)(0) 4 2(2n n1 (0) 2ny(2即a2n1 2n11a2n1 ，且0k 2n3y(2n2) (x) y (0) )y(2n3) (x) )，y 2n3 (0) 42(2n1 y2n1 42(2n1)(2n1)!a2n1 2n9 42(2n1)(2n)22n3aa(2n2nn1,2L（方法二）ynyn(nxn1 xnnnn代入微分方程得到 (n4a)(n2 xnxn 42(2n1)(2n)22n3aa(2n2n

22、n1,2L（方法二）ynyn(nxn1 xnnnn代入微分方程得到 (n4a)(n2 xnxnxnnn02a2 n次冪系數為零( 1)( 2)an2 2(n2)an 0 n1,22nn2 n1,2a11 1 1 （2）a0 0，a1 1，a2 0，a3 1，a5 2a3 ，a7 2 3a3，a 2 3 4 2 L 0，n 1,2 La2n2ny( ) a2 n xn 3（21（ 34x a2x 23 a3有公共解，求a 的值及所有公共解3x 1x ax 3x a【解】考慮方程組x2 11001aa(a2)(a01L0aa1020a 2a 1a 101010L0，000 , 0, T ka 10

23、1010L0，000 , 0, T k1 0, T ka 2010000100L10001 T 0 1 T （22（ 1, 2, 2, (1, ,1 1231A的屬于 B A5 4A3 EE31（）驗證1BB（）B （）B1 4A E)1 1 41 1 21所以1 B 的屬于特征值 2 的特征向量設2 是2 的特征向量，B2 (設3 是3 的特征向量，4A E)2 2 42 B3 (A 4A E)3 (2 ) 4(2) B的全部特征值為2 1, B1的特征向量為 T ，則 T 03 03和 0, , 1)T B1 解得(1, , k1(1, ,k2 0, ,1) TTk1k2為不全為零的常數。屬于特征值2的特征向量為1k(1,1,1) kT11111（）P P BP ，其中 03和 0, , 1)T B1 解得(1, , k1(1, ,k2 0, ,1) T