1、線性代數第一章 行列式行列式是為了求解線性方程組而引入的，但在線性代數和其它數學領域以及工程技術中，行列式是一個很重要的工具。第一節二、三階行列式 二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對角線法則。第二節n階行列式的定義一、定義設有 n2 個數，排成 n 行 n 列的數表作出表中位于不同行不同列的n個元素的乘積，并冠以符號(-1)，得形如 的項，其中p1p2pn為自然數1、2、n的一個排列，為這個排列的逆序數。由于這樣的排列共有 n! 個，因而形如(1)式的項共有 n! 項。所有這 n! 項的代數和其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列， 是排列p1 p2 pn的逆序數，即 = ( p1

2、p2 pn )。二、幾個特殊的行列式第三節行列式的性質 在 n 階行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列劃去后，留下來的 n-1 階行列式叫做元素 aij 余子式，記作 Mij；記 Aij = (-1)i+j Mij， Aij叫做元素 aij 的代數余子式。一、余子式與代數余子式第二章 矩陣及其運算矩陣是線性代數的一個主要研究對象，也是數學上的一個重要工具。矩陣的應用已經滲透到了包括自然科學、人文科學、社會科學在內的各個領域。在矩陣理論中，矩陣的運算起著重要的作用。第一節矩陣的概念1.定義 由mn個數aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的數表稱m行n列矩陣，簡稱

3、mn矩陣。記作一、概念：這 mn 個數稱為矩陣 A 的元素，簡稱為元，數 aij 位于矩陣 A 的第 i 行第 j 列，稱為矩陣 A的 ( i,j )元。以數 aij 為(i,j)元的矩陣可簡記作 (aij) 或 (aij)mn，mn 矩陣 A也記作A mn。 元素是實數的矩陣，稱為實矩陣；元素是復數的矩陣稱為復矩陣。 行數與列數都等于 n 的矩陣稱之為 n 階方陣，記作 An。2. 矩陣的轉置：把矩陣 A 的行換成同序數的列得到的一個新矩陣，叫做 A的轉置矩陣，記作AT。 如果 A是一個 mn 階矩陣，那么 AT 就是一個 nm 階矩陣。且 A 的行一定就是 AT中同序數的列第二節逆矩陣 設

4、對于 n 階方陣 A，若存在 n 階方陣 B 使得 A B = B A = E恒成立，則稱矩陣 A 可逆；B 稱為 A 的逆矩陣，記為 A1 = B 。1.若矩陣 A可逆，則 A的逆矩陣是唯一的。一、可逆矩陣的定義二、可逆矩陣的判斷2.若| A|0，則 A可逆，且第三章矩陣的初等變換 本章通過引進矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，然后再利用矩陣的初等變換求矩陣的逆矩陣和解線性方程組.矩陣的秩 在mn階矩陣A中，任取k行與k列(km，k n)，位于這些行列交叉點處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。 mn階矩陣A中的k階子式共有 個。 設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時規定，零矩陣的秩等于0。由行列式性質可知，在 A中當所有r1階子式全等于零時，所有高于r1階的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高階數。由矩陣秩的定義可知，矩陣與它的轉置矩陣的秩是相等的。由行列式性質可知，在 A中當所有r1階子式全等于零時，所有高于r1階的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高階數。求矩陣的秩的一種常用辦法：對待求秩的矩陣進行行的初等變換化為行階梯