1、淺析Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用摘要：在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，行列式無疑是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是后續(xù)課程線性 方程組、矩陣、向量空間和線性變換的基礎(chǔ)。而行列式的計(jì)算具有一定的規(guī)律性和技 巧性。Vandermonde行列式是一類很重要的行列式。本文系統(tǒng)的闡述了 Vandermonde 行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用，通過各種方法說明了行列式中的一些計(jì)算問題以及如何 利用Vandermonde行列式計(jì)算一般的行列式，用多個(gè)例子論述并總結(jié)了 Vandermonde 行列式在科研和實(shí)踐生活中如何更好的應(yīng)用。關(guān)鍵字：行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde TOC o 1-5

2、h z 第一章引言 1第二章預(yù)備知識(shí)2 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 定義 2 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 行列式的性質(zhì) 2行列式計(jì)算中的幾種基本方法 3三角形法3加邊法或升級(jí)法 4遞推法或數(shù)學(xué)歸納法 5第三章行列式的一種特殊類型Vandermonde行列式6Vandermonde彳亍歹列式的證法 6Vandermonde彳亍歹歹式的性質(zhì) 7推廣的性質(zhì)定理：行列式7一個(gè)Vandermonde行列式為0的充分必要條件9Vandermonde行列式的偏導(dǎo)數(shù) 9Vandermonde行列式的

3、翻轉(zhuǎn)與變形 11Vandermonde行列式的應(yīng)用 12第四章小結(jié)17第五章參考文獻(xiàn)18第六章謝辭19引言在中學(xué)數(shù)學(xué)和解析幾何里，我們學(xué)習(xí)過兩個(gè)未知量和三個(gè)未知量的線性方 程組及其解法。但是在數(shù)學(xué)研究和實(shí)際問題的解決過程中，經(jīng)常會(huì)遇到由多個(gè) 未知量而組成的多個(gè)方程組，并且未知量的個(gè)數(shù)和方程組的個(gè)數(shù)也未必相等。 為了解決這些具體的問題，經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家的不懈努力，終于由萊布尼茨和 日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和分別發(fā)明了行列式。經(jīng)過一段時(shí)間的發(fā)展，法國數(shù)學(xué)家范德 蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) 對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即 把行列式理論與線性方程組求解相分離。后來又經(jīng)過許多大

4、數(shù)學(xué)家的不斷發(fā)展 完善，如柯西、詹姆士 西爾維斯特(J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都對行列式的進(jìn)步起到了巨大的推動(dòng)作用。美國 當(dāng)代數(shù)學(xué)家Bernard Kolman 對行列式又做了進(jìn)一步的解析與應(yīng)用。數(shù)學(xué)家 Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收 錄到 Recent Developments in Algebra and Related Areas 一書中。本文通過在行列式基本性質(zhì)了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討一種特殊的行列式 Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其

5、應(yīng)用。2預(yù)備知識(shí)為了深入學(xué)習(xí)Vandermonde行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用，我們有必要回顧一下行列式的相關(guān)知識(shí)。定義1行列式是由n 2個(gè)元素（數(shù)）a （ j,j=1,2,，n ）排成行n列并寫成（1）的形式，它表示所有符合以下條件的項(xiàng)的代數(shù)和：每項(xiàng)是n個(gè)元素的乘積，這n個(gè)元素是從中每行取一個(gè)元素、每列取一個(gè)元素組成的，可記a a a為，式中p , p ,，p是1,2,，n的一個(gè) TOC o 1-5 h z 1 p 2 pnp12n12n排列。每項(xiàng)a i2 p . a.應(yīng)帶正號(hào)或負(fù)號(hào)，以心,，的順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)來比較排列（p , p ,，p ）的逆序數(shù)是偶或奇而決定。例如三階行列式中的項(xiàng)a a a排 12

6、n122331列（231）有2個(gè)逆序，即2在1之前，3在1之前,所以以山a23a弛應(yīng)帶正號(hào)；而a 12a21 a33中（213）的逆序?yàn)?，因?yàn)檫@時(shí)只有2在1之前，所以應(yīng)帶負(fù)號(hào)。2.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式改變符號(hào)。性質(zhì)3如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于0。性質(zhì)4把一個(gè)行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù)k ,等于以數(shù)k乘這個(gè)行列式。性質(zhì)5 一個(gè)行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外 邊。性質(zhì)6如果一個(gè)行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么這個(gè)行列式等 于0。性質(zhì)7如果一個(gè)行列式有兩行

7、（列）的對應(yīng)元素成比例，那么這個(gè)行列式等 于0。D 2的那么D等于兩個(gè)行列式D 2的那么D等于兩個(gè)行列式D第i第i行元素是七，c. 2，. C.，而D 1與D2的其他各行都和D的一樣。同樣的性質(zhì)七112.氣D =b + c b + c . b + ci1i1i 2i 2inin.n 1n 2.nn與D的和，其中D的第行元素是b , b ,. b，121z1 i 2 in對于列來說也成立。性質(zhì)9把行列式的某一行（列）的元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）的對 應(yīng)元素上，行列式不變。2.3行列式計(jì)算中的幾種基本方法2.3.1三角形法就是利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式化為上三角形或下三角形行列式，而

8、上（下）三角形行列式的值即為其主對角線上所有元素的乘積。例1計(jì)算n級(jí)行列式xaa . aaxa. aD =aax . anaaa.x分析該行列式具有各行（列）元素之和相等的特點(diǎn).可將第2,3,列（行）都加到第一列（行）（或第1,2,.，n 1列（行）加到第n列（行），則第1（或n）列（行）的元素相等，再進(jìn)一步化簡即可化為三角形行列式或次三角行列式列（行）的元素相等，再進(jìn)一步化簡即可化為三角形行列式或次三角行列式.x + x + （n 一 1） ax + （n 一 1） a D =nx + （n 一 1） aaax + （n 一 1） aaxa=x 一 aa.x.a=x + （n 一 1） a

9、（x 一 a ） 一1x 一 a2.3.2加邊法或升級(jí)法例2計(jì)算n級(jí)行列式a1bb .bba2b.bD =nbba3.bbbb . an（b。a. i = 1,2,.,n ）分析 該行列式的各行（列）含有共同的元素b, b, , b可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列（稱為升級(jí)發(fā)或加邊法），適當(dāng)選擇所增加行（或 列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素.10D升級(jí)0!ba1b-b .b a 2!.b1-b-1-b = -1-ba - b0:b0a- b-!b000bb a 100-a - bnnbb1 + ，+b b b1na - ba - ba - b=1 + b (a - b)

10、(a - b)(a - b)i = 1氣2.3.3遞推法或數(shù)學(xué)歸納法例3計(jì)算n級(jí)行列式2-10-00-12-1 -00D =0-12.00n:000- 2-1000-12分析 對于三對角或次三對角行列式，按其第1行（列）或第n行（列）展 開得到兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，再利用變形遞推的技巧求解.解-1-10-0002-1 -00D 按第1 行展開 2 D + (-1) (-1)1+20-12-00=2 D - Dnn -1:0:0:0-:2:-1n -1n 一 2000-12直接遞推不易得到結(jié)果（按低級(jí)是可以的），變形得D = D + 1 = D + 2 = D + (n - 1) = 2 + (n -

11、 1) = n + 1.3行列式的一種特殊類型Vandermonde行列式定義2我們把型如11.1aa. a=n (aV =12na )nan-1an-1.2.an-1ni1 jinj的行列式叫做Vandermonde行列式，其中n （a - a ）表示a ,a ,. a這n個(gè)數(shù) i ji1 i 2in1 j i n碼的所有可能（a a， j 2）。Vandermonde 行列式的證法方法一、消兀法6證：從第n行開始，每一行加上前一行的。音。根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時(shí)有11.110a 一 a.a aa aVn.21.n 11.n1.0an -3 (a a ). an3(a a )

12、an -3 (a - a )0an -2 (a a ). an-2(a a )an -2 (a - a )a 一 a.a 一 aa 一 a=1.an2-3 (a - a ) .an3 (a a ) ann -1n -11n-3 (a - a .)an2-2 (a - a ) .an2 (a a ) ann 1n 11n-2 (a - a.)（按行列式首項(xiàng)展開得到）11.11aa.aa23n 1n=(aa ).( a a )(a a ).21n11n1an -3an -3 . an -3an -323n 1nan -2an -2 . an -2an -223n 1n行列式y(tǒng) ，即已經(jīng)將y用y表示

13、行列式y(tǒng) ，即已經(jīng)將y用y表示出來。重復(fù)用上述方法對y 1進(jìn)行求解，經(jīng)過有限步可以得到:y -( ( a - a )(a - a )(a - a )*( (a a ).( a a ) (a a ) )，( a - a )n 121n 11 n 132n 12 n 2nn 一 1=n =n (a - a )1 j i n即證。方法二：數(shù)學(xué)歸納法證：當(dāng)n = 2時(shí)，y 2 = a 2 - a1成立。假設(shè)對于n 1階成立，對于n階有：首先要 把y降階，從第n行起后一行減去前一行的a倍，然后按第一行進(jìn)行展開， 就有y = (a a )(a a ).( a a )y，于是就有y = n (a a )，其

14、中n 表示連 n2131n 1 n 1ni j乘，i, j的取值為2 j i n，原命題得證。方法一與方法二的實(shí)質(zhì)與算法是一致的，可以說是同一種方法。3.2 Vandermonde 行列式 的性質(zhì)3.2.1推廣的性質(zhì)定理7:行列式11.1尤x .x12nx2x2.x212ny =.=Z x x .x.y (k=0,1,2n -1),k +1xk-1x k 1.xk-1P1 P 2Pk12nP1 P 2” kxk+11x k +1.2xk+1n.xn.xn.xn12n其中/、 1 P , P . P是-k1,2,. n 中(n k)個(gè)數(shù)的 個(gè)正序排列。Z表示對所有n kP1 P 2 - P(n

15、- k)階排列求和。證：(i)在行列式 V. (X. X2.X )中增補(bǔ)第(k +1)行和(n + 1)列相應(yīng)的元素考慮(n +1)階 Vandermonde行列式11.11XX. XX12nXk-1Xk-1X k -1 .Xk-1f ( x ) = V ( x , x.X , X) = 12n12nXk1Xk2. XkXkXk +11Xk +12X k +1 . XnXk +1.Xn.Xn.Xn.Xn12n二(X 2 -X1 )( X3X1 ).( XnX1 )( XX1 ) (X 一 X ).( X 一 X )(X 一 X ) 32n 22(X 一 X )=(X - X )(X - X )

16、.( X - X ) n (X - X )(*)12n . Xi J(ii)由(*)式的兩端分別計(jì)算多項(xiàng)式Xk中項(xiàng)的系數(shù)，在(*)左端，由行列式計(jì) 算：Xk的系數(shù)為行列式中該元素對應(yīng)的代數(shù)余子式(-1)山匕門，(*)式右 端，由多項(xiàng)式計(jì)算X , X . X為f (X) = 0的n個(gè)不同根。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，Xk12 n=(=(-1) n - k Zx x .x n (x -x )(k = 0,1, 2. n - 1)，P1 P2n-ki jP1 ,P2 . Pn-kM jan其中P1其中P1，P廣P是1，2- n中(n-k)個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列，Z表示對所P1，P 2 - Pn - k有(n

17、- k)階排列求和。(iii)比較f (X)中Xk項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算行列式匕k L因?yàn)?*)式左右兩端Xk項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，所以x x .xk +1(x -X )P1 P 2Pn 數(shù)應(yīng)該相等，所以x x .xk +1(x -X )P1 P 2Pn kP1，P 2 - Pn kVk +1xx.x(x -x )(*)p1Pn kP1 P 2 - Pn k1 j i Vk +1=(1)n-k Z x x . x V (k = 0,1 2. Vk +1P1 P 2Pn -kP1 P2 Pn k定理得證。利用此性質(zhì)定理可以計(jì)算各階準(zhǔn)Vandermonde行列式，簡便易行。特別，當(dāng)k = n 時(shí)，令 p =1，

18、（ *）式即為 Vandermonde 行列式 V。例4 計(jì)算準(zhǔn)Vandermonde行列式111111aaaaaa123456a2a2a2a2a2a2V =1234564a 4a4a4a4a4a 4123456a5a5a5a5a5a5123456a6a6a6a6a6a6123456解由定理，n =6, k =3,所以V = Z a a a H (aa )=4P1 P 2 P3ijP1 P 2 P 31 j i 6(a a a + a a a + . + aaa).n(a a ).1 2 31 2 44 5 6ij1 j i 6一個(gè)Vandermonde行列式為0的充分必要條件是x ,x ,x

19、中至少有兩12nVandermonde 行列式的偏導(dǎo)數(shù).定理n(xi - x,)定理1 j i n由Vandermonde行列式 的定義知，由Vandermonde行列式 的定義知，F(xiàn) (x , x , x )是 x , x ,，x 的 n 兀函數(shù).12n12n例5 設(shè)a , a , .,a是n個(gè)兩兩互異的數(shù)，證明對任意n個(gè)數(shù)b , b , b，存在12n12n唯一的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式L (X) = lLb n -_aj，1，. a, - a使得 L (a ) = b，1 i n -證從定義容易看出l(x)的次數(shù)小于n，且L (a ) = b，故只需證明唯一性即可.+ c X+ c X + c

20、 X2 + + cXin -1滿足n -1f (a ) = b 1 i n，即 TOC o 1-5 h z c + a c + a2c + - + an-1c= b011121 n-11c + a c + a2c + + an-1c= b02 12 22n-12，c + a c + a2c H + an-1 c= b0 n 1 n 2nn-1n這個(gè)關(guān)于C 0, c1 ,，cn-1的線性方程組系數(shù)行列式為1aa2 -an-11111aa2a n -1!2:2!2!1aa2a n -1nnn=n(a a )。0，1 j i n TOC o 1-5 h z 故c0,氣，cn-1是唯一的，必須這就是有

21、名的拉格朗日插值公式。例6設(shè)f (X), f (X), - , f (X)是n - 1個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，滿足 12n1 + X H+ Xn-1 1/ (Xn ) + xf (Xn ) H+ Xn-2 f. . (Xn ).證明:f1證明:f1(1) = f2 =fn1 =Qf (1) + wf (1) + + wn-2 f (1) = 012n-11f+ w2 f+ + w 2( n - 2) f (1) = 0這個(gè)關(guān)于,、,小、,小的女次絆12n-1，這1關(guān)于f (1), f (1),，f的齊次線12n-1f (1) + wn-1 f (1) + + w(n-1)(n一2) f (1) = 0

22、l 12n-1性方程組的系數(shù)行列式為1 w wn -21 w 2w 2( n - 2)尹0:1 wn-1w( n-1)( n - 2)，因此九=f2=. = f 1=03.3Vandermonde 行列式的翻轉(zhuǎn)與變形.3.3.1將Vandermonde行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得1 X. Xn-1nn1 X Xn-1n (n-1)n-1n-1 = ( 1) 2 D:n1 X Xn-111.3.3.2 將 VandermondeXn(f)X+ n .=cpf)+(Xn(f)X+ n .=cpf)+(xX+n 一1+，X2兀 w = cos + i sin丑，分別以nnX = w , w 2 ,，w

23、n T 代入，可得Xn-1-X111Xn-1-X1n(n1)22=(1) 2 D:nXn-1-X1nn.行列式順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得X nX n-1x n 一 1nn-1X1n -1X Xn-1113. 4 Vandermonde 行列式的應(yīng)用法則中的應(yīng)用.Vandermonde 行列式在 Cramer法則中的應(yīng)用.例7設(shè)七弓,. a ,是互不相同的數(shù)，求解下面的方程組X + X + + X = 1a x + a X + + a x = b1122n n1a na n-1 x + a n-1112x + + a n-1 x = bn-1nn解：系數(shù)行列式為an-1an-1an-1annn=n (

24、aj)1 jinD = D = n (a - a .)，1 j i n其中a廣b，所以D(b 一 a ) . (b 一 a )(a 一 b).(a 一 b)k D (a 1). (a a )(a a ) (a a )，k = 1,2,n3.4.2 如何利用Vandermonde行列式計(jì)算行列式法一所給行列式各行（列）都是某元素的不同方幕，但其方幕次數(shù)或其排 列與Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性質(zhì)（如提取公因式， 調(diào)換各行（列）的次序等）將行列式化為Vandermonde行列式。例8計(jì)算11-1222.-2nD=n!nn2- nn1111解：12222n-1D = n!n

25、:-:1nn2nn-1=n!(2 - 1)(3 - 1)(n - 1) (3 - 2)(4 - 2)(n - 2) n - (n - 1)=n!(n - 1)!(n - 2)!2! 1!法二利用行列式性質(zhì)，改變原行列式中的元素，產(chǎn)生以新元素為行（列） 的Vandermonde 行列式。例9計(jì)算（n + 1）階行列式anan-1 ban - 2 b2-a b n -1bn11111111ana n-1ban -2 b2-a b n -1bn，其中b尹0， a尹0，D =22222222n +1:an:an-1 b:an - 2 b2-:a b n -1:bniin +1n +1 n +1n+1

26、n +1n+1 n+1n +1(i = 1,2,，n + 1)-解：提取D 1各行的公因式，得到11D 11D = anan an :1b 1a1 b 2-a2:b -nan(Fn-1a1b(Fn-1a2:b(-L ) n-1上式右端行列式是以新元素如,b12+為列元素的n上式右端行列式是以新元素如,b12+為列元素的n + 1 階 Vandermonde a n + 1行列式，所以D anan an n （ - ） ,n+11 2n .a a ,法三如n階行列式D的第行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相Vandermonde 行列式，鄰兩行（列）均含有相同分行（列），且d中含有nVan

27、dermonde 行列式，那么將D的第i行（列）乘以（-1）加到（i + 1）行（列），消除一些分行（列），即可化成消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式。例10計(jì)算行列式1 + sin 91sin 1 + sin 91sin 9 + sin 2 911sin 2 9. + sin 3 9 21 + sin 92sin 9 + sin 2 92sin 2 9 + sin 3 91 + sin 93sin 9 + sin 2 9sin 2 9 + sin 3 91 + sin 94sin 9 + sin 2 9sin 2 9 + sin 3 9解：在 4的第2行中去掉與第一行成

28、比例的分行，得到sin 91sin 9. + sin 2 9sin 91sin 9. + sin 2 91sin 2 9. + sin 3 9 2sin 92sin 9 + sin 2 92sin 2 9 + sin 3 9sin 93sin 9 + sin 2 93sin 2 9 + sin 3 9sin 94sin 9 + sin 2 9sin 2 9 + sin 3 9在上面行列式的第3行中去掉與第2行成比例的分行得到一個(gè)新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉與第3行成比例的分行得到1111sin 9sin 9sin 9sin 91234sin 2 9sin 2 9sin 2 9sin

29、2 9123lsin 3 9 2sin 3 9sin 3 9sin 3 94123=4二 n (sin 9 - sin 9 ,)-1ji4法四各行（列）元素均為某一元素的不同方幕，但都缺少同一方幕的行列法四各行（列）式，可用各種方法化成Vandermonde行列式。下面用加邊法。例11 （缺行Vandermonde 行列式1）11-1XX-X1:2:n:D =XIXi-1- X1 -1n, i12nXi+1Xi+1- X1+11:2:n:XnXn-Xn12n解：注意此行列式與Vandermonde行列式的區(qū)別在于七的幕跳過心，我們自然會(huì)想到把缺了的幕補(bǔ)起來，再利用 Vandermonde行列式

30、，故令111X1X 2XnzV ( x , X ,: , X , z)=1:Xi 2:Xin:zX nXn 2Xnnzn=(z 一 X )( z 一 X )(z 一 X ) V (X , X ,，X )12nn 12n=V (X , X ,，X ) S (- 1)n - i b zi n 1 2nn ii 二 0另一方面，對V (X , X，X , z)按最后一列進(jìn)行Laplace展開，可知，的代數(shù) n+112n余子式是D ( - 1) n + i 因此視V ( X , X，X,z )為z的多項(xiàng)式，則D . (- 1) n + i應(yīng)n ,in +112n是zi的系數(shù)，故D =(-1)n + i

31、 (乙的系數(shù))=b V ( x , x ,x )n ,i=b n e - x .) n 一 i n12n1 jin注1缺行Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或準(zhǔn)Vandermonde 行列式。利用此例中的添加一些行和列的方法，還可計(jì)算跳過兩個(gè)幕的超Vandermonde行列式，及其他行列式。注意當(dāng)X = X時(shí)，D = 0，故D也含因子X = X。特別，知 TOC o 1-5 h z k in ,in ,ik iD = V ( x , x ,，x ) . f ( x , x ,，x )-因D和V ( x , x , x )都是齊次及對稱多n ,i n 1 2n1

32、 2nn ,in 1 2n項(xiàng)式12，故f ( x , x , . , x )應(yīng)是n - i次齊次對稱多項(xiàng)式。按x , x ，x的次序排 1 2nn n -11列時(shí)，D的首項(xiàng)為x X x (V的首項(xiàng))，故知f的首項(xiàng)為x X . x ，由 n ,in n -1i + 1nn n-1i +1此可得到f =a .法五 行列式中其他各行(列)都是元素的不同方幕，只有一行(列)的元 素不是相應(yīng)元素的零次幕(即該行(列)元素都不是1)，而是各行(列)元 素的函數(shù)，利用行列式性質(zhì)將這一行(列)元素化為全是1的元素。例12證明證：將的第1行加到第3行上，得到c2a + b + c a + b + c a + b

33、 + c2=(a + b + c)(b 一 a)(c 一 a)(c 一 b)Vandermonde行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用冏例 13 設(shè)多項(xiàng)式 f (x) = a xhx + a xh2 + - + a xhn，a 尹 0，i = 1,2,.,n ； 七豐七,i豐j，i,je 1,2, . , n，則f ( x )不可能有非零且重?cái)?shù)大于n - 1的根。 證明：反設(shè)a尹0是f ( x )的重?cái)?shù)大于n - 1的根，則f (a) = 0,廣(a ),. , f (n-1)(a) = 0，進(jìn)而 f (a) = 0,af (a), . ,a n-1 f (n-1) (a) = 0 即 a a h + a a h 2 + + a a 久=01 2 nk a a h1 + k a a h2 + + k a a hn = 01 12 2n nk (k 一 1)(k 一 n +