1、從第1 xiaii程中n1，寫(xiě)成易于迭ij=1 jga從第1 xiaii程中n1，寫(xiě)成易于迭ij=1 jga13a23D=diag(0a11a22ann),L=a21a31a32an1an2an ,n11，R、x (k+1)=(a x (k) . a x (k) + b )1a 12 21n n 1111x (k+1) (a x (k+1) a x (k) . a x (k + b )2 a 21 123 32 n n 222x(k+1) (a x(k+1) a x (k+1) . a (k+1)x(k+1) a x (k) . a x (k + b )ia i1 1i 2 2i ,i 1i

2、1i,i+1 i+1in n iiix (k+1)=(一a x(k+1) a x(k+1). a x(k+1) + b )nan1 1n2 2n,n 1 n 1nnn應(yīng)用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組數(shù)理學(xué)院 作者：耿志銀(送給學(xué)弟學(xué)妹!)摘要：在面對(duì)解線性方程組的問(wèn)題時(shí)，直接法雖然 很方便，但直接法大多數(shù)均需對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行分 解，無(wú)法保持A的稀疏性。但在實(shí)際應(yīng)用中，我們 常常得面對(duì)大型稀疏性方程的求解問(wèn)題，此時(shí)，迭 代法比直接法更適用。迭代法是按照某種規(guī)則構(gòu)造 一個(gè)向量序列xQ，使其極限向量x*是方程組 Ax=b的精確解。這里主要介紹 Jacobi迭代和

3、Gauss-Seidel 迭代。關(guān)鍵詞：Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代向量序列 極限向量引言：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是兩類(lèi) 重要的方法，他能充分利用系數(shù)矩陣的稀疏性，減 少內(nèi)存占用量，而且程序簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是計(jì)算量大， 同時(shí)還有收斂性的問(wèn)題需要討論。基本原理：Jacobi迭代 設(shè)有方程組AX=b，方程形式為芝a x = bj=1(i=1,2,.,n)，假設(shè)|A|。0，且a。0(i=1,2,.,n)，i 個(gè)方b(-laxij=1j的代的形式：x (k+1) = (b 2a x (k)(i = 1,2,.,ni a i ij jiij=1j-ik=0,1,2,

4、.)這就是Jacobi迭代的分量形式。令 A=D-L-U ，其 中an1a2n,此時(shí)AX=ban1,n0可以寫(xiě)成 x=Bx+g,其中 B= D-1(L + U), g = D-b . 若給定初始向量七=(氣(0),、。),., x (0)T，并帶入 x=Bx+g的右端，就能計(jì)算出一個(gè)新的向量x1,即 x1 = Bx0 + g;再把乂代入x=Bx+g的右端，又得到了一個(gè)向量 x2 ；依次類(lèi)推有x k= Bx 1 + g，k=1,2,3,.這個(gè)就 是Jacobi迭代格式、稱(chēng)為-Jacobi迭代的迭代矩陣， g稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)。可見(jiàn)Jacobi迭代法公式簡(jiǎn)單，易于 操作Gauss-Seidel 迭代注意到

5、Jacobi迭代各分量的計(jì)算順序是沒(méi)有關(guān)系 的，無(wú)論先算哪個(gè)分量都一樣。現(xiàn)在，假設(shè)不按 Jacobi格式，而是在計(jì)算xk的第一個(gè)分量用xk勺 各個(gè)分量計(jì)算。但當(dāng)計(jì)算xk的第二個(gè)分量x2(k)時(shí)， ,因*(k)已經(jīng)算出，用它代替x1(k-1)，其他分量仍用x (T.類(lèi)似地，計(jì)算x (k)時(shí)，因x (k),.,x (k)都 il1l1已經(jīng)算出，用它們代替x1( k-1),.,x 1 1( k-1),其他分量 仍用xk1的分量計(jì)算，有 Ixk= D-1Lxk + D-1Uxk1 + g，k=1,2,. 這就是Gauss-Seidel迭代。Gauss-Seidel迭代格式如下Gauss-Seidel迭

6、代的一個(gè)明顯的好處就是在編寫(xiě)程 序時(shí)存儲(chǔ)量減少了。如果(D-L)-1存在， Gauss-Seidel 迭代可以改寫(xiě)成 x = (D-L)-iUx + (D-L)-ib，我 們 把 kk-1L =(D L)-1U叫做Gauss-Seidel迭代的迭代矩 1陣，(D L)-1 b叫做常數(shù)項(xiàng)。對(duì)Gauss-Seidel迭代來(lái)說(shuō)，計(jì)算分量的次序是不能 改變的。Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代的收斂性分析通過(guò)上面的介紹不難發(fā)現(xiàn)Jacobi迭代與 Gauss-Seidel迭代有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是新的 近似解是已知近似解的線性函數(shù)，并且只與x k 1有 關(guān)，兩種迭代法均可表示成如下的形式*

7、-x k H = Mxk + g .事實(shí)上，對(duì)Jacobi迭代有 M= D-1(L + U)，g= D-1b ；對(duì) Gauss-Seidel 迭代， 有 M=(D L)-1U，g=(D L)-1 b .所以，把形如xkH = Mxk + g的迭代稱(chēng)作單步線性 定常迭代，其中Me Rnxn叫做迭代矩陣，gG Rn叫 做初始向量.如果對(duì)任意的初始向量由 xkh = Mxk + g產(chǎn)生的迭代序列都有極限，則稱(chēng)該 迭代法是收斂的；否則就稱(chēng)它不是收斂的或是發(fā)散 的。如果迭代法xE= Mxk + g是收斂的，并記其極限 為x*，在xkH= Mxk + g兩端取極限，得到 x = Mx + g，這表明迭代序

8、列x的極限x恰恰*k*是x* = Mx* + g的解.如果線性方程組 AX=b與 x* = Mx* + g等價(jià)，則該迭代序列也收斂到非奇異 線性方程組AX=b的唯一解.因此，如果迭代序列收 斂且存在非奇異矩陣G G Rnxn使得 G(I - M) = A，Gg=b,則對(duì)充分大的k, xk就可以 作為方程組的近似解。當(dāng)條件成立時(shí)，就稱(chēng)迭代法 xkH = Mxk + g與線性方程組是相容的。設(shè)x為AX=b的解，向量J = x x稱(chēng)為x的誤 TOC o 1-5 h z *k k *k差向量。由x= Mx + g減去x = Mx + g得 HYPERLINK l bookmark55 o Curren

9、t Document k+1k*Jk+1 = Mjk ,k=0,1,2，由此可導(dǎo)出J = Mky，所以迭代法x = Mx + g收斂的充 k0k+1k分與必要條件是Mk 0 ,又由于Mk 0的充分 與必要條件是P (M) v 1，由此得到如下定理： 解方程組AX=b的單步線性迭代xk+1 = Mx. + g收 斂的充分與必要條件是M的譜半徑p (M) V1，有 定理可知，迭代序列收斂取決于迭代矩陣的譜半 徑，而與初始向量的選取和常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。實(shí)驗(yàn)：例1：分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組10 x 一 2 x 一 x = 3-2x +10 x 一 x = 15一

10、 x - 2 x + 5 x = 10(1) Jacobi迭代法相應(yīng)的Jacobi迭代格式為x (k+1) = (2x (k) + x (k) + 3)/10 TOC o 1-5 h z 123x (k+1)=(2x (k) + x (k) +15)/10 x (k+1) = (x (k) + 2 x (k) +10)/5 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document l 312取迭代初始值為x(0) = x (0) = x (0) = 0,按此迭代123格式進(jìn)行迭代計(jì)算，得到的精確計(jì)算結(jié)果為七=1，x =2，x =3當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，迭代結(jié)果越來(lái)越接近精

11、確值，下面來(lái)討論Jacobi迭代的收斂性。10 人-2 -1迭代矩陣的特征方程為-2 10 人-1=0，展開(kāi)-1-25 人得到：(10人+ 2)(50人2-10人-3) = 0得到：(10人+ 2)(50人2-10人-3) = 0解得1 人=*5氣=W氣=寸于是我們 能得到p (M) = 1 07 R 0.3646 v 1，由此可知10-2-13、A :=-210-1b :=15-110-2-13、A :=-210-1b :=15x算法執(zhí)行的結(jié)果為678910111213M:=4D偉I00.9960.9990.99911678910111213M:=4D偉I00.9960.9990.99911

12、111,M 1 (11.9961.9991.999222222 (222.9942.9982.99933333:g - 3】J (A, b)A) L L (A) U U( A)-1 D - L)-U-10-L)- b有上述表格可知，當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，迭代結(jié)果越(2)Gauss-Seidel 迭代法相應(yīng)的Gauss-Seidel迭代格式為f小.c、 sx (k+1) = (2x (k) + x (k) + 3)/10123 X (k+1)=(2x (k+1) + X (k) + 15) /102 1 3X (k+1) = (x (k+1) + 2 X (k+1) + 10)/5I 312取迭代初

13、值為x(0) = x (0) = x (0) = 0。按此迭代格 123式進(jìn)行迭代計(jì)算，得到的精確計(jì)算結(jié)果為x1=1，x =2，x =3當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，迭代結(jié)果越來(lái)越接近精確值，下面來(lái)討論Gauss-Seidel迭代的收斂性。10 人-2 -1迭代矩陣的特征方程為-注10入-1 = 0，展-X-2人5人開(kāi)得到：(500人2 54人2)= 0，解得27 + 目729,27 .1729廣 0，X2=f，J10于 是 虹們 能P(M)= 27 +*1729 用 0.1372 10 x1 M-x + gr x1 一 xx x1x1r 1、M = 2 3 /例2：分別用Jacobi迭代法和Gauss-

14、Seidel迭代法 求解下列兩個(gè)方程組x + 2 x - 2 x = 7方程組1: *氣+ x2 + x3 = 2方程組2：2 x + 2 x + x = 5V 123x + 0.9 x + 0.9 x = 1.9* 0.9x + x + o.9x = 2.0、0.9 x + 0.9 x + x = 1.7在分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法計(jì)算 后發(fā)現(xiàn)，方程組1用Jacobi迭代法迭代4次可以得 到解為(1,2, -1)t，如果用Gauss-Seidel迭代法則發(fā)散。方程組2用Gauss-Seidel迭代法迭代84次可得 到解為r 10-2-1、r 3:A :=-210

15、-1b :=15-1-25 , 10 /Gauss-Seidel迭代格式是收斂的。 用MathCAD設(shè)計(jì)的程序?yàn)閁( A):=U A - 0for i g 0. rows(A) - 2for j g i + 1. rows( A) - 1L (A):=U,j。(-A) i, jU(1,2,3) t，若用Jacobi迭代法則發(fā)散。結(jié)束語(yǔ)：本文重點(diǎn)介紹了用Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組以及兩種迭代 法的收斂性分析，這兩種迭代法沒(méi)迭代一步均是做 L。一次矩陣和向量的懲罰，但Jacobi迭代法需要兩組 for工作單元元分(別存放(A)和x (娜，i而0Gauss-S

16、elde1迭f(代法0需要1組工作單元。分析與實(shí)驗(yàn)例題我們又得，由兩i件迭代法的收斂性 |這兩種方法可能同時(shí) 收斂，也可能同時(shí)發(fā)散，也可能其中之一收斂，而 L另外一個(gè)發(fā)散。但在當(dāng)兩種方法同時(shí)收斂時(shí)，一般 來(lái)說(shuō)Gauss-Seidel迭代法收斂速度比Jacobi迭代法的收斂速度快，因此，當(dāng)兩種方法同時(shí)收斂時(shí)，我 們應(yīng)優(yōu)先選取Gauss-Seidel迭代法。在Jacobi迭代 法和 Gauss-Seidel 迭代法求解線性方程組時(shí)， MathCAD是我們必不可少的數(shù)學(xué)工具。MathCAD 不僅僅是一套在數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)值分析方面很全面 和很方便的軟件，在自然科學(xué)的其他領(lǐng)域也具有十 分廣泛的應(yīng)用。用戶主要針對(duì)我們這些學(xué)生，所以 學(xué)會(huì)用MathCAD對(duì)我們來(lái)說(shuō)顯得尤為重要。通過(guò) 本次MathCAD的課程設(shè)計(jì)，我對(duì)MathCAD基礎(chǔ) 知識(shí)有了深刻了解，了解了 MathCAD軟件在數(shù)學(xué) 建模中的使用。學(xué)會(huì)了用MathCAD解線性方程組。 通過(guò)本次課程設(shè)計(jì)我還認(rèn)識(shí)到了堅(jiān)持和認(rèn)真的重 要性，雖然在任務(wù)的完成過(guò)程中遇到了很多的難 題，