1、一、 一元函數積分的概念、性質與基本定理1、原函數、不定積分在區間上,如 F / x f x,稱 f x 為 F x 的導函數,稱 F x為 f x 的原函數,原函數與導函數是一種互逆關系；如 F x 為 f x 的一個原函數,就 F x C 為 f x 的全體原函數；記為 fxdx ,即 fxdx = F x C不定積積分性質1 fxdx/fx或dfxdxfxdx2 F/xdxFxCgxdx3 k fxdxk fxdx4 fxgxdxfxdx原函數與導函數有互逆關系, 由導數表可得積分表；例、 P98 例 3.1 已知 F x 是 ln x 的一個原函數,x求：dF sin x解：F /x

2、lnxxdFsin x dFsinx dsinx lnsinx cosxdxdsinx sinx例、f x 的導函數是 sin x,就 f x 的原函數sinxc 1xc2,1c 、c 為任意常數 例、在以下等式中,正確的結果是C dfxfxfx A、f/xdxfx B 、C、dfxdxfx D 、dfxdxdx例、xx11dxx111dx2x41x2x2x3-5 dxC4x44 7x74x1442、運算方法1 0 換元法第一類換元法（湊微分法）常用湊微分形式dkxkdxdxcdxd1x232xcexdxx de1dxdlnxxcosxdsinx1dxd1x2x21xdxdx2 secxdxd

3、tanx11x2dxdarcsin x1xx2dx-x2dxd1x2sin2 xdxdsin2x1-xsin2xdxd2 cosx2x1 2ln例、31dx131d32x22x7、ln xdxlnxdln x2lnx3c1c2x38、cos x sin 3xdxsin 3 x dsin x1sin 4xc49、1xx2d x1d1-x21x2c-210、x2-ex 3dx1-ex3d-x31-ex3c3311、a21x2dx1112dx1arctanxcaxaaaa12、912d x12 312d2x1arctan2x4x22x6a13、x21x5d xx12dx 41c21c1arctanx

4、21c214、a1x2d xarcsinxc2-a15、1dx-9x25dx3x21 2x21arcsin23xc3516、2 sec x111dtanx12tanxtan xtan x17、tan4xdxtan2x2 secx1 dxtan2xdtanxsec2x1dx13 tanxtanxxC318、arcsin4xdxarcsin4x darcsinx14 1x215 arcsinxC519、exsinx e1 dxsinx e1 d exx cos e1C20、cosxxds2cosxdx2sinxC21、arctanxdx2arctanxdx 1xx1x2arctanxdarctan

5、x2 arctanxC22、11xdx1exexexdxe111exxdxexd1ex1x exln1x eC23、ex1dxedex4exdexe2x42xe2x1arctanx e11e2ex4x de224exx1arctanx ex1ln2 ex4 C2248P100, 9, 10, 14 除了湊微分法外其它常用變量代換 1 被積函數中含有二次根式如是a22x2,令xasintu22 a 1,u22 a 1,a2u2a2x2,令xatantx2a2,令xasectaxbxC配方1例 1、12x2dx令xsin,tdxcostdtx解：原式costcostdt二種解法1 t x2x si

6、n2tcot2tdtcsc2t1 dt1cotttC1x2arcsinxCx例 2、x214dx P105 例 4 x2（2）被積函數中含一般根式例 3、1dxt2t32P106 （6）C3x解：令3x2xdx3t2dt原式3 1t2tdt3t11t dt133x2233x23ln13x22例 4、x1dx令xt6dx6t5dt3x2原式t36 t54dt61t2tdt6t111tdtt例 5、6t2tln1tC6xC26x36ln13x6ex1 dx解：令e x11te xt21x e11 Cxln2tt21dxdtt211dttt2t1原式dt212t22tlnt1C1lnt1x e12x

7、 e1ln2 0分部積分 如 u x、v x 均具有連續的導函數,就u dv uv vdu例 1、xcos x dx xdsin xx sin x-sin x dxx sin x cos x cx x例 2、xe dx xdexexexdxxexexC例 3、arcsin x2dxxarcsinx2x2arcsin x211x2dx-xarcsinx22arcsinxd1-x21-x21dxxarcsinx221x2arcsinx-1xxarcsinx221x2arcsinx-2xC例 4、ln xdxln x d1x2xlnx-11dxxx2lnxcxx例 5、ln lnxdxln ln x

8、 dln xdxxln x ln ln x-ln x11dxln xxln x ln ln x-ln x c例 6、xtan2xdxxsec2x1 xdtanxx2x2c2121arctanxdx2xtanxtan x dx2x tan xln cos x-x22例 7、x2arctanxdxx1x21xarctanxarctanxdxarctanxc1x2arctanxdxarctanxdxarctan x1x2dx1arctan x2x2xarctan x1ln 1x21arctan x222例 8、lnxe2x1x2dx1xlnxx1x2dxx2c1xlnx1x2x2c例 9、cosexdxx edsinex esinex2sinexdexx21 1cos2xdxx ex sinex cosec例 10、xsin2xdx2x31x2dsin2xxsi