1、高等數學試卷（B 卷）答案及評分標準2022-2022年度第一學期科目:高等數學 I 班級 :姓名 :學號 :成果 : 一、填空題（351 5）a；2在該區間上（）1、fxlnx2 的定義域是 _x32、lim x 0sin2xxsin12xx3、lim x 13xe3x4、假如函數fx asinx1sin3 x,在x3處有極值,就35、23 cosxsinx1 dx432二、單項挑選題（351 5）1、當x0時,以下變量中與2 x 等價的無窮小量是（）A.1cosxB.xx2C.ex1D.ln1x sinx2、設fx在xa處可導,就以下極限中等于fa的是A Alim h 0fafafhBli

2、m h 0f aahfahh h2 h h h Clim h 0f aa Dlim h 0f2f ayfxh3 h3、設在a,b上函數fx滿意條件fx0,fx0就曲線A.上升且凹的 B.上升且凸的 C.下降且凹的 D.下降且凸的4、設函數 f x 具有連續的導數,就以下等式中錯誤選項（）A.d dx a bf x d x f x B. d a xf t d t f x d xC. d f x d x f x d x D. f t d t f t Cx 25、反常積分 0 xe d x（）A.發散 B.收斂于 1C.收斂于 12 D.收斂于 12三、算題（6 8 48 ）1、求極限lim x 0

3、tanx3sinxt4處的切線方程和法線方程y 軸所產生的旋sinx2、求limlnsinx2x2x23、求曲線xsint2 t在當ycos4、已知函數yxsinx,x0,運算d yd x5、求積分ex dx與 x 軸圍成的圖形面積,并求該圖形繞6、求積分elnxdx1e7、運算曲線ysinx ,0 x轉體體積；3 38、運算星型線 x a sin t , y a cos t , 0 t 2 , a 0 的全長 . 四、求函數求 y x 3 12 x 10 的單調區間、極值點、凹凸區間、拐點（7 ）x五、設 f x 在 0,上連續,且 0 f x ,證明：方程 x 0 f t d t 1 在0

4、,1 上有且僅有一根（5 ）d x 2 2六、設 fx連續,運算d x 0 t f x t d t（ 5 ）e t,t 0 x七、設 f（t）t 26,t 0 ,運算：F（x）f t d t（ 5 ）1 t答案：一、 填空題1、（ 2,3）（ 3,+） 2、23、lim x 13xe3x44、25、2cos3xsinx1 dx32二、1、D2、A3、B4、A5、C 三、運算題1、解：lim x 0tanx3sinx=1 coslim x 0 sin 2xx=1xecx22sinx22 42、解：limlnsinx=lim1xcosx=lim4 cosxx=1sinx224 2x28x2x2x2

5、3、解 :當t4曲線過點2,0,由于dy422,42dx所以,當t4處的切線方程和法線方程分別為:y22x212y2 x 42124、解 :dydsin exlnxsin exlnxcosxlnxsinxxsinxcosxlnxsind xd xxxx解:令ux,dx2udu,就:1解:令ux,dx2udu,就:15、令ux,dx2udu,exdx=2ueuduu 2 ue2 eudu2u1 u ec2x1 e6、解:elnxd x=1lnxdxelnxdxxlnx 11dxxlnxed1111111eeeee7、解:面積s0sinxdx22體積微分元d V2xsinx d x1所求體積V02

6、xsinx d x2xcosx 002cosx d x4238、解:弧微分ds3asin2 tdt22弧長s23 2asin2tdt6a2sin2tdt6a400四、解 :y3x212,令y,0得駐點x 12 ,x221由上可知 :函數的單調增區間為 :-,-2,2,+; 函數的單調減區間為 :-2,22函數的極大值點 :-2,26,微小值點 2,-61凹區間為 :0,+, 凸區間為 :- ,01 拐點為 :0,10 x五、證 :構造函數 x x 0 f t d t 1 ,函數在 0,1上連續 ,在區間內可導 11 0 ,1 1 0 f x d x 0 , 由連續函數的零點定理知 ,存在 在0

7、,1 內使 0 2又由于 x 1 f x 0 所以函數在 0,1 的零點唯獨 .2原命題得證 . 六、解:令:ux2t2,dut2tdt210 x2fu dudtxfx2x3dxtfx2t2d=ddx0dx2七、解 :當x0時,Fx xt edtetex2xt211arctanxftdt0當x0時,Fx dt01t63高等數學（A 卷）學院專業班級學號姓名IV1 課程考試試卷題一二三四五六七八總分閱卷號老師得 分 得一、挑選題（每道題,3 分,共 12 分）n 為（）分1、設f x 2 3 xx x使f 0存在的最高階數A 0 B 1C 2 D 32、函數yx2 t1t edt有極大值點（）x

8、0（）0（A）x1（B）x1（C）x1（D）3、已知函數f x 的一個原函數是sin2x,就xf x dxA 2 cos2xsin 2 xC B 2 sin2xcos2xCD）其次類間斷點C 2 sin2xcos2xC Dxsin 2 xcos2xC4、x2是函數f x arctan21x的（）（A）連續點（ B）可去間斷點（C）第一類不行去間斷點（得二、填空題（每道題3 分,共 12 分）；分1、函數yxex的圖形的拐點是；2、曲線y1ex2的漸進線是 ；3、設fx xet2dt,就lim h 0f xhhf xh024、lim x01xx；得 分三、求以下極限（每道題6 分,共 12 分）

9、；1、lim x 01x cos e21；2、lim x 03 tanxsinx1x1；ln 1x得 分四、運算以下微分或導數（每道題6 分,共 18 分）；1、yxarctanxln1x2,求 dy ；2、如ysinxcosx,求dy；dx3、設 得 分2、求xRcos t,求2 d y；yRsintdx2五、運算以下積分（每道題6 分,共 18 分）；1、1xdx ；x 1x11x dx；2ln3、1 01x2x2dx；得 分六、如0 x1,證明不等式1xe2x（8 分）；1x得七、設D為曲線y1x2 與直線3x2y40所圍成的平面圖形,分4得求： 1D 的面積 S；2D 繞x軸旋轉一周所

10、得的旋轉體體積V ；（10 分）八、求微分方程dy2yx15的通解（ 10 分）；分2dxx1高等數學 IV1 統考試題（ A）答案及評分標準一、 挑選（每題3 分,共 12 分）4、1、 B、 D、 A、 C二、 填空（每題3 分,共 12 分）、,22 e2、y1、2 ex22 e三、運算以下極限（每道題6 分,共 12 分）；1、解：原式 =lim x0ex2x12（2 分）244 x lim x 0 2 x 4（4 分）1 （6 分）22、 解：原式 = limx 0 xx ln1 ln1x x limx 0 x ln1x 2 x （3 分）1 x1lim 1 x lim 1 x 1（

11、3 分）x 0 2 x x 0 2 x 2四、 求以下導數和微分（每道題 6 分,共 18 分）；1、解：dy arc tan x x2 x2 dx（3 分）1 x 1 xarctanxdx（6 分）、解：yecos lnsinx（2 分）xcotxcos （4 分）cos exlnsin sinxln sin=sinxcosx sinxln sinxcotxcos （6 分）、解：解：dycott（3 分）dx2 d ycot1tR13t（6 分）x,0. （6 分）2 dxtRsinsin五、運算以下積分（每道題6 分,共 18 分）；1、解：x1xdx211x2dx（3 分）12arct

12、anxc （6 分）2、解：x11lnxdx11lnxdlnx2 分221ln|12lnx |c（6 分）23、解：令xsint,1分 原式 =022tdt1021cos2tdt4（6 分）sin2六、解：即證 1xe2x 1x 0,（ 1 分）令fx 1xe2x1x,（ 2 分）fx 12xe2x1,fx4xe2x, （4 分）當0 x1時,f x 0,f x 且f00,f和44.1 分 fx且f0 0 ,fx0 .（8 分）七、解：解 :曲線y1x2與直線3x2y40 的交點為2 1, 41D=4 2 3x41x2 dx1；5 分 2432V4 2 3x2421x22dx8；10 分 45

13、八、解：第一求對應的齊次方程的通解：dy 2y 0（1 分）dx x 12y c x 1（4 分）用常數變易法,把 c 變成 u x ,即令2y u x x 1,就有（ 5 分）dy 2u x x 1 2 x 1（6 分）dx代入到原方程中得1u x 2x1 2,兩邊積分得（8 分）9 分）u x 2 33x12c ,故原方程的通解為（yx312cx12（10 分）3高等數學 A 參考答案及評分標準考試科目：高等數學 A 上考試班級：考試方式：閉卷命題老師：一、填空題（將正確答案填在橫線上,本大題共 14 小題,每題 4 分,共 16 分）1已知當x0時, 1ax231與1cosx是等價無窮小

14、,就常數a；xcost2 t0 ,就dy；2ytcost2t221ucosududx13微分方程ydxx24xdy0的通解為；4ex2dx2x；1ln二、挑選題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中,本 大題共 4 小題,每題 4 分,共 16 分）1假如fx ax e,xx20 x0到處可導,就（）；x2,b1；b 1,A ab1；Ba0 ,b1； Ca1 ,b0；Da2函數yfx在x0 x處連續,且取得極大值,就f在x 處必有（）；xC；Afx00；Bfx00Cfx00 或不存在；Dfx 00 且fx00；2ln3如lnx為fx的一個原函數,就fxx dx（）；x；B

15、1lnxC； C1C；D1A lnxCxx2xxx4微分方程ysinx的通解是 ；Aycosx1C 1x2C2xC 3；BycosxC 1；2 Cysinx1C1x2C2xC3；Dy2sin2x；22 小題,共 14 分）三、解答以下各題（本大題共1（本小題 7 分）求極限lim x 0 xet14t2dt0 xsinx2（本小題 7 分）設yx2xtan2x,1x1,求 dy ；2四、解答以下各題（本大題共4 小題,共 28 分）1（本小題 7 分）Fx xt t4 dt,求Fx的極值及Fx 在5,1上的最值；12（本小題 7 分）求x3x2dx；13（本小題 7 分）設ftt2ex2dx,

16、運算I1tf dt；107 分 4（本小題 7 分）求積分34arcsinxdx；3 小題,共 26 分）12x 1x五、解答以下各題（本大題共1（本小題 9 分）求由曲線ye2 , x 軸及該曲線過原點的切線所圍成平面圖形的面積；2（本小題 9 分）求微分方程y4y4y3 e2x2x的通解；,Fxx 0 tn1fxntndt,證明3（本小題 8 分） 設fx 可導,且f0 0lim x 0Fx1f0；x2n2n答案：一、填空題1、a32、dyt3、x4 y4Cx4I1arctan22dx22二、挑選題 1、B2、C3、D4、A 三、運算題1、解：lim x 0 xet14t2dtlim x

17、0 x 0 t e1t2dt=lim x 0ex14x23 分25 ；30 xsinxx55x2、解：取對數lnytan2xln2x2 分兩邊對 x 求導：y22 sec2xln2xx12tan2x5 分y四、1、解：Fxxtt4dtx32x272 分133就Fxx24x,令Fxx24x0,解得x0 x4Fx 2x4,F040,所以x0時,Fx的極大值是7 ；3F4 40,所以x4時,Fx的微小值是25 ；5 分 3F1 0,F56,比較得F x在,15 上的最大值是7 ,最小值是 32、解：令xsin ,x3x2dxsin3tcos tdt 12 costdcos tcos t13 cost

18、C5 分1cos t33、解：I1tftdt11ftdt21t2f t111t2ftdt3 分00002224、解：34arcsinxdx234arcsinxxdx234arcsinx arcsinx4 分12x 1x12 112五、1、解：設切點為x 0,e2x0,就切線方程ye2x 02e2x0 xx 0又切線過原點,將,00 代入得切點1,e ,就切線y2ex5 分22、解：齊方程的特點方程r24r40,特點根r 1r22齊方程的通解是YC 1e2xC22 xex4 分設非齊次方程的一個特解為y *Ax2e2xBxC,代入原方程解得A3,B1,Cn1,故y *3x2e2xx21xn18

19、分；222222非齊次方程的通解yC12 exC2xe2x32 ex1x1 2223、證明：令uxntn,就duntn 1dt1xfudu3 分Fxx 0 tn1fxntdt10fudunxnn08 分課程名稱： 高等數學 A上課程類別： 必修 考試方式： 閉卷注 意 事 項 ： 1、 本 試 卷 滿 分 100 分 ；2、 考 試 時 間 120 分 鐘 ；一、題號一二三四五六七得分 八得分單項得分選擇 題評閱人（在每道題的四個備選答案中,選出一個正確答案,并將正確答案的選項填在題后 的括號內；每道題 3 分,共 18 分）1.D；2C ；3B；4B；5B；6A；二、填空題（每道題3 分,共

20、 18 分）得分1.lim x 0f x fx1；22；g x g030,0,3,12 e314y50 xsinx50cosx ；5lim x 1xf t dt1；6ysin1c1x212x三、運算以下各題（每道題5 分,共 30 分）得分11.limcos x 0 xsinxx1lncosxsinx解：limcos x 0 xsinxxlim x 0ex（2 分）sinxcosxlim x 0ecosxsinx（4 分）e （5 分）2. 已知f u 可導,yflnx2 xa2,求y解yflnxx22 a1xa 2（4 分）y2y xe y0 x2xx2a 2x21a2flnxx2a2（5

21、分）3.y x 由方程yxey1確定,求y . 解：兩邊同時求導得：yeyy xe y0y1eyy（2 分）xe對上式兩邊同時求導得：yy e yy e yxey即：1y xey2y e yy xey20所以：y2 2 ey3 xey2 ey3yy （5 分）1y xe323x1dx（3 分）42 xx211dx1 x解：x2x211dx1x11dx1x11dx1x222 11ln |x21|x11c（5 分）251xdxx154解：設54xt x54t2,dxtdt （2 分）21xdxx11t25dt（4 分）1548315 t1t33 | 11（5 分）836622 excosxdx0解：022 excosxdx12 excos | 0 2102e2xsinxdx （2 分）6 分）2211 1 2 2e2xsinx| 0 21022 excosxdx （4 分）2202e2xcosxdx25e（5 分）四設f x 2 xea1x0挑選合適的a b ,使得f x 到處可導；（此題2 xbxx0解：由