1、數(shù)學(xué)分析總結(jié) 微積分微分學(xué)極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)（微分）積分學(xué)不定積分定積分廣義積分級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)（泰勒） 三角級(jí)數(shù)（傅立葉）一、維度觀：函數(shù)一元函數(shù)的定義域?qū)?yīng)實(shí)數(shù)軸 上的點(diǎn)集，簡稱點(diǎn)集。二元函數(shù)的定義域?qū)?yīng)平面上 的點(diǎn)集，簡稱平面點(diǎn)集。開區(qū)間 VS 開區(qū)域閉區(qū)間 VS 閉區(qū)域a,b的特征：有界閉集連通一元：單調(diào)有界原理確界定理 閉區(qū)間套定理聚點(diǎn)定理 致密性定理柯西點(diǎn)列必收斂定理 有限覆蓋定理二元：平面上的點(diǎn)不能比較大小，因此少了 單調(diào)有界原理和確界定理 實(shí)數(shù)的完備性（或?qū)崝?shù)的連續(xù)性）極限一元：兩種方式趨向二元 重極限：x,y同時(shí)以任意方式 趨向累次極限：x與y有先有后地趨向 與重極

2、限存在 累次極限存在累次極限存在 重極限存在定義或者 （當(dāng) 時(shí)）. 2412-1在 函數(shù) 在 的極限與 處是否有定義沒有關(guān)系注意鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)以任意方向趨向時(shí)，即當(dāng) 在點(diǎn)設(shè)函數(shù)的某個(gè)去心時(shí)， 函數(shù)時(shí)的極限，記為無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)，間斷點(diǎn)的類型： 第一類間斷點(diǎn)函數(shù) 在點(diǎn) 處左右極限都存在的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)左右極限存在且相等 可去間斷點(diǎn)左右極限存在不相等 跳躍間斷點(diǎn)定義 第二類間斷點(diǎn)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左右極限中至少有一個(gè)是不存在的間斷點(diǎn)，則稱x0為第二類間斷點(diǎn)。連續(xù)一元 二元 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義極限存在、連續(xù)與可導(dǎo)（可微

3、）的聯(lián)系和區(qū)別 一元：極限 連續(xù) 可導(dǎo) 可微二元：極限 連續(xù) 可微 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是同一問題的兩個(gè)角度，導(dǎo)數(shù)側(cè)重于變化率（幾何上即切線之斜率），微分側(cè)重于近似計(jì)算。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一元：二元：二元：我們可把看作相對(duì)于的變化率，看作相當(dāng)于的變化率，看作相當(dāng)于的變化率.如果變化得比快2倍，變化得比快3倍，那么變化得比快6倍是合乎情理的.因此我們有. 若 近似計(jì)算一元二元（一階）微分近似計(jì)算公式 （高階）泰勒公式定量：拉氏余項(xiàng)， 柯西型余項(xiàng)定性：佩亞諾余項(xiàng)極值 一元二元判別法一 判別法二 定理6.10 (極值的第一充分條件) 設(shè)函數(shù) f (x) 在定理 6.12 ( 極值的第三充分條件 ) 設(shè) f

4、 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)存在直到(ii) n 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn) . 極值的第二充分條件之階的推廣問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？單調(diào)性凹凸性 一元：曲線 二元：凹凸面 （變量的）微分，就是該變量的微小線性變化部分，技巧是局部切或小切，即局部地遇線切線，見面切面也 一元（線微元） （本已線性，因此 其中 為單位切向量 二元（面微元） 其中 為單位法向量平面面積微元 設(shè)曲面的方程為：如圖，3。曲面的面積 三元（體微元） 。積分學(xué)：一、幾何角度4-D體積點(diǎn)線（長度）面（面積）體（體積）直線段長度:曲線段平面曲線段長度空間曲線段長度。平面塊（平面區(qū)域）的面積曲面塊 3-D曲面塊面積4-D曲面

5、快面積。平面塊（平面區(qū)域）的面積4-D曲面塊面積？3-D曲面塊面積空間幾何體的體積點(diǎn)線面體各積分公式的關(guān)系一重定積分：N-L公式二重積分：Green公式三重積分：Gauss公式四重積分：。維度曲線：一維直線，平面封閉曲線（Green 公式），3-D封閉曲線（Stokes公式）。維度曲面：二維平面，3-D封閉曲面（Gauss 公式）， 4-D封閉曲面。物理角度：質(zhì)量 直線段：定積分曲線段（平面，空間）：第一型曲線積分平面塊：二重積分曲面塊：第一型曲面積分3-D幾何體：三重積分做功：第二型曲線積分流量：第二型曲面積分微元法：1.（平行截線為已知的平面區(qū)域面積）2.平行截面為已知的立體體積總式： 應(yīng)

6、用 1.旋轉(zhuǎn)體體積2.計(jì)算重積分（投影降重）：X-型區(qū)域（投影到X軸上）Y-型區(qū)域（投影到Y(jié)軸上）二重積分三重積分 先投影到平面上先投影到坐標(biāo)軸上1.平面（空間）曲線的切線與法線 去掉可微的誤差項(xiàng) 曲面的切平面與法線： 去掉可微的誤差項(xiàng)2.平面（空間）曲線之弧長，平面圖形 （空間曲面）之面積，空間幾何體之體積3.平面（空間）曲線，曲面之曲率幾何應(yīng)用：做功，水壓力，引力，矩：質(zhì)量，重心（質(zhì)心），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等物理應(yīng)用： 級(jí)數(shù) 數(shù)列與級(jí)數(shù)： 數(shù)列數(shù)列 函數(shù)列：也是數(shù)列，是帶函數(shù)形式的數(shù)列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：正向級(jí)數(shù)收斂判別法 冪級(jí)數(shù)：用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 判別法求收斂區(qū)間 傅里葉級(jí)數(shù)（處理周期函數(shù)）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：(常數(shù)

7、項(xiàng)數(shù)列)函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)有界與一致有界 函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)函數(shù)列點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂點(diǎn)點(diǎn)與一致（即局部與整體）：例1 例2 但在a，1）才一致有界點(diǎn)點(diǎn)有界,但在a，1）才一致連續(xù)例3 但在a，1）才一致收斂證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來敘述 f (x) 在區(qū)例9 但仍有確實(shí)不是一致連續(xù)的.總有間I上不一致連續(xù)的定義：試問, 函數(shù) 在區(qū)間I上一致連續(xù)與 在區(qū)間I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？僅與有關(guān). 對(duì)于任意正數(shù) , 所得答:(1) 首先, 對(duì)于如果 在區(qū)間 I上連續(xù)，那么, 不僅與 有關(guān), 而且還與所討論的點(diǎn)而 在區(qū)間I上一致連續(xù). 那么顯然關(guān). 過程中有一個(gè)正下界(當(dāng)然(2) 函數(shù) f (x) 在每

8、一點(diǎn) 連續(xù),區(qū)間I上就一致連續(xù)了.這個(gè)下界只與 有關(guān), 而與x0無關(guān)), 則此時(shí) f (x)在從幾何意義上 看, 就是存在某個(gè)預(yù)先給定 的(1), 無論 N 多么大, 總存在某條曲線 只限于在區(qū)間 上, 則容易看到, 只要 不能全部落在由 夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)(圖13-2). 若函數(shù)列 曲線 就全部落在所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以 上是一致收斂的. 處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù)：P可微VS方向?qū)?shù)VS偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)的極值和最值無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值 一些較簡單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為無條件極值

9、來求解降元法，但這種方法需要經(jīng)過解方程和代入的手續(xù)，對(duì)于較復(fù)雜的方程就不容易作到，有時(shí)甚至是不可能的解決條件極值問題的一般方法是Lagrange乘數(shù)法升元法求 z = f ( x , y )其幾何意義是其中點(diǎn) ( x , y ) 在曲線 L 上xyzoz=f(x,y)LM無條件極值點(diǎn).P條件極值點(diǎn).1. 已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為 求線狀物體的質(zhì)量 m . 由物理學(xué)知道，如果一個(gè)物體在常力F作用下，使得物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng) ，物體有位移 s 時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為：W=F*s 這個(gè)公式只有在力F是不變的情況下才適用，但在實(shí)際問題中，物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受到的力是變化的。下面我

10、們通過例子來說明如何利用微元法來求變力所作的功。例1 已知彈簧每伸長 0.02 m 要用 9,8 N 的力，求把彈簧拉長 0.1 m 需作多少功一、變力沿直線作功 當(dāng)我們拉長彈簧時(shí)，需要克服彈性力作功，由 Hoke 定律，彈性力F與伸長量 x 之間有函數(shù)關(guān)系： F=kx k 彈性系數(shù)用微元法由題設(shè)9.8=0.02k k= 490要求的是變力所作的功F=490 x 取 x 為積分變量積分區(qū)間為 0 ,0.1 彈簧由 x 處拉到 x +dx 處，由 F (x ）的連續(xù)性，當(dāng) dx 很小時(shí)，彈性力F (x) 變化很小，可近似地看作是不變的（常力）解 于是在小區(qū)間 x， x +dx 上對(duì)應(yīng)的變力F所作的功近似于把變力F看作常力 F =490 x 所作的功如果積分區(qū)域?yàn)椋篨型其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).二重積分的計(jì)算法(1)一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得例1 求由兩個(gè)圓柱面圍立體的體積.解 二重積分的計(jì)算法（2）一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分設(shè)曲面的方程為：如圖，3。曲面的面積曲面S的面積元素設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得簡述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域求半徑為R的球面的表面積解