1、高考數學壓軸題：平面解析幾何一、解答題（共35小題）1.已知直線/：），=6+ 1（4。0）與橢圓3/+爐=相交于A、4兩個不同的點，記/與y軸 的交點為C.（I）若k = T,且IABI=叵，求實數。的值；2（II）若衣=2荏，求A4Q8面積的最大值，及此時橢圓的方程.已知橢圓C:二+二=1（00）的離心率為省，其左、右焦點分別為小F,點（工, cr b2y0）是坐標平面內一點，且IOP1= 4,PPE =京。為坐標原點）.（1）求橢圓C的方程；（2）過點S（0,-3且斜率為的動直線/交橢圓于A、3兩點，在y軸上是否存在定點3使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明

2、理由.已知橢圓，+ = 1（人0）的左、右焦點分別為、F短軸兩個端點為A、B,且四邊形EAF,B是邊長為2的正方形. I -（1）求橢圓的方程：（2）若。、。分別是橢圓長的左、右端點，動點滿足A/Q_LCO,連接CM,交橢圓于 點、P.證明：次0.0戶為定值.（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q,使得以為直徑的圓恒過 直線MQ的交點，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.4已知橢圓的離心率釁，長軸長為等于圓R的直徑，過點P（O,1）的直線/與橢圓C交于兩點A，B，與圓A交于兩點M, N（I）求橢圓C的方程：（II）求證：直線K4, /S的斜率之和等于零：（III）求

3、IA8UMNI的取值范圍.已知橢圓。:+:=1（“0）的離心率為1,以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑 a b2的圓與直線工-5 +四=。相切.（I）求橢圓C的方程：（II）設P（4.0）, A, 3是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接心交橢圓。于另一點E，證明直線與x軸相交于定點。：（HI）在（H）的條件下，過點。的直線與橢圓。交于M，N兩點,求瑞麗的取值范圍. （2016太原校級二模）已知橢圓C:=+二=1（“0）的離心率為玄，以原點為圓心, cr b2橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線A-y + x/2=0相切.（I）求橢圓C的方程：（II）若過點M（2,0）的直線與橢圓。相交于A，

4、3兩點，設。為橢圓上一點，且滿足。4 + 0后=/0戶（0為坐標原點），當-尸由0）的左頂點為4，右焦點為A，過點F,作 cr lr垂直于X軸的直線交該橢圓于、N兩點,直線A例的斜率為g.（I）求橢圓的離心率：（II）若AN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長為求橢圓方程.江西模擬）橢圓。）的離心率%，其左焦點到點皿的距離為g.（I ）求橢圓c的標準方程；（II）若直線/:，=4+?與橢圓C相交于A, 3兩點（A, 3不是左右頂點），且以為 直徑的圓過橢圓。的右頂點.求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.（2016石家莊二模）已知橢圓C:二十=1（“0）的離心率為立，過點M（LO）的直 c

5、c lr2線/交橢圓C于A，4兩點，IM4I=4IM8I,且當直線/垂直于X軸時，（1）求橢圓C的方程：（2）若幺亡百，2）,求弦長IA8I的取值范圍.（2016 河南模擬）在平面直角坐標系My中，已知圓G：（x + 3）2+（），-1=4和圓G：（A-4）2+（y-5）2=4（1）若直線/過點44,0）,且被圓G截得的弦長為26，求直線，的方程（2）設。為平而上的點，滿足：存在過點尸的無窮多對互相垂直的直線4和/?,它們分別 與圓G和G相交，且直線4被圓G截得的弦長與直線A被圓g截得的弦長相等，求所 有滿足條件的點戶的坐標.22.（2015濰坊模擬）設橢圓C:二+=1（“/20）的左、右焦點

6、分別為石，工，上頂點 cr lr為A,過點A與4巴垂直的直線交x軸負半軸于點。，且2片月+月。=（1）求橢圓C的離心率：（2）若過A、。、外三點的圓恰好與直線/：x-C.y-3 = 0相切，求橢圓C的方程：（3）在（2）的條件下，過右焦點居作斜率為4的直線/與橢圓。交于A/、N兩點，在x軸 上是否存在點P（，兒0）使得以PM，/W為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出“ 的取值范用，如果不存在，說明理由.（2019秦淮區三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：二+二=1（a0） cr lr的離心率為正，以橢圓C左頂點7.為圓心作圓丁:。+ 2）2 + /=/0）,設圓T與橢圓C 2

7、.交于點M與點N.（I）求橢圓c的方程：（2）求7、A/77V的最小值，并求此時圓7的方程：（3）設點戶是橢圓。上異于M, N的任意一點，且直線NP分別與x軸交于點A,S, O為坐標原點，求證：ORQS為定值.13.（2016益陽模擬）已知以點4-1,2）為圓心的圓與直線4h + 2y + 7 = O相切.過點 8（-2,0）的動直線/與圓A相交于何、N兩點，。是MN的中點，直線/與4相交于點尸.（/）求圓A的方程：（II）當MN = 2M時，求直線/的方程;（IH）至即是否為定值，如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.（2019上海）已知橢圓三+二=1, F；, 為左、右焦點，直線/過居交

8、橢圓于A, B 84兩點.（1）若直線/垂直于X軸，求IABI：（2）當N6A3 = 90。時，A在x軸上方時，求A、3的坐標；（3）若直線A4交y軸于，直線8月交），軸于N,是否存在直線/,使得5/9=5、皿，若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.（2019新課標III）已知曲線C：y = g,。為直線了 = -；上的動點，過。作。的兩條切線，切點分別為A , B.（1）證明：直線回過定點.（2）若以七（0士）為圓心的圓與直線4?相切，且切點為線段他的中點，求該圓的方程. 2（2019 新課標1【）已知點A（-2,0）, 8（2,0），動點M（x,y）滿足直線AM與8M的斜率之積為

9、-記M的軌跡為曲線C.（1）求。的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交。于尸，。兩點，點尸在第一象限，軸，垂足為石，連結QE并延長交C于點G.證明：APQG是直角三角形：（/）求APQG而積的最大值.（2019浙江）如圖，己知點尸（1,0）為拋物線V=2px（0）的焦點.過點F的直線交拋 物線于A, 8兩點，點。在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q,且。在點F的右側.記A4FG, ACQ7的面積分別為S；,邑.（I）求的值及拋物線的準線方程；（2019新課標川）已知曲線C:），= 5,。為直線,，=-；上的動點，過。作C的兩條切 （1）證明：直線4?過定點；（2

10、）若以七（0金）為圓心的圓與直線4?相切，且切點為線段4?的中點，求四邊形4ME的 2面積.（2018天津）設橢圓二+二=1（/70）的左焦點為尸，上頂點為已知橢圓的離 cr lr心率為立，點A的坐標為（氏0）,且I尸8MA31=6強.3（I）求橢圓的方程：（II）設直線/:），=履（攵0）與橢圓在第一象限的交點為夕，且/與直線相交于點。.若需=孚0必。0（。為原點），求k的值.（2018 江蘇）如圖，在平而直角坐標系xOy中，橢圓C過點（指焦點6（- 6, 0）,F式下,0）,圓。的直徑為片/；.（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設直線/與圓O相切于第一象限內的點尸.若直線/與橢圓C有且只有

11、一個公共點，求點P的坐標：直線/與橢圓。交于A, 8兩點.若38的面積為手，求直線，的方程.（2018浙江）如圖，已知點P是），軸左側（不含），軸）一點，拋物線C：V=4x上存在不同的兩點A , 8滿足抬，心的中點均在。上.（I）設AB中點為M,證明：垂直于y軸：（II）若夕是半橢圓F+=1。0）.（1）證明：k2.在平面直角坐標系xO-v中，已知點尸（2,0）,直線/以=，曲線：3，2=8（0（14,聯0）./與刀軸交于點人、與交于點3.P、。分別是曲線r與線段上的動點.（1）用/表示點3到點尸的距離;（2）設，=3, IFQI=2,線段OQ的中點在直線。上，求&4QP的而積：（3）設/ =

12、 8,是否存在以人P、EQ為鄰邊的矩形FPEQ,使得點E在F上？若存在，求點 產的坐標；若不存在，說明理由.（2018新課標II）設拋物線C：y2=4x的焦點為尸，過F且斜率為4伏0）的直線/與。 交于A, 3兩點，IABI=8.（1）求/的方程：（2）求過點A，4且與C的準線相切的圓的方程.2（2017上海）在平面直角坐標系xOv中，已知橢圓三+ V = 1，A為的上頂點，P 4為r上異于上、下頂點的動點，m為X正半軸上的動點.（1）若。在第一象限，且求尸的坐標：（2）設尸（號），若以A、。、M為頂點的三角形是直角三角形，求M的橫坐標； ） 5（3）若IMAITMPI,直線AQ與交于另一點C

13、,且入。=2/，/吸= 4PM.,求直線A。 的方程.（2017天津）設橢圓二+二=1（a0）的左焦點為F,右頂點為A,離心率為已 “ ly2知A是拋物線v2 = 2Px（p 0）的焦點，F到拋物線的準線/的距離為1. 2（/）求橢圓的方程和拋物線的方程：（）設/上兩點尸，。關于X軸對稱，直線AP與橢圓相交于點異于A）,直線8。與X軸 相交于點若A4PQ的而積為*,求直線”的方程.（2017山東）在平面直角坐標系xOv中，橢圓E：二十二=1（a0）的離心率為北， cr lr2焦距為2.（I）求橢圓E的方程.（II）如圖，動直線/:），=左產-吏交橢圓七于A, B兩點,C是橢圓E上的一點，直線O

14、C 2的斜率為3,且火人=專，M是線段OC延長線上一點，且IMO:IA5I=2:3, 的 半徑為IMCI，OS，07是OM的兩條切線，切點分別為S, T,求NSOT的最大值， 并求取得最大值時直線/的斜率.（2017新課標H）設O為坐標原點，動點M在橢圓C:三+ 丁=1上，過M作x軸的垂 2 .線，垂足為N,點夕滿足N/S = JLVA/.（1）求點尸的軌跡方程：（2）設點。在直線x = -3上，且OAP0 = 1.證明：過點夕且垂直于O。的直線/過。的左 焦點F.（2017新課標【）已知橢圓C:二十二=1（。60）,四點耳。）,2（0,1）, R（T當, er lr2，（1,手）中恰有三點在

15、橢圓C上.（1）求。的方程；（2）設直線/不經過戶,點且與C相交于A, 3兩點.若直線AA與直線A8的斜率的和為1,證明：/過定點. 730,（2016浙江）如圖，設橢圓C:二+），2=1（“1） cC（I）求直線y = + l被橢圓截得到的弦長（用a, A表示）（H ）若任意以點出0.1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍.31 . （2016天津）設橢圓二+二=1（右）的右焦點為尸，右頂點為A.已知 cr 3焉+焉=言1,其中。為原點為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程：（2）設過點A的直線/與橢圓交于點8（8不在x軸上），垂直于/的直線與/交于點M，與,， 軸于點，

16、若BF工HF，且乙0。運NM4O,求直線/的斜率的取值范圍.32.（2016四川）已知橢圓E:二+二=1（0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三 角形的3個頂點，直線/: y = -x + 3與橢圓E有且只有一個公共點了.（I）求橢圓上的方程及點7的坐標；（II）設O是坐標原點，直線平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線/交于點夕.證明：存在常數/I,使得尸川，并求2的值.（2016山東）平面直角坐標系xOv中，橢圓C:二十二=1（）0）的離心率是立， w lr2拋物線E：x2= 2y的焦點F是C的一個頂點.（I）求橢圓C的方程：（II）設夕是E上的動點，且位于第一象限，E在點p處

17、的切線/與C交于不同的兩點A,B,線段M的中點為。，直線QD與過。且垂直于x軸的直線交于點求證：點M在定直線上：（萬）直線/與y軸交于點G，記APFG的而積為5；, APDW的面積為邑，求區的最大值及（2016新課標II）已知橢圓E:二+二=1的焦點在x軸上，A是的左頂點，斜率為 t 3（女0）的直線交于A, M兩點，點N在E上，MANA.（I ）當，=4, IAMHANI時，求的面積；（II ）當21AMlT4VI時，求k的取值范圍.（2016新課標I ）設圓/ +獷+ 2.15 = 0的圓心為A,直線/過點3（1,0）且與x軸不重 合，/交圓A于C,。兩點，過3作AC的平行線交于點七.（I

18、）證明IfXI + IE創為定值，并寫出點E的軌跡方程：（H）設點上的軌跡為曲線G，直線/交C；于M，N兩點，過4且與/垂直的直線與圓A交 于夕，。兩點，求四邊形MPN。而積的取值范圍.2020年高考數學復習之挑戰壓軸題（解答題）：平面解析幾何綜合題（35題）參考答案與試題解析一、解答題（共35小題）1. （2016南昌校級二模）已知直線/:），=區+ 1伏=0）與橢圓3/+/= “相交于A、5兩個不同的點，記/與），軸的交點為C.（I）若k = l,且,求實數。的值； 2（II ）若AC： = 2C%,求A4O8面積的最大值，及此時橢圓的方程.【考點】K4：橢圓的性質【專題】5E：圓錐曲線中

19、的最值與范陽問題【分析】（【）若k = l,聯立直線和橢圓方程，結合相交弦的弦長公式以及IA8I=遮，即 2可求實數。的值：（H）根據/=2國關系，結合一元二次方程根與系數之間的關系，以及基本不等式進行求解即可.【解答】解：設4（%,工），B（x2 , y2）,（I ）由+ |得 4/+2x + l a = 0,3 r += a則 M+&=_；，則 I AB 1=壺 I Aj x21= /2 解得 a = 2 .+ （II ）由仁二），得（3 + /+2履+ 1- = 0, = a則玉+與=-3工/2=3*由 A6 = 2C哈得（一王，1 一%）=2（占, %-1），解得芯=-2毛，代入上式得

20、：2k nili 2kxi+a2=-.2=- ,則 X2=k TOC o 1-5 h z cI。 3| t 3Ml 3 d 365.nK = -IOC hx -xJ= - Ix, 1=t = f&尸二，必22-2 - 3 + 二+|62JJ 2ill2k4k1?當且僅當y=3時取等號，此時占=上二，-2=-2x,=-三-3 + k2-(3 + K/ 3乂內一 3 + 人二一 6則三匕二，解得 =5. 63所以，A4O8面積的最大值為日，此時橢圓的方程為3/+.F=5.【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，利用直線方程和橢圓方程構造方程組，轉化為根與系數之間的關系是解決本題的關鍵.2.（2017河

21、南模擬）己知橢圓C：二+匚=1（/）0）的離心率為噂，其左、右焦點分別 cc lr2行3為F；,外，點0（與，。）是坐標平面內一點，且10尸1=+.尸耳尸尸；=/0為坐標原點），（I）求橢圓C的方程；（2）過點S（0,-!）且斜率為4的動直線/交橢圓于A、3兩點,在，軸上是否存在定點M, 使以他為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明理由.【考點】K3：橢圓的標準方程：K4：橢圓的性質：KHz直線與圓錐曲線的綜合【專題】11：計算題；15：綜合題：16：壓軸題【分析】（1）設出戶的坐標，利用IOPI的值求得與和光的關系式，同時利用兩至=3求得X。和耳的另一關系式，進而求得。，

22、通過橢圓的離心率求得。，最后利用。，和。的關系求得，則橢圓的方程可得.（2）設出直線/的方程，與橢圓方程聯立消去），設A0,，），8（&, %）,則可利用韋達定理表示出內十王和王七，假設在），軸上存在定點M（0.?），滿足題設，則可表示出MA.MB ,利用MA.MB = 0求得m的值.【解答】解：（1）設 P*o，%）,月（一C,O）, A； （GO）,則由|OP卜平得x： + y：=j 33由 PEE得（-0一入。，一）。）_，一,0）= 1，即片+常。2=孑所以。=1又因為 =走，所以“2=2,從=1. a 2因此所求橢圓的方程為：y + r =1.(2)動直線/的方程為：y = kx-；

23、,y = kr-由4,3得(2y+1)/-士丘一3 = 0. TOC o 1-5 h z 廠)f39+ y- = 112 *設 4X，M)，B(4 , y2).m,i4k16則=而百*一市E假設在y軸上存在定點M(O,M，滿足題設，則m4 =(xj-，),加* =(0%-。-MAMB = xx2 +(y -m)(y2 - m) = x1x2 + yIy2 -m(y +%)+ =xx2 + (kx1 一 ；)(k& -1)- ?(心一 + 3 - ()+ 而 JJJJ,121= (k2 +)xx2(一+ ?)(x +) + / + 二?+ 3316(公+1) .J , x 4k .).2 , 1

24、9(2k2+)33(2 公+1)3918(，/- 1次2+(9/+6？-15)9(2y+ 1)由假設得對于任意的k 6 R.MA.MB = 0恒成立,即,解得? = 1.9r +6？-15 = 0因此，在)，軸上存在定點M,使得以筋為直徑的圓恒過這個點，點M的坐標為(0,1)【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質.考查了學生分析問題和推理的能力. )23.(2016衡陽三模)己知橢圓二+二=1(“0)的左、右焦點分別為6、F,短軸兩個 cr b一端點為A、B,且四邊形月AA8是邊長為2的正方形.(1)求橢圓的方程:（2）若。、。分別是橢圓長的左、右端點，動點滿足連接CM,交橢圓于點、P證明：加。

25、戶為定值.（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q,使得以為直徑的圓恒過 直線。P、M。的交點，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.【考點】K3：橢圓的標準方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合【專題】11：計算題；16：壓軸題 TOC o 1-5 h z 22【分析】由題意知=2, b = c, /r = 2,由此可知橢圓方程為t +4 = l 42（2 ） 設 例（2,汽），P（x ,凹），則出=（z5）。材=（2,方）， 直 線CM: y = -（x + 2）,EiPy = -x + y0 代 入 橢 圓 方 程 x2 + 2y2 = 4 , 得（1 +3）/+:凹#

26、 + 之火-4 = 0,然后利用根與系數的關系能夠推導出加加為定值. 822（3）設存在0（加,0）滿足條件，則MQ_LOP.-比）,0戶=（一2三.率、），再Jo + 8 0 + 8由MQ DP = 0得-金工（,一2）-上三=0 ,由此可知存在。（0.0）滿足條件.得+8齊+8【解答】解：（1） = 2, h = c, a2=h2+c2t/?2=2；2，橢圓方程為二+二=1 （4分） 42（2） C（-2,0）, 0（2,0）,設何（2,”），P（x，則 O戶= （xqJoW =（2,），。）直線CM : y =胃（ + 2），即），吟x + gy。，代入橢圓方程/ + 2/= 4, TO

27、C o 1-5 h z 得（1 +今）/+、，& + ：），；4 = 0 （6 分） 822V等”北”恐*-黃器分,. W.而=_4（/8+_ = 4/+32=4 （定值）a。分） K+8%+8打+8（3）設存在。（見0）滿足條件，則MQJ.O尸（11分）加0=。-2,一汽）,。戶=（-4,4）（12 分）0 +8 No + X則由法09=0得一二工（加一2）-上=0,從而得? = 0 得+8y（；+8存在。（0,0）滿足條件（14分）【點評】本題考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答.（2016天津一模）己知橢圓C:二+二= 13A0）的離心率為嚀，長軸長為等于圓 a h2H:

28、/+（y-2）2=4的直徑，過點尸（0,1）的直線/與橢圓。交于兩點A, B,與圓A交于兩點M, N（I）求橢圓C的方程：（II）求證：直線KA,的斜率之和等于零：（III）求IA8UMNI的取值范圍.【考點】K1：圓錐曲線的實際背景及作用：K3：橢圓的標準方程【專題】15：綜合題；31：數形結合：34：方程思想；4R：轉化法：5D：圓錐曲線的定 義、性質與方程【分析】（I）根據橢圓的簡單幾何性質，求出。、，的值即可：（II ）當直線/的斜率存在時，求出直線心1、刖的斜率之和即可證明結論成立：（IH）討論直線/的斜率是否存在，利用弦長公式以及轉化法、基本不等式等求出I A8II MN I 的取

29、值范圍.【解答】解：（I）因為橢圓。長軸長等于圓H：x?+（y-2/=4的直徑，所以2/ = 4, “ = 2：.（1 分）由離心率為立，得/= = 上二=_1,所以匕=- = 得=2；（2分） 4 2所以橢圓。的方程為三+t=1:（3分）42（H）當直線/的斜率存在時，設/的方程為 =匕+ 1,與三+t=1聯立,42消去y,得（1 + 2所以匕=- = 得=2；（2分） 4 2所以橢圓。的方程為三+t=1:（3分）42（H）當直線/的斜率存在時，設/的方程為 =匕+ 1,與三+t=1聯立,42消去y,得（1 + 2二）/+4履一2 = 0；設 A。,），8（七,月），則 x+ =4kl +

30、2k2 V,Az = T+2F,.(5 分)由 R(0.2),得Ai/kx- kx- =!+ = 2k-(- + -)王士= 2-巨4k= 2k- 產=0. . (7 分)- 1 + 2y所以直線/M, /W的斜率之和等于零：（8分）（IH）當直線/的斜率不存在時，IA創=2，IMNI=4, IA8IIMNI=8V?：（9分）當直線/的斜率存在時,I 泌=JarJ+GL)#=+4)2 一4,人= NJ（一各）？+4x + 2k2加N葉（百=2而,分）4 萬+W4F+3 l + 2k?因為直線/過點P（O.l）,所以直線/與橢圓。和圓R均交于兩點, 令1 + 2尸=，貝打1 ,所以 I AB W

31、 MN1= 4 J 2f - = 4J； /2.1在01時單調遞增，所以 I AB kl MN 1= 4聞4 34#,當且僅當r = l,左=0等號成立：（13分）綜上，IA8UMNI的取值范圍是4而，8應.（14分）【點評】本題考查了圓錐曲線的綜合應用問題，也考查了數形結合思想、方程思想的應用問 題，考查了計算能力與分析問題、解決問題的能力，是綜合性題目.（2015大慶一模）已知橢圓C:+:=1（“0）的離心率為以原點為圓心，橢 cr It2圓的短半軸為半徑的圓與直線X - y + # = o相切.（I ）求橢圓C的方程：（II）設尸（4,0）, A, 3是橢圓C上關于X軸對稱的任意兩個不同

32、的點，連接總交橢圓C 于另一點E，證明直線4?與X軸相交于定點。：（IH）在（II）的條件下，過點。的直線與橢圓。交于M，N兩點，求麗,麗的取值范 圍.【考點】K3：橢圓的標準方程；K4：橢圓的性質【專題】11：計算題；15：綜合題：16：壓軸題【分析】（I）由題意知-= = 1,能夠導出2=2.再由二三二可以導出橢圓。 a 23V1 + 1的方程為三+ = 1.43、，=/一4）（II）由題意知直線用的斜率存在，設直線用的方程為y = k（x-4）.由/ / 得+ = 1.（軟2+3）/-32女 + 642-12 = 0,再由根與系數的關系證明直線AE與x軸相交于定點0（1,0）.（山）分M

33、N的斜率存在與不存在兩種情況討論，當過點。直線MV的斜率存在時，設直y = /n（x-l）線MN的方程為y = 】（x-1）,且，） , N（x,n，）在橢圓C上.由y2-+ - = 1.U 3得（4/zr + 3）x2-Snrx +-12 = 0.再由根據判別式和根與系數的關系求解OM.ON的取值范圍：當過點。直線MN的斜率不存在時，其方程為x = l,易得M、N的坐標，進而可得0府麗的取值范圍，綜合可得答案.【解答】解：（I ）由題意知？ = = ,a 2hi”， / a- 1所以寸=.cr cr 4即1=%3又因為b = $= =6,V1 + 1所以= 4，/=3 .故橢圓。的方程為三+

34、二=1.43（II ）由題意知直線所的斜率存在，設直線總的方程為），=女3-4）.得(4K+3)x? -32k得(4K+3)x? -32k24 +64父- 12 = 0.143 設點 8區，x), E(x2 9 y2) 9 則 A($,%) 直線AE的方程為y-義=*7,).X、- X.令y=o,得=x,七+,將 X =&（N -4），l =（與 一明代入，整理，得1二21整理，得1二21二32K + 居-832k264y 12代入整理，得x=l.所以直線AE與x軸相交于定點Q（LO）.（HI）當過點。直線A/N的斜率存在時，設直線MV的方程為y = ?（工-1）,且/（.% , %），NQn

35、，yN）在橢圓。上.得(4m2得(4m2 + 3)x2 - 8m2x + 4m2 -12 = 0 .1438/n24J+34m2 -128/n24J+34m2 -12荷+ 3，v =9府4m2 +3貝lj 貝lj OM.ON = x/n + y.wXv =5療+12 _ _ J _334m2+3 - 4 4(W+3)因為J2。因為J2。334(4 J +3)0）的離心率為玄，以原點為圓心, cr b2橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線工-y + = 0相切.（I ）求橢圓C的方程：（II）若過點M（2,0）的直線與橢圓C相交于A, 4兩點，設P為橢圓上一點，且滿足。4 + 04=心/彳。為坐標原點

36、），當|萬一尸月|0 ，;+ r = 1.產!. （6分） 28k*8代一2 k v 片X +占=r，XJX, =r -/ QA + 08 = tOP (x + ax +x2 8KA=_r=x +x2 8KA=_r= t( +2k2)X+A lr, /、丁=*+%)軟=/中丁點 P 在橢圓上，+2 J4二.=2,，16&2=/(1 + 2).(8 分)產(1 +2/)2-(1 + 27)2：PA-PB-,二x/W，:.( + k2 )(a-, + x2 )2 - 4x, o-2 0,二攵21.(10 分)(1 + 2公產1 + 2K,94-6k2 =r( + 2k2)92k 1 -6k2 =r

37、( + 2k2)92k 1 - 42/ 手或 W，0）的左頂點為A，右焦點為匕,過點F,作 cr lr垂直于X軸的直線交該橢圓于M、N兩點，直線4例的斜率為1.（I）求橢圓的離心率:（II）若AMN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長為羨，求橢圓方程.【考點】K4：橢圓的性質【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（【）首先，得到點M的坐標，然后，代入，得到，_ =從而確定其斜率關系: a + c 2V（H）首先，得到4（-左，O）M（c，/），然后，可以設外接圓圓心設為P（小，0）,結合圓的性質建立等式，然后，利用弦長公式求解即可. TOC o 1-5 h z 【解答】解：（【）由

38、題意M（c,2）（1分）a忙因為A（dO）,所以（2分）a + c 2將心/一/代入上式并整理得二= 1 . 1 （或”=勿）（3分）a2所以e（4分）2 22（H）由（【）得” = 2c, =瘋（或二 + 工=1）（5 分）4l 31*所以A（-2c, O）M（c-） t外接圓圓心設為P（i, 0）2 = 1（8分）由得5 + 2c）2 = J（x0 - c）2 + 2 = 1（8分）所以AA/N外接圓在M處切線斜率為-?，設該切線與橢圓另一交點為。則切線MC方程為g = *_c）,即尸（9分）與橢圓方程3/ +4y2 =3 聯立得/-18cx+1H = 0（10分）解得玉=c,x, = 9

39、（11分）由弦長公式1。1=川+公1%一1得1 +（-上1k一上1=?（12分）解得c = l（13分）所以橢圓方程為二十工=1（14分）43【點評】本題重點考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系、弦長公 式等知識，屬于中檔題.8.（2016江西模擬）橢圓C:二+二=1（“0）的離心率為L 其左焦點到點P（2,l）的距 a- b2離為M.（I）求橢圓C的標準方程；（II）若直線/：y =4+?與橢圓C相交于A, 8兩點（A, 3不是左右頂點），且以為 直徑的圓過橢圓。的右頂點.求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合【專題】5E：圓錐曲線中的

40、最值與范用問題【分析】（I）利用兩點間的距離公式可得c，再利用橢圓的標準方程及其性質即可得出。，b :（II ）把直線/的方程與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用以為直徑的圓過 橢圓的右頂點。，可得心。/皿=-1，即可得出初與A的關系，從而得出答案.【解答】解：（I）.左焦點（一。,0）到點P（2,l）的距離為屈，二J（2 + c +1 =加，解得c = 1.乂 e =2=,解得 ” =2, /. b2 = a2 c2 = 3 .a 222.所求橢圓c的方程為：=+二=1.43Jy =履 + mX2 V2得（3 + 軟21 + 8依 + 4（/ -3） = 0 ,+ = 1 = 64m2

41、k2-16(3 + 4k2)(m2-3)0,化為3 + 4Jt2.A+公 =-Smk3 +4kA+公 =-Smk3 +4k2XlX2 =4(m2 - 3)3 +4k2, 3(-4k2)y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = kxxx2 + mk(xx +x2) + nf = -； 3 + 4k;以4?為直徑的圓過橢圓的右頂點0(2,0), 3nMM =-1,= 玉 一 2 x2 -2,+ X與 - 2(x ,+ X與 - 2(x + 占)+ 4 =0,3 + 4公 + 3 + 4代+ 3 + 4y+ 一 化為 7J +16nik + 4G = 0,解得 m1 = -2k , m

42、2 = 一半.,且滿足3 + 4/0 當? = 一24時，l:y = k（x-2）t直線過定點（2,0）與已知矛盾：當機=一心時，/：y = （x，）,直線過定點（二,0）. 7-77綜上可知，直線/過定點，定點坐標為g,0）.【點評】本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得 到根與系數的關系、圓的性質、兩點間的距離公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題.9.石家莊二模）已知橢圓。!+小（。）的離心率為爭過點軟L。）的直 線/交橢圓。于A，3兩點，且當直線/垂直于工軸時，IA8I=.（1）求橢圓。的方程：（2）若見耳，21，求弦長IA8

43、I的取值范圍.【考點】K4：橢圓的性質【專題】15：綜合題：34：方程思想；49：綜合法：5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）先由離心率得到。，的關系，再由求出，再由直線/垂直于x軸時， 求得關于。，人的另一方程，聯立求得。，的值，則橢圓的標準方程可求；（2）設的方程y = （x-1）,將直線的方程代入橢圓的方程，消去x得到關于，的一元二 次方程，再結合根系數的關系，利用向量坐標公式及函數的單調性即可求得直線相的斜率 的取值范闈，從而求得弦長IA創的取值范圍.【解答】解：（1）由題意可得，。= =正，即:，a 2 cr 2/.= 則 1=2/r，w 2把x = l代入J +二=1，得

44、y =，cr lr - a則竺二7=， a聯立得：cJ=2, /=1. .橢圓。的方程為;+ _/=1；（2）如圖，當直線/的斜率存在時，設直線/方程為），=女（尤-1）,聯立+/ = 1聯立+/ = 112 得(1 + 2二)了2+26一獷=0.設 A（x，,），8（七，A），-2k1 + 2公* = 1 + 2/二（1一玉,一.） = /（占 -1，為），則一%=， TOC o 1-5 h z 41把代入消去為得：-7 = z + 1-2, 1 + 2k411當尤e_, 2時，r = /l + - 2曰0,1 + 2KA27解得：k,g.1 AB=舊!”、，+ f /=解7T+蕓 =2廛=

45、2向右)=2商-)e (竽2+f【點評】本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平而向量的 運算等.直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，突出考查 了數形結合、函數與方程、等價轉化等數學思想方法.10. （2016河南模擬）在平面直角坐標系中，已知圓q：（x + 3）、（），7）2=4和圓C2:（A-4）2+（y-5）2=4（1）若直線/過點A（4,0）,且被圓G截得的弦長為2/,求直線，的方程（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點夕的無窮多對互相垂直的直線4和它們分別與圓G和G相交，且直線4被圓G截得的弦長與直線4被圓G截得的弦長相等，求所 有

46、滿足條件的點P的坐標.【考點】JE：直線和圓的方程的應用【專題】15：綜合題【分析】（1）因為直線/過點44,0）,故可以設出直線/的點斜式方程，又由直線被圓G截得的弦長為26，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即 圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率4的方程，解方程求出左值，代入即得直線/ 的方程.（2）與（1）相同，我們可以設出過。點的直線乙與的點斜式方程，由于兩直線斜率為1,且直線乙被圓截得的弦長與直線被圓G截得的弦長相等，故我們可以得到一個關于 直線斜率的方程，解方程求出k值，代入即得直線乙與，的方程.【解答】解：（1）由于直線x = 4與圓不相交；.直線/的

47、斜率存在，設/方程為：，=女*-4） （1分）圓G的圓心到直線/的距離為d, /被OG截得的弦長為26:,1 = 1 = k 整理得11 + 34+，法一 IT 5攵+4 一尿（8分）.11 + 3% +成一方= (52 + 44一尿)即 3+b -2)& = 一 + 3或(- + 8)& = + -5班的取值有無窮多個，所以;*班的取值有無窮多個，所以;*（10 分） TOC o 1-5 h z 53a = a =解得 之或 ， ,11 13b = 一b =2I 2這樣的點只可能是點弓，-；）或點鳥（-1, ） （12分）【點評】在解決與圓相關的弦長問題時，我們有三種方法：一是直接求出直線與

48、圓的交點坐 標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數的關 系得出，即設直線的斜率為八直線與圓聯立消去），后得到一個關于x的一元二次方程再 利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求.對于 圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷.本題所用方法就是第三種方法.211.（2015濰坊模擬）設橢圓C:二+二=1（a0）的左、右焦點分別為K，F,上頂點 cr b為A,過點A與人工垂直的直線交x軸負半軸于點Q,且2職+收=。.（1）求橢圓C的離心率：（2）若過A、死三點的圓恰好與直線，：x-A.v-3 =。相切，求橢圓。的方程：（3）在（2）

49、的條件下，過右焦點用作斜率為&的直線/與橢圓。交于、N兩點，在工軸 上是否存在點P（帆0）使得以0用，尸N為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出加 的取值范圍，如果不存在，說明理由.【考點】K4：橢圓的性質：KH：直線與圓錐曲線的綜合【專題】15：綜合題：16：壓軸題：35：轉化思想【分析】（1）設。（小, 0）,由6（c,O）, A（O,）結合向量條件及向量運算得出關于。，c的等式，從而求得橢圓的離心率即可；（2）由（1）知a, c的一個方程，再利用A4QF的外接圓得出另一個方程，解這兩個方程 組成的方程組即可求得所求橢圓方程：（3）由（II）知直線/:），= &（%-1）,將直線的方程代

50、入橢圓的方程，消去y得到關于x的 一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得滿足題意的點。且加的取值 范圍.【解答】解：設0）,由5（c,O）, A（0.b） 知 F2A = (-c,b),A0 = (x0,-/?),b2FA AQ ,二 一c% 一/r =，&=一一 c由于2電+月0 =。即6為尼。中點.故一一+ c = -2c.才=3c2 =a2 一。？， c TOC o 1-5 h z 故橢圓的離心率e =（3分）2（2）由（1）知 = 得 c = L,于是 A（L, 0）0（-上 a.0）, a 22- 22AAQF的外接圓圓心為（一 1，0）,半徑r = L2Q|=a 22

51、I 4/ - 31所以 =a ,解得 ” =2，/. c = 1 b =。，2所求橢圓方程為二+匚=1,（6分）43y = k(x-)(3)由(II)知人(1, 0)/:丁 =女。一1)6 /14 3+ - = 114 3代入得(3 + 4k2代- 8公x+4公一 12 = 0 設/（X，,），N（f，y2）8內則 X + X? =，y + y2 = k（x + 4 - 2），（ 8 分）PM +PN =（$ 一?,） + （x2 一，兒y2）=（內 + x2 -2m， y1 + y2）由于菱形對角線垂直，貝IJ （而+兩卜麗=0故（+，2）+ X + & - 27 = 0 TOC o 1-5

52、 h z QL-QL-則父（王+七-2） +玉+9一力 =0/（廣戶-2） 十*-2，=0 （10分）b211由已知條件知上工0且k w R，J= 二=-二0m 3 + 4K 2 + 44E故存在滿足題意的點P且用的取值范圍是0 m0） cr lr的離心率為正，以橢圓C左頂點丁為圓心作圓八* + 2）2 + /=/0）,設圓7與橢圓C 2交于點M與點N .（1）求橢圓C的方程：（2）求丁廟加的最小值，并求此時圓7的方程：（3）設點戶是橢圓。上異于，N的任意一點，且直線MP, NP分別與x軸交于點A, S，O為坐標原點，求證：OROS為定值.【考點】K3：橢圓的標準方程；J1：圓的標準方程：KH

53、z直線與圓錐曲線的綜合【專題】15：綜合題：5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】(1)依題意，得a = 2, e = S =處,由此能求出橢圓C的方程.a 2(2)法一：點M與點N關于五軸對稱，設M(n，片)，N(x，- X),設弘0.由于點Mx 2_ 5Q 1在橢圓。上，故靖=1 - ； .由 7(-2,0),知 TM.TN = (X + 2, y )玉 + 2, -)= -(x(+ 二尸一-, 由此能求出圓r的方程.法二：點M 與點N關于x軸對稱,故設M(2cosasin8) , N(2cos8,-sin。)，設sind0,由 7(-2,0),得 TM.TN = (2cos8 + 2,

54、 sin 夕)42cos8 + 2, -sin 6) = 5(cos夕 + 士尸 1,由此能求出 55圓r的方程.(3)法一：設P“。，”)，則直線MP的方程為：)，一%=包二三。一七)，令)，=0,得 七一 X“,同理：/=心*, . (10分)故5 = ”二吁一,由此能夠此一另Vo + Jiy一 yj證明 I OR M QS 1=1 Xr kl a-5 1=1 xz 1= 4 為定值.法二：設 M(2cosd.sin。)， N(2cos8一sing),設 sin夕0 , P(2cosa,sinc),其 中sinawsin夕.則直線MP的方程為：)sina=二_- 2 cos a),由此能夠

55、證明 2cosa-2cos8ORMOSUxr4xs I=J.a-s4為定值.【解答】解：(1)依題意，得力2, e = =走， a 2二 c = /3 , b = 14 - 3 = 1 9故橢圓。的方程為二+)/=1 .(3分) 4(2)方法一：點M與點N關于x軸對稱，設A/。, %), N(z，一兇),不妨設%0.由于點M在橢圓。上，所以城=1-今.(4 分)由己知 T(2,0) 由于點M在橢圓。上，所以城=1-今.(4 分)由己知 T(2,0) 9 則 TM =(演 + 2, %) , TN =(演 + 2, ,/. TM TN =(X)+ 2,M)x)+ 2, 一必)二區+2尸一）:=(

56、x, + 2)2 - (1 -乎=# + 4x, + 3濃+%-!,凌分) 455由于-2VA 0，由已知丁（一2,0）, 則 TM TN = (2 cos 8 + 2, sin )(2 cos 6 + 2, - sin 0) = (2cos 夕+2 - sin2 0 = 5cos2 8 + 8cos6 + 3 = 5（cos8 + |y-g. .（6 分）故當cose = T時，7疝加取得最小值為-, 55Q Q此時“（一一,二），5、11又點在圓T上，代入圓的方程得到 故圓r的方程為：*+2尸+），2=：.（8分）工）（3）方法一：設尸（,J%）,則直線MP的方程為： -%=1二 小一七令

57、y = 0,得4=受國0,治一,同理：勺-二” . （10分） 兒+凹故+（*）.（11 分） 斤一）:又點M與點。在橢圓上，故 /2=4（1一 比2）, $2=4（1 3：）, . （12 分）代入（*）式，得：XZ =4（1-,）支-4（；）城=4（yj -yj） =4 匯一 yr）匯一斤所以IQK M QS IT/U$1=1 X/A 1= 4為定值.（14分）方法二：設 M(2cosd.sin8) , N(2cosd.-sind),不妨設sin80, P(2cosa,sina),其中 sinewsind.則直線MP的方程為：y-sin a =山( _ 2cosa),2cosc 2cosd

58、2(sin e cos 夕 一 cos a sin 0)sine-sind同理:2(sin a cos 夕 + cos a sin 0)xs =sin a + sin。（12分）故3s =4(sin2 a cos2 4 - cos? a sin2 0) 4(sin2 a-sin2 0)sin2 a-sin2 0sin2 er-sin2 0所以1。K11。51=1/151=14%1=4為定值.（14分）【點評】本題考查橢圓的方程和幾何性質、圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力、推理 論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想.13.（2016益陽模擬）已知以點4-1,2）為圓心的圓與直線4：x

59、+ 2y + 7 = O相切.過點8（-2,0）的動直線/與圓A相交于“、N兩點，。是的中點，直線/與4相交于點尸.（/）求圓A的方程；（H ）當N = 2M時，求直線/的方程；（III）合0加是否為定值，如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.【考點】/G：直線的一般式方程與直線的性質：J1：圓的標準方程：JE：直線和圓的方程的應用【專題】11：計算題；14：證明題【分析】（I）設出圓A的半徑，根據以點4T2）為圓心的圓與直線4：x+2y + 7 = O相切.點 到直線的距離等于半徑，我們可以求出圓的半徑，進而得到圓的方程：（II）根據半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，我們

60、可以結合直線/ 過點3（-2,0）,求出直線的斜率，進而得到直線/的方程：（n【）由直線/過點8（-2,0）,我們可分直線的斜率存在和不存在兩種情況，分別討論麗麗 是否為定值，綜合討論結果，即可得到結論.【解答】解：（I）設圓A的半徑為/?,由于圓A與直線小工+ 2丫 + 7 = 0相切,1-1 + 4 + 71=26.（21-1 + 4 + 71=26.（2分）.圓A的方程為（x + l）2+（y 2）2=20.（4分）（H）當直線/與x軸垂直時，易知x = -2符合題意（5分）當直線/與X軸不垂直時，設直線I的方程為y = k（x + 2）,即Ax-y+ 22=0 ,連接A。，則AQ_LM