1、2.5等比數列的前n項和第一課時/等比數列的前n項和 課標要求學法指導1.掌握等比數列的前n項和公式,了解推導等比數列前n項和公式的過程與方法.2.能夠運用等比數列的前n項和公式進行有關的計算.3.掌握等比數列的前n項和的性質及其應用.1.推導等比數列前n項和的方法叫錯位相減法.一般適用于求一個等差數列與一個等比數列對應項積的前n項和.2.運用等比數列前n項和公式時,一定要注意“q=1”與“q1”時必須使用不同的公式.3.解決與等比數列前n項和有關問題的關鍵在于“基本量”以及方程思想、“整體思想”方法的靈活運用.新課導入知識探究題型探究達標檢測新課導入實例引領 思維激活實例:八戒西天取經后,擔

2、任了高老莊集團的董事長,因急需大量的資金投入,于是找孫悟空幫忙.悟空一口答應:“行!我每天投資100萬連續一個月(30天),但從投資的第一天起,第一天必須還給我1元,第二天還給我2元,第三天還給我4元”八戒心里打起了小算盤:“第一天:支出1元,收入100萬;第二天:支出2元,收入100萬;第三天:支出4元,收入100萬!哇!發財了!”心里越想越美,再看看悟空的表情,心里又犯了嘀咕:“這猴子老欺負我,會不會又在耍我?”想一想 (1)悟空在一個月中一共投資給八戒多少錢?(100萬30=3000萬)(2)從第一天開始,八戒每天返還給悟空的錢數分別是多少?構成了一個怎樣的數列?(1,2,22,229;

3、構成公比為2的等比數列)(3)八戒在一個月中應返還給悟空多少錢?你能用式子表示嗎? (能.1+2+22+229)(4)若記S=1+2+22+229,在該式等號的兩邊同乘以公比2,得到的式子與原式有何關系?(2S=2+22+23+230,兩式的右邊有29項是相同的)(5)將兩式相減能否得到S?(能,S=230-1)(6)由問題(5)的結果推斷猴子是否又在耍老豬呢?(八戒在一個月中應還給悟空(230-1)元107374萬元,遠遠大于3000萬元,因此猴子把老豬耍啦)知識探究自主梳理 思考辨析2.等比數列的前n項和的性質(1)在公比不等于-1的等比數列an中,連續相同項數和也成等比數列,即:Sk,S

4、2k-Sk,S3k-S2k,仍成等比數列,其公比為qn.(3)若一個非常數列an的前n項和Sn=Aqn-A(A0,q0,nN*),則數列an為等比數列,即Sn=Aqn-A數列an為等比數列.題型探究典例剖析 舉一反三題型一 等比數列的前n項和公式的基本運算【例1】 在等比數列an中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.名師導引:利用等比數列的前n項和公式列方程組求解.題后反思 (1)解答關于等比數列的基本運算問題,通常是利用a1,an,q,n,Sn這五個基本量的關系列方程組求解,而在條件與結論間聯系不很明顯時,均可用a1與q列方程組求解

5、.(2)運用等比數列的前n項和公式要注意公比q=1和q1兩種情形,在解有關的方程組時,通常用兩式相除約分的方法進行消元.跟蹤訓練1-1:(1)設an是公比為正數的等比數列,若a1=1,a5=16,則數列an的前7項和為()(A)63(B)64(C)127(D)128(2)設an是由正數組成的等比數列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于()題型二 等比數列的前n項和的性質【例2】 已知等比數列an中,前10項和S10=10,前20項和S20=30,求S30.名師導引: (1)由S10=10及S20=30能否求得該數列第2個10項之和?(能,S20-S10=30-10=20)

6、(2)S10,S20-S10,S30-S20是否成等比數列?(是)跟蹤訓練2-1:在等比數列an中,若a1+a2=20,a3+a4=40,則S6等于()(A)140 (B)120(C)210 (D)520解析:依題意,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數列,即402=20(a5+a6),a5+a6=80,S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=20+40+80=140.故選A.題型三 等比數列的綜合應用【例3】 (12分) 設an是公比不為1的等比數列,其前n項和為Sn,且a5,a3,a4成等差數列.(1)求數列an的公比;(2)證明:對任意kN+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數列.

7、名師導引: (1)由a5,a3,a4成等差數列,列方程求解;(2)利用求和公式,等差中項證明.(1)解:設數列an的公比為q(q0,q1).由a5,a3,a4成等差數列,得2a3=a5+a4,2分即2a1q2=a1q4+a1q3.4分由a10,q0得,q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.6分(2)證明:法一對任意kN+.Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1(-2)=0. 10分所以對任意kN+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數列.12分題后反思 等差數列與等比數列的綜合是高考常見題型

8、,解題關鍵是找出通項公式,利用等差、等比數列的公式、性質求解.跟蹤訓練3-1:已知數列an的前n項和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn0,求數列bn的前n項和Tn.備選例題【例1】 某校為擴大教學規模,從今年起擴大招生,現有學生人數為b人,以后學生人數年增長率為4.9.該校今年年初有舊實驗設備a套,其中需要換掉的舊設備占了一半.學校決定每年以當年年初設備數量的10%的增長率增加新設備,同時每年淘汰x套舊設備.(1)如果10年后該校學生的人均占有設備的比率正好比目前翻一番,那么每年應更換的舊設備是多少套?(2)依照(1)的更換速度,共需多少年能更換所有需要更換的舊設備?下列數據供計算

9、時參考:1.192.361.004991.041.1102.601.0049101.051.1112.851.0049111.06解:(1)今年學生人數為b人,則10年后學生人數為b(1+4.9)101.05b,由題設可知,1年后的設備為a(1+10%)-x=1.1a-x,2年后的設備為(1.1a-x)(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),10年后的設備為達標檢測反饋矯正 及時總結1.在等比數列an中,公比q=-2,S5=44,則a1的值為( )(A)4(B)-4(C)2(D)-2A2.一個等比數列的前7項和為48,前14項和為60,則前21項和為( )(A)180(B)108(C)75(D)63解析:此等比數列的中間7項和為12,令后7項和為S,則48S=122,所以S=3.所以前21項和為63.故選D.D3.在等比數列an中,若Sn是其前n項和,且S4=3,S8=9,則S12= .解析:S4,S8-S4,S12-S8成等比數列,(S8-S4)2=S4(S12-S8),即(9-3)2=3(S12-9),得S12=21.答案:21課堂小結1.等比數列的前n項和公式共涉及五個量:a1,q,n,an,Sn,其中a1和q為基本