1、高等數學及其應用電子教案第二版數學系ch26課件高等數學及其應用電子教案第二版數學系ch26課件一、微分的定義 在本章第一節中我們知道, 當自變量在 處有增量 時, 相應地函數有增量 如果函數在該點可導,則有:由函數極限與無窮小的關系, 增量比值可以寫成 牛牛文庫文檔分享一、微分的定義 在本章第一節中我們知道, 當自變量在其中 是 時的無窮小, 由此上式又可以寫成（2.11）從上式中看到: 如果函數在該點可導, 則因變量的增量 可以寫成兩項之和, 一項是 的線性函數另一項是 的高階無窮小 牛牛文庫文檔分享其中 是 時的無窮小, T） （2.11）式的幾何事實可用下圖來說明: 圖中的曲線是函數

2、圖形. 對于曲線上某一固定點當自變量 有微小的增量時, 對應曲線上的另一點是曲線在 處的切線, 由此得: 牛牛文庫文檔分享T） （2.11）式的幾何事實可用下圖來說明: 且當 時, 是 的高階無窮小, 因此當很小時, （2.11）可以寫成即當自變量在 處給出增量 時, 函數的增量 可以近似表示為 的適當倍數, 由此引入下面概念. 牛牛文庫文檔分享且當 時, 定義2.1 設函數且在 處可導, 稱在 的某個鄰域內有定義, 為函數 在點相應于自變量的增量 的微分, 記為 即由定義,（2.11）可以表示為 牛牛文庫文檔分享定義2.1 設函數且在 處可導, 稱在 如果函數 在區間 內每一點可微, 則稱分

3、就稱為函數的微分, 也記為 由前公式得:通常把自變量 的的增量稱為自變量的微分, 記為 上式兩端除以自變量的微分, 得:為區間內的可微函數: 函數 在 內的任意一點微于是函數的微分可記為（2.12）（2.13） 牛牛文庫文檔分享 如果函數 在區間 因此, 導數又稱為微商. 牛牛文庫文檔分享因此, 導數又稱為微商. 牛牛文例2.39 求函數當時的微分.解 因 所以 牛牛文庫文檔分享例2.39 求函數當時的微分.解 因 所以例2.40 求函數在 處的微分.解 因所以 牛牛文庫文檔分享例2.40 求函數在 處的微分.解 二、微分公式與運算法則 從微分表達式（2.13）得到下面的微分公式與相應的運算法

4、則. 牛牛文庫文檔分享二、微分公式與運算法則 從微分表達式（2.13）得到下 1.基本公式 導數公式微分公式 牛牛文庫文檔分享 1.基本公式 導數公式微分公式www.niuwk. 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享 2.運算法則（表中 ） 函數的和、積、商的求導法則 函數的和、積、商的微分法則 牛牛文庫文檔分享 2.運算法則（表中 3.復合函數的微分法則 設 , 則復合函數 的所以復合函數的微分為由于 故上式又可寫成:導數為: 牛牛文庫文檔分享 3.復合函數的微分法則 設 總是正確的, 這一性質稱為微分形式不變性.比較兩式, 可以看到無論 是中間變量或是直接變量, 表達式 牛牛文庫文檔分享總是

5、正確的, 這一性質稱為微分形式不變性.比較兩式, 可例2.41 利用微分形式的不變性, 求函數解 的微分. 牛牛文庫文檔分享例2.41 利用微分形式的不變性, 求函數解 三、微分的幾何意義與函數的一次近似 由微分的定義, 當函數 在 處可微時, 有當 時, 并且誤差僅是 的高階無窮小. （2.14）（2.14）又可寫成 牛牛文庫文檔分享三、微分的幾何意義與函數的一次近似 由微分的定義, 即 （2.15）注意到, 若記 則有（2.16）式的左端就是曲線 的表達式; 而右端（2.16）是 的一次函數, 它是曲線在點 處切線的表達式, （2.16）表明, 若函數可微分時, 曲線 牛牛文庫文檔分享即

6、（2.15）注意到, 若記 越小, 則近似程度就越高.在點 處附近的局部范圍內可以用它在這點處的切線近似地替代, 此為微分的幾何意義. 因此（2.15）或（2.16）通常稱為函數 的一次近似或線性近似, 其近似誤差是 的高階無窮小. 牛牛文庫文檔分享越小, 則近似程度就越高.在點 處附近的局部范圍內例2.42 求在 處的一次近似式.解 在（2.15）中, 取因 所以相應的一次近似式為 牛牛文庫文檔分享例2.42 求在 處的一次近似式.在（2.16）中, 若取則有（2.17） 牛牛文庫文檔分享在（2.16）中, 若取則有（2.17）www.niuwk例2.43 求解 因處的一次近似.在 由（2.17）得 牛牛文庫文檔分享例2.43 求解 因處的一次近似.在 由（2.17當 很小時, 還可得到其它函數的一次近似式. 我們把常用的幾個函數的一次近似式列于下表: 牛牛文庫文檔分享當 很小時, 還可得到其它函數的一次近似式解 鍍層的體積等于兩個同心球體的體積之差. 故故要用的銅大約為例2.44