1、絕密啟用前 2013年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）數學試卷(文史類)（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分1不等式的解為 2在等差數列中，若，

2、則 3設，是純虛數，其中是虛數單位，則 4若，則y = 5已知的內角、所對的邊分別是，若，則角的大小是 6某學校高一年級男生人數占該年級學生人數的40%在一次考試中，男、女生平均分數分別為75、80，則這次考試該年級學生平均分數為 7設常數若的二項展開式中項的系數為-10，則 8方程的實數解為 9若，則 10已知圓柱的母線長為，底面半徑為，是上地面圓心，、是下底面圓心上兩個不同的點，是母線，如圖若直線與所成角的大小為，則 11盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是 （結果用最簡分數表示）12設是橢圓的長軸，點在上，且若，則的兩個

3、焦點之間的距離為 13設常數，若對一切正實數成立，則的取值范圍為 14已知正方形的邊長為1記以為起點，其余頂點為終點的向量分別為、；以為起點，其余頂點為終點的向量分別為、若且，則的最小值是 二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15函數的反函數為，則的值是（ ）（A）（B）（C）（D）16設常數，集合，若，則的取值范圍為（ ）（A）（B）（C）（D）17錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是：“好貨”是“不便宜”的（ ）（A）充分條件（B）必要條件（C）充分必要條件（D）既非充分又非必

4、要條件18記橢圓圍成的區域（含邊界）為，當點分別在上時，的最大值分別是，則（ ）（A）0 （B） (C) 2 (D) 2三解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域寫出必要的步驟19（本題滿分12分）如圖，正三棱錐底面邊長為，高為，求該三棱錐的體積及表面積20（本題滿分14分）本題共有2個小題第1小題滿分5分，第2小題滿分9分甲廠以千米/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得的利潤是元（1）求證：生產千克該產品所獲得的利潤為；（2）要使生產千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該如何選取何種生產速度？并求此最大利潤21（本題滿分14分）本題共

5、有2個小題第1小題滿分6分，第2小題滿分8分已知函數，其中常數（1）令，判斷函數的奇偶性并說明理由；（2）令，將函數的圖像向左平移個單位，再往上平移個單位，得到函數的圖像對任意的，求在區間上零點個數的所有可能值22（本題滿分16分）本題共有3個小題第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分已知函數無窮數列滿足（1）若，求，；（2）若，且，成等比數列，求的值；（3）是否存在，使得，成等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由23（本題滿分18分）本題共有3個小題第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分如圖，已知雙曲線：，曲線：是平面內一點，若存在過點的直線與、都有

6、公共點，則稱為“型點”（1）在正確證明的左焦點是“型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（2）設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“型點；（3）求證：圓內的點都不是“型點”2013年上海高考數學試題（文科）參考答案填空題0 X15-2178-2-5選擇題題號15161718代號ABAD 解答題19.解：由已知條件可知，正三棱錐O-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形。 經計算得底面ABC的面積為 所以該三錐的體積為 設O是正三角形ABC的中心 由正三棱錐的性質可知，OO垂直于平面ABC 延長AO交BC于D，得AD=,OD= 又因為OO=1，所以正三

7、棱錐的斜高OD= 故側面積為 所以該三棱錐的表面積為因此，所求三棱錐的體積為，表面積為320.解： （1）生產a千克該產品，所用的時間是小時 所獲得的利潤為100 所以生產a千克該產品所獲得的利潤為100a元 （2）生產900千克該產品，獲得的利潤為90000，1x10,記（x）=則（x）=獲得最大利潤90000元。因此甲廠應以6千克/小時的速度生產，可獲得最大利潤457500元。21.解：（1）（x）= F（x）= （x）+ 所以，F（x）既不是奇函數也不是偶函數。 （2）（x）= 將y= （x）的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位后得到 令 因為上零點個數為21 當a不是零時，上恰有兩

8、個零點，故在上有20個零點。 綜上，22.解：（1） （2） 當 當2時，綜合得 （3）假設這樣的等差數列存在，那么 由 以下分情況討論：當2時，由（*）得2矛盾當02時，有（*）得=1，從而所以是一個的等差數列當0時，則公差0，因此存在m2使得2.此時0，矛盾綜合可知，當且僅當23解：（1）C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點”。（3）顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交

9、點，則斜率必存在；根據對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點，則直線與圓內部有交點，故化簡得，。若直線與曲線C1有交點，則化簡得，。由得，但此時，因為，即式不成立；當時，式也不成立綜上，直線若與圓內有交點，則不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內的點都不是“C1-C2型點” 2013年全國普通高等學校招生統一考試上海 數學試卷（文史類）考生注意：1.答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號，并將核對后的條形碼貼在指定位置上，在答題紙反面清楚地填寫姓名.2.本試卷共有23道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應在答題

10、紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.1.不等式0的解為 .【答案】 【解析】2.在等差數列中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，則a2+ a3= 15 .【答案】 15【解析】 3.設mR,m2+m-2+( m2-1)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m= .【答案】 -2【解析】 4.已知=0，=1，則y= 1 .【答案】 1【解析】 5.已知ABC的內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是 .【答案】 【解析】6.某學校高一年級男生人數占該年級學生人數的40%.在一次考試中，男、女生平均分數分別是75、80，則這

11、次考試該年級學生平均分數為 78 .【答案】 78【解析】 7.設常數aR.若的二項展開式中x7項的系數為-10，則a= -2 .【答案】 -2【解析】8.方程的實數解為 .【答案】 【解析】9.若cosxcosy+sinxsiny=，則cos(2x-2y)= .【答案】 【解析】 10.已知圓柱的母線長為l，底面半徑為r,O是上底面圓心，A、B是下底面圓周上的兩個不同的點，BC是母線，如圖.若直線OA與BC所成角的大小為，則= .【答案】 【解析】 11.盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是 （結果用最簡分數表示）.【答案】

12、 【解析】考查排列組合；概率計算策略：正難則反。DBAC12.設AB是橢圓的長軸，點C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個焦點之間的距離為 .【答案】 【解析】 如右圖所示。13.設常數a0.若對一切正實數x成立，則a的取值范圍為 .【答案】 【解析】 考查均值不等式的應用。14.已知正方形ABCD的邊長為1.記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為、；以C為起點，其余頂點為終點的向量分別為、.若i,j,k,l且ij,kl，則的最小值是 -5 .【答案】 -5【解析】 根據對稱性，。二、選擇題（本大題共有4小題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小

13、方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.15.函數（x0）的反函數為f -1(x)，則f -1(2)的值是（ A ）（A）（B）（C）1+（D）1【答案】 A【解析】 選A16.設常數aR，集合A=，B=.若AB=R，則a的取值范圍為（ B ）（A）（，2） （B）（，2 （C）（2，+） （D）2，+）【答案】 B【解析】 方法：代值法，排除法。當a=1時，A=R，符合題意；當a=2時，綜上，選B標準解法如下: .選B17.錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是：“好貨”是“不便宜”的（ A ）（A）充分條件 （B）必要條件（C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件【答案】 A【解析】

14、 選A當點（x,y）分別在，上時，x+y的最大值分別是M1,M2,，則=( D )（A）0 （B） （C）2 （D）【答案】 D【解析】 選D三、解答題（本大題共有5下題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.19.（本題滿分12分）如圖，正三棱錐O-ABC的底面邊長為2，高為1，求該三棱錐的體積及表面積。【答案】 【解析】 所以，20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分.甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求1x10），每小時可獲得的利潤是100元.（1）求證：生產a千克該產品所獲得的利潤為100a元；（2

15、）要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求此最大利潤.【答案】 （1） 見下（2）當生產速度為6千克/小時，這時獲得最大利潤為457500元。【解析】 （1）證明：由題知，生產a千克該產品所需要的時間小時，所獲得的利潤所以，生產a千克該產品所獲得的利潤為100a元；（證畢）（2） 由（1）知，生產900千克該產品即a=900千克時，獲得的利潤由二次函數的知識可知，當=，即x=6時，所以，當生產速度為6千克/小時，這時獲得最大利潤為457500元。21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知函數，其中常數0.（1）令=1，判

16、斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）令=2，將函數y=f(x)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g(x)的圖像.對任意aR，求y=g(x)在區間a，a+10上零點個數的所有可能值.【答案】 （1） （2） 20,21【解析】 （1）（2）=2，將函數y=f(x)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g(x):.所以y=g(x)在區間a, a+10、其長度為10個周期上，零點個數可以取20,21個22.(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.已知函數，無窮數列滿足an+1=f(an),nN*（1）若a1=0，求a

17、2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比數列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，an成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由.【答案】 （1） （2）（3）【解析】 （1） （2）分情況討論如何：（3）討論如下:23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.如圖，已知雙曲線C1:，曲線C2:.P是平面內一點.若存在過點P的直線與C1、C2都有共同點，則稱P為“C1-C2型點”.（1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（

18、2）設直線y=kx與C2有公共點，求證1，進而證明圓點不是“C1-C2型點”；（3）求證：圓內的點都不是“C1-C2型點”.【答案】 （1） 【解析】 （1） 顯然，由雙曲線的幾何圖像性質可知，過.從曲線圖像上取點P(0,1),則直線。這時直線方程為（2） 先證明“若直線y=kx與有公共點，則1”.雙曲線.所以直線y=kx與有公共點，則1 . （證畢）。所以原點不是“C1-C2型點”；（完）（3）設直線過圓內一點，則直線斜率不存在時與曲線無交點。設直線方程為：y = kx + m，則：假設直線與曲線相交上方，則 一.集合與函數1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘

19、記了借助數軸和文氏圖進行求解.2.在應用條件時，易A忽略是空集的情況3.你會用補集的思想解決有關問題嗎?4.簡單命題與復合命題有什么區別?四種命題之間的相互關系是什么?如何判斷充分與必要條件?5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區別.6.求解與函數有關的問題易忽略定義域優先的原則.7.判斷函數奇偶性時，易忽略檢驗函數定義域是否關于原點對稱.8.求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，易忽略標注該函數的定義域.9.原函數在區間-a,a上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增;但一個函數存在反函數，此函數不一定單調.例如：.10.你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎?定義法(取值,作

20、差,判正負)和導數法11.求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區間之間添加符號“”和“或”;單調區間不能用集合或不等式表示.12.求函數的值域必須先求函數的定義域。13.如何應用函數的單調性與奇偶性解題?比較函數值的大小;解抽象函數不等式;求參數的范圍(恒成立問題).這幾種基本應用你掌握了嗎?14.解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎?(真數大于零，底數大于零且不等于1)字母底數還需討論15.三個二次(哪三個二次?)的關系及應用掌握了嗎?如何利用二次函數求最值?16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數的范圍。17.“實系數一元二次方程有實數解”轉化時，你是否注意到：當

21、時，“方程有解”不能轉化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數或二次不等式，你是否考慮到二次項系數可能為的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么?20.解分式不等式應注意什么問題?用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項是什么?21.解含參數不等式的通法是“定義域為前提，函數的單調性為基礎，分類討論是關鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區間表示;不能用不等式表示.23.兩個不等式相乘時,必須注意同向同正時才能相乘,即同向同

22、正可乘;同時要注意“同號可倒”即ab0，a0.三.數列24.解決一些等比數列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時，應有)需要驗證，有些題目通項是分段函數。26.你知道存在的條件嗎?(你理解數列、有窮數列、無窮數列的概念嗎?你知道無窮數列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數列的所有項的和必定存在?27.數列單調性問題能否等同于對應函數的單調性問題?(數列是特殊函數，但其定義域中的值不是連續的。)28.應用數學歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設時成立，再結合一些數學方法用來證明時也成立。四.

23、HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函數29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區別嗎?30.三角函數的定義及單位圓內的三角函數線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?31.在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎?你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎?32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函數的取

24、值范圍分別是34.你還記得某些特殊角的三角函數值嗎?35.掌握正弦函數、余弦函數及正切函數的圖象和性質.你會寫三角函數的單調區間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數形結合與書寫規范,可別忘了)，你是否清楚函數的圖象可以由函數經過怎樣的變換得到嗎?36.函數的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：(1)函數的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(3)點的平移公式：點按向量平移到點，則.37.在三角函數中求一個

25、角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍)38.形如的周期都是，但的周期為。39.正弦定理時易忘比值還等于2R.五.平面向量40.數0有區別，的模為數0，它不是沒有方向，而是方向不定。可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直。41.數量積與兩個實數乘積的區別：在實數中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數量積中，若，且，不能推出.已知實數，且，則a=c,但在向量的數量積中沒有.在實數中有，但是在向量的數量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.42.是向量與平行的充分而不必要條件，是向量和向量夾角為鈍角的必要而不充分條件。六.解析幾何43.在用點

26、斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?44.用到角公式時，易將直線l1、l2的斜率k1、k2的順序弄顛倒。45.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是。46.定比分點的坐標公式是什么?(起點，中點，分點以及值可要搞清)，在利用定比分點解題時，你注意到了嗎?47.對不重合的兩條直線(建議在解題時，討論后利用斜率和截距)48.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當時，直線在兩坐標軸上的截距都是0，亦為截距相等。49.解決線性規劃問題的基本步驟是什么?請你注意解題格式和完整的文字表達.(設出變量，寫出目標函數寫出線性約束條件畫出可行域作出目標函數對應的系

27、列平行線，找到并求出最優解應用題一定要有答。)50.三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質，橢圓與雙曲線中的兩個特征三角形你掌握了嗎?51.圓、和橢圓的參數方程是怎樣的?常用參數方程的方法解決哪一些問題?52.利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序?如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式?如何應用焦半徑公式?53.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.(想一想在雙曲線中的結論?)54.在用圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數是否為零?橢圓，雙曲線二次項系數為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制.(求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在

28、性問題都在下進行).55.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經有坐標系了，是否需要建立直角坐標系?七.立體幾何56.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)。57.線面平行和面面平行的定義、判定和性質定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯系和轉化在解決立幾問題中的應用是怎樣的?每種平行之間轉換的條件是什么?58.三垂線定理及其逆定理你記住了嗎?你知道三垂線定理的關鍵是什么嗎?(一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關鍵)一面四直線，立柱是關鍵，垂直三處見59.線面平行的判定定理和性質定理在應用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談;面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為”一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行”而導致證明過程跨步太大.60.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法.61.異面直線所成角利用“平移法”求解時，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其補角)，特別是題目告訴異面直線所成角，應用時一定要從題意出發，是用銳角還是其補角，還是兩種情況都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思嗎?能夠熟練地應用它們解題嗎?63.兩條異面直線所成的角的范圍：090直線與平面所