1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（ ）A正方體B球體C圓錐D長寬高互不相等的長方體2如圖，長方體中，點T在棱上，若平面.則（ ）A1BC2D3已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（ ）A1BC2D34已知數列滿足，且成等比數列.若的前n項和為，則的最小值為（ ）ABCD5函數在上為增函數，則的值可以是( )A0BCD6已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率

3、為，若，則的最小值為（ ）ABC8D67用數學歸納法證明1+2+3+n2=n4+n22，則當n=k+1時，左端應在n=k的基礎上加上（ ）Ak2+1Bk+12Ck2+1+k2+2+k+12Dk+14+k+1228已知，若方程有唯一解，則實數的取值范圍是( )ABCD9已知函數滿足，設，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10一只螞蟻在邊長為的正三角形區域內隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于的區域內的概率為( )ABCD11已知，表示兩個不同的平面，l為內的一條直線，則“是“l”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條

4、件12已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（ ）A2B5CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2（y1）2r2（r0）上存在點P，且點P關于直線xy0的對稱點Q在圓C2：（x2）2（y1）21上，則r的取值范圍是_14設變量，滿足約束條件，則目標函數的最小值為_15若展開式的二項式系數之和為64，則展開式各項系數和為_16驗證碼就是將一串隨機產生的數字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網站驗證，驗證成功后才能

5、使用某項功能.很多網站利用驗證碼技術來防止惡意登錄，以提升網絡安全.在抗疫期間，某居民小區電子出入證的登錄驗證碼由0，1，2，9中的五個數字隨機組成.將中間數字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數字是7的概率為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）己知等差數列的公差，且，成等比數列.（1）求使不等式成立的最大自然數n；（2）記數列的前n項和為，求證：.18（12分）如圖，在中，角的對邊分別為，且滿足，線段的中點為.（）求角的大小；（）已知，求的大小.1

6、9（12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.20（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當的面積最小時，求的長21（12分）如圖，在長方體中，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22（10分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區，如圖，已知

7、兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設，用關于的函數表示，并求在區間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據基本幾何體的三視圖確定【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是全

8、等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形故選：C【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵2D【解析】根據線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數量積定義即可求得.【詳解】長方體中，點T在棱上，若平面.則，則，所以， 則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.3B【解析】設直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,由可知所以可得代入化簡求得參數,即可求得結果.【詳解】設，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯立得，所

9、以，.因為，所以，得，所以，即，所以.故選:B.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關系,考查計算能力，屬于中檔題.4D【解析】利用等比中項性質可得等差數列的首項，進而求得，再利用二次函數的性質，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據題意，可知為等差數列，公差，由成等比數列，可得，解得.根據單調性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數列通項公式、等比中項性質、等差數列前項和的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.5D【解析】依次將選項中的代入，結合正弦、余弦函數的圖象

10、即可得到答案.【詳解】當時，在上不單調，故A不正確；當時，在上單調遞減，故B不正確；當時，在上不單調，故C不正確；當時，在上單調遞增，故D正確.故選：D【點睛】本題考查正弦、余弦函數的單調性，涉及到誘導公式的應用，是一道容易題.6C【解析】由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則 當且僅當時，取等號.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.7C【解析】首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+n1=n4+n22時，當n=k

11、+1時左端應在n=k的基礎上加上的式子，可以分別使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1故選：C【點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./8B【解析】求出的表達式，畫出函數圖象，結合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數恒過，由，可得，若方程有唯一解，則或，即或；當即圖象相切時，根據，解得舍去），則的范圍

12、是，故選：【點睛】本題考查函數的零點問題，考查函數方程的轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題9B【解析】結合函數的對應性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合函數的對應性是解決本題的關鍵，屬于基礎題10A【解析】求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內的點到頂點、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點、的距離均不小于的圖形平面區域如圖中陰影部分所示，陰影部分區域的面積為.

13、則使取到的點到三個頂點、的距離都大于的概率是.故選：A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題11A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷解：根據題意，由于，表示兩個不同的平面，l為內的一條直線，由于“，則根據面面平行的性質定理可知，則必然中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結論，反之不成立，“是“l”的充分不必要條件故選A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定12D【解析】根據三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是

14、一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設圓C1上存在點P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個圓的方程，列出方程組，轉化成兩個新圓有公共點求參數范圍.【詳解】設圓C1上存在點P（x0，y0）滿足題意，點P關于直線xy0的對稱點Q（y0，x0），則，故只需圓x2（y1）2r2與圓（x1）2（y2）21有交點即可，所以|r1|r1，解得.故答案為：【點睛】此題考查圓與圓的位置關系，其中涉及點關于直線對

15、稱點問題，兩個圓有公共點的判定方式.14-8【解析】通過約束條件，畫出可行域，將問題轉化為直線在軸截距最大的問題，通過圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示：令，則即為在軸截距的最大值由圖可知：當過時，在軸截距最大本題正確結果：【點睛】本題考查線性規劃中的型最值的求解問題，關鍵在于將所求最值轉化為在軸截距的問題.151【解析】由題意得展開式的二項式系數之和求出的值，然后再計算展開式各項系數的和.【詳解】由題意展開式的二項式系數之和為，即，故，令，則展開式各項系數的和為.故答案為：【點睛】本題考查了二項展開式的二項式系數和項的系數和問題，需要運用定義加以區分，并能夠運用公式和賦值法求解結果

16、，需要掌握解題方法.16【解析】首先判斷出中間號碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數以及中間數字是的事件數，根據古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】根據“鐘型驗證碼” 中間數字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數字可能是.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個

17、排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.當中間是時，其它個數字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數有種.所以該驗證碼的中間數字是7的概率為.故答案為：【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查分類加法計數原理、分類乘法計數原理的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）證明見解析【解析】（1）根據，成等比數列，有，結合公差，求得通項，再解不等

18、式.（2）根據（1），用裂項相消法求和，然后研究其單調性即可.【詳解】（1）由題意，可知，即，.又，.，故滿足題意的最大自然數為.（2），. 從而當時，單調遞增，且，當時，單調遞增，且，所以，由，知不等式成立.【點睛】本題主要考查等差數列的基本運算和裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18（）；（）.【解析】（）由正弦定理邊化角，再結合轉化即可求解；（）可設，由，再由余弦定理解得，對中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進而得解【詳解】（）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（）設，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定

19、理有.所以，所以.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用，屬于中檔題19（1）； （2）證明見解析，.【解析】（1）根據離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.（2）先排除斜率為0時的情況，設，聯立方程組利用韋達定理得到，根據化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，則橢圓的標準方程是.（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.設，直線的方程為聯立，整理得則，.因為直線與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點.【點睛】本題考查了橢圓的標準方

20、程，直線過定點問題，計算出是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和轉化能力.20（1）見解析； （2）.【解析】（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設的方程為，可求解得到，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且，所以所以橢圓的方程為由點在直線上，且知的斜率必定存在，當的斜率為0時，于是，到的距離為1，直線與圓相切當的斜率不為0時，設的方程為，與聯立得，所以，從而而，故的方程為，而在上，故，從而，于是此時，到的距離為1，直線與圓相切綜上，直線與圓相切（2）由（1）知，的面積為，上式中，當且僅當等號成立，所以面積的最小值為1此時，點在橢圓的長軸端點，為不妨設為長軸左端點，則直線的方程為，代入橢圓的方程解得，即，所以【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關系判斷，面積的最值問題，考查