1、2.5.1直線與圓的位置關系激趣誘思知識點撥海上日出是非常壯麗的美景.在海天交于一線的天際,一輪紅日慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現著斑斕的霞光和迷人的風采.這個過程中,太陽看作一個圓,海天交線看作一條直線,日出的過程中也體現了直線與圓的三種位置關系:相交、相切和相離.激趣誘思知識點撥直線與圓的位置關系的判斷方法直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置關系及判斷激趣誘思知識點撥名師點析幾何法更為簡潔和常用. 激趣誘思知識點撥微練習直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關系是()A

2、.相交B.相切C.相離D.相切或相交答案:A 探究一探究二探究三素養形成當堂檢測判斷直線與圓的位置關系例1已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點;(2)只有一個公共點;(3)沒有公共點?思路分析:可聯立方程組,由方程組解的個數判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測解:(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟直線與圓的位置關系的判斷方法直線與圓

3、的位置關系反映在三個方面:一是點到直線的距離與半徑大小的關系;二是直線與圓的公共點的個數;三是兩方程組成的方程組解的個數.因此,若給出圖形,可根據公共點的個數判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數法,幾何法計算量小,代數法可一同求出交點.解題時可根據條件作出恰當的選擇.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測直線與圓相切例2過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程.思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,進而求出切線方程.解:因為(4-3)2+(-3-1)2=171,所以點A在圓外.(1)若所求切線的斜率存在,設切線斜率為k,則切線方程

4、為y+3=k(x-4).因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,探究一探究二探究三素養形成當堂檢測(2)若直線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟切線方程的求法1.求過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k,則由垂直關系,切線斜率為- ,由點斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或x=a.2.求過圓外一點P(x0,y0)的圓的切線時,常用幾何方法求解設切線方

5、程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進而切線方程即可求出.但要注意,此時的切線有兩條,若求出的k值只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數形結合求出.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測延伸探究過點Q(3,0)作圓x2+y2=4的切線,求此切線方程. 探究一探究二探究三素養形成當堂檢測直線與圓相交例3求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.思路分析:解法一求出直線與圓的交點坐標,解法二利用弦長公式,解法三利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究

6、二探究三素養形成當堂檢測反思感悟求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖,直線l與圓C交于A,B兩點,設弦心距為d,圓的半探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究二探究三素養形成當堂檢測延伸探究已知直線l經過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,且與直線x+y-2=0垂直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為2 ,求圓C的標準方程.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測兩直線交點為(2,1).設直線l的斜率為k1,l與x+y-2=0垂直,k1=1,l過點(2,1),l的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0;探究一探究二探究三素養

7、形成當堂檢測一題多解直線與圓相切和光的反射典例自點A(-3,3)發出的光線l射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線l所在直線的方程.分析l過點A,欲求其方程需求斜率k或與x軸的交點B.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測(方法2)已知圓C:x2+y2-4x-4y+7=0關于x軸對稱的圓為C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圓心C1的坐標為(2,-2),半徑為1,由光的反射定律知,入射光線所在直線方程與圓C1相切.則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.(方法3)設入射光線方程為y-3=k(x+3),反射光線所在直線方程為y=-kx+b,由于二者橫截距相等,且后者與已知圓相切,探究一探究二探究三素養形成當堂檢測點評本題是方程思想的典型應用,考查的重點在于設置怎樣的未知數,依怎樣的性質列方程,方法1、方法2屬常規方法,方法3設置兩個未知數,體現了列方程的方法在具體運用時的靈活性.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關系是()A.過圓心B.相切C.相離 D.相交但不過圓心答案:D 探究一探究二探究三素養形成當堂檢測2.若直線x+y+m=0與圓x2