1、3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥我們把一根直尺固定在圖板上直線l的位置,把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣,再把一條細(xì)繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點(diǎn)A,取繩長等于點(diǎn)A到直角頂點(diǎn)C的長(即點(diǎn)A到直線l的距離),并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F.用鉛筆尖扣著繩子,使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺,然后將三角尺沿著直尺上下滑動(dòng),筆尖就在圖板上描出了一條曲線.這就是本節(jié)我們要學(xué)習(xí)的拋物線,這條曲線上的點(diǎn)有什么特征?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、拋物線的定義1.我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫

2、做拋物線的準(zhǔn)線.2.數(shù)學(xué)表達(dá)式:拋物線是點(diǎn)的集合P=M|MF|=d.名師點(diǎn)析1.拋物線的定義實(shí)質(zhì)可以歸結(jié)為“一動(dòng)二定一相等”:“一動(dòng)”即一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)為M;“二定”包括一個(gè)定點(diǎn)F,即拋物線的焦點(diǎn),和一條定直線l,即拋物線的準(zhǔn)線;一相等,即|MF|=d(d為M到準(zhǔn)線l的距離).2.定義中,要注意強(qiáng)調(diào)定點(diǎn)F不在定直線l上.當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(3,0)的距離和它到直線x=-3的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓 B.拋物線C.直線D.雙曲線解析:由拋物線定義知,動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線.答案:B微練習(xí)2平面內(nèi)到點(diǎn)A(2,3

3、)和直線l:x+2y-8=0距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A.直線B.拋物線C.橢圓D.圓解析:Al,軌跡為過A且與l垂直的一條直線.答案:A激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)撥1.要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對(duì)應(yīng)拋物線的形狀(焦點(diǎn)位置、開口方向等).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個(gè)一次項(xiàng)和一個(gè)二次項(xiàng),二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)為2p;若一次項(xiàng)的字母是x,則焦點(diǎn)就在x軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在x軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在x軸的負(fù)半軸上(開口向左);若一次項(xiàng)的字母是y,則焦點(diǎn)就在y軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在y軸的

4、正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在y軸的負(fù)半軸上(開口向下).2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義:拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,所以p的值永遠(yuǎn)大于0,當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值時(shí),不要出現(xiàn)p0,焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸由標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)確定,系數(shù)為正,焦點(diǎn)在正半軸;系數(shù)為負(fù),焦點(diǎn)在負(fù)半軸.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)C(2)D 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為y= ;(2)焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5;(3)經(jīng)過點(diǎn)(-3,-1);(4)焦點(diǎn)為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸

5、的交點(diǎn).思路分析:(1)(2)由題意可確定方程形式求出p寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(3)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)分情況討論焦點(diǎn)的位置寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)方程為x2=2my(m0),由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知|m|=5,m=5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2=10y和x2=-10y.(3)點(diǎn)(-3,-1)在第三象限,設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p0)或x2=-2py(p0).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(4)對(duì)于直線方程3x-4y

6、-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,拋物線的焦點(diǎn)為(0,-3)或(4,0).所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12y或y2=16x. 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問題(1)把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(2)當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí),可設(shè)方程為y2=mx或x2=ny,這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究將本例(4)改為焦點(diǎn)為圓x2+y2=4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),拋物線方程為什么?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2根據(jù)下列條件確定拋物線

7、的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)關(guān)于y軸對(duì)稱且過點(diǎn)(-1,-3);(2)過點(diǎn)(4,-8);(3)焦點(diǎn)在x-2y-4=0上.解:(1)(方法1)設(shè)所求拋物線方程為x2=-2py(p0),將點(diǎn)(-1,-3)代入方程,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)(方法1)設(shè)所求拋物線方程為y2=2px(p0)或x2=-2py(p0),將點(diǎn)(4,-8)代入y2=2px,得p=8;將點(diǎn)(4,-8)代入x2=-2py,得p=1.所以所求拋物線方程為y2=16x或x2=-2y.(方法2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2=nx(n0),又拋物線過點(diǎn)(4,-8),所以64=4n,即n=16,拋物線的方程為y2=16x

8、;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為x2=my(m0),又拋物線過點(diǎn)(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,拋物線的方程為x2=-2y.綜上,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x或x2=-2y.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用拋物線的定義解決軌跡問題 A.橢圓B.雙曲線C.直線D.拋物線 答案:D 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟定義法解決軌跡問題根據(jù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程判斷其軌跡時(shí),要注意結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式,對(duì)所給方程進(jìn)行適當(dāng)變形,分析其幾何意義,然后結(jié)合有關(guān)曲線的定義作出判定.探究一探究二探究三探究四素

9、養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3一個(gè)動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),并且和直線l:x=-2相切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是.解析:設(shè)動(dòng)圓的半徑為R.因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),所以|MA|=R.又因?yàn)閯?dòng)圓和直線l:x=-2相切,所以圓心M到直線l:x=-2的距離d=R,即圓心M到定點(diǎn)A的距離與到定直線l的距離相等,故其軌跡是拋物線,且A是焦點(diǎn),l是準(zhǔn)線,并且有 =2,所以p=4,故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2=8x.答案:y2=8x探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)拋物線的實(shí)際應(yīng)用例4一輛卡車高3 m,寬1.6 m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,已知拱口寬恰好是拱高的4倍,若拱口寬為a m,求使卡車通過的a的

10、最小整數(shù)值.思路分析:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,通過確定點(diǎn)的坐標(biāo)確定出拋物線的方程,把卡車的寬度坐標(biāo)化,利用拋物線解決問題.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求解拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟(1)建:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)算:通過計(jì)算求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.(4)求:求出所要求出的量.(5)還:還原到實(shí)際問題中,從而解決實(shí)際問題.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l處時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬為米.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析

11、:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,將A(2,-2)代入x2=my,得m=-2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)與拋物線定義有關(guān)的最值問題典例設(shè)P為拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.思路分析:本題主要考查與拋物線有關(guān)的最值問題,利用數(shù)形結(jié)合的思想尋求解題思路.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于點(diǎn)P到F(1,0)的距離,所以問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)

12、P,使點(diǎn)P到A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小.連接AF,如圖所示.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)同理,|PF|與點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離相等.如圖所示,過點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1.由題意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值為4.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法總結(jié)求圓錐曲線上到兩定點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置時(shí),通常有兩種情況:(1)當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線兩側(cè)時(shí),連接兩定點(diǎn)的線段與曲線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn);(2)當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線同側(cè)時(shí),由圓錐曲線定義作線段的

13、等量轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換為(1)的情形即可.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1,到直線l:4x-3y+11=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為.解析:拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)F的距離,所以過焦點(diǎn)F作直線4x-3y+11=0的垂線,則F到直線的距離為答案:3 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是()A.6B.7C.8D.9解析:拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,可得xM=9,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是9.故選D.答案

14、:D探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.已知拋物線方程為x2=-2y,則其準(zhǔn)線方程為()A.y=-1B.y=1答案:C 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.若點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P(x,y)的軌跡方程為()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析:依題意得點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(0,2)的距離與它到直線y+2=0的距離相等,并且點(diǎn)F(0,2)不在直線y+2=0上,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線,并且F是焦點(diǎn),y+2=0是準(zhǔn)線,于是拋物線方程為x2=8y.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,頂點(diǎn)