1、前期回顧：線性離散控制系統采樣控制系統：具有時間離散、幅值連續的信號e(t)e* (t)tt數字控制系統：具有時間離散、幅值離散的信號量化編碼前期回顧：數字控制系統數字控制系統：時間和幅值均離散的控制系統：模擬數字；：數字模擬量化編碼（01組合）量化時間充分短及精度足夠高，數字控制可歸入采樣控制保持器不是必須的，大慣性、大滯后需要脈沖控制脈沖使幅值較大的信號平均能量降低，提高穩態精度。數 字 量數 字 量模 擬 電 壓（3 0 0 0中 的 2 0 份）（1 0 0 0 中 的 8份） 模 擬 電 壓0.0150128.V2080.008.V30001000f(x)前期回顧：離散控制系統的新問

2、題有新的信號類型，如何表達這些新的信號？采樣信號能信號的信息？離散的信號如何變成需要的連續信號，對系統又有什么影響？如何建立離散系統的數學模型？采樣過程 :把連續信號 脈沖序列的過程. 采樣方式和采樣裝置的不同，脈沖序列的形狀不同前期回顧：理想脈沖序列矩形脈沖的頻譜函數R (j) IsinC(j) G(j)R(j) ,C(j) G(j) R(j).在慣性環節帶寬內，沖量相同的幾種脈沖的幅頻譜均接近1，在慣性環節帶寬外，脈沖頻譜雖不同，但|G(j)|0.輸出頻譜C(j )相 同充分短促的脈沖加在有慣性對象時,對象運動僅取決于對 象本身特性和脈沖沖量,而與脈沖具體形狀無關。脈沖信號的特征： 沖量理

3、想脈沖序列。含義？信號的頻譜分解級數：把定義在-，上的信號分解為頻率為整數倍關系的諧波分量組合；變換將一個無限時寬的信號分解為頻率為的一系列頻率分量（ 可以是任意實數或復數）：分解：把一個簡單但是復雜的式子分；級數的復數形式；很長但是相對簡簡單的正(余)弦信號的組合。把一個復雜的信號分頻譜反映信號由完整的頻譜能反求信號一種特殊的積分變換，s=j(線性變換)1 j T( j jks)*前期回顧：采樣定理s k *(j)：主分量偏移ks疊加到一起max:|F(j )|=0.05|F(j 0)|采樣定理:為不失真地把原信號復現,采樣角頻率 s 2/Ts必須大于或等信號上限頻率max的二倍孤立時間點上

4、觀察的信息量是否足夠前期回顧：定理和信號重構任何信號都可以看做是不同頻率的正弦（余弦）信號的疊加，因此如果知道所有組成這一信號的正（余弦）信號的幅值、頻率和相角，就可以重構原信號。由于信號測量、分解及時頻變換的過程中存在誤差，因此不能100%地重構原信號，重構的信號只能保證原信號誤差在容許范圍內。前期回顧：如何化離散信號為連續信號？gh(t) 1(t) 1(t Ts )零階保持器使采樣信號 *(t)每采樣瞬時采樣值x(nTs), n=0,1,2,，一直保持到下一采樣瞬時，從而使采樣信號變成階梯信號。低通濾波，（高頻紋波）相角滯后：時間落后Ts/2y前期回顧：如何描述離散控制系統的動態過程？差分

5、方程一般y(t) y(t) K u(t)(8 - 20)微分近似計算1TTG( s) Ts 1(t) | y(kTs) y(k 1)Ts y(k) y(k 1)(8 - 21)t(k1)TsTTssy(k) (1 Ts ) y(k 1) KTs u(k 1)(8 - 22)TT來說，描述線性離散系統輸入與輸出關系的差分方程模型為nmy(k) ai y(k i) blu(k l)(8 - 23)i1l0第k時刻的輸出,不僅取決于當前時刻的輸入,還與歷史時刻的輸入輸出有關。迭代求解：給定初始條件下，反復迭代。8.3離散系統的數學模型8.3.1 z變換（引言：差分方程的求解）能否引入一些變換，將迭代

6、計算簡引入滯后算子z，化差分運算為代數運算y(k 2 ) 3 y(k 1) 2 y(k) u(k)k 0k 0u(k) 1,y( 0 ) 0y(1) 0 0 ,8.3離散系統的數學模型x* (t)8.3.1 z變換（差分方程的求解）t“引入滯后算子z”如何在數學上實現？（某種變換）如何求其z變換U(z)？1. 給定脈沖序列 u*(t)：u(0)、u(1)、u(2)、視為一整體2. 給定u*(t)對應的u(t)時域或頻域（復域）表達式。(t) f(t)(t kT ) f(kT )(t kT ),f* (t) f(t)t tTssss0k0k0F (s) L f (t) (t kT )f(kT )

7、L(t kT )*Lf(kT )ssssk0k0k0k0kT skT s(t) f(kT )eLf(kT )e(8 - 14)ssssz變換 令：z esTsy* (t)u* (t)u(t)8.3離散系統的數學模型Su* (t)u(t)nmy(k) ai y(k i) blu(k l)tti1l0t求解特定輸入下的系統響應零初始條件下得到離散系統的輸入-輸出數學模型（脈沖傳遞函數，Z傳函）：s變換和z變換的對應k0k0kT s*(s) L f (t) *f(kT )zk f(k)zkF(z) f(kT )esssk0Z變換：離散信號的拉氏變換。只能反映信號在采樣時刻的值，不能描述采樣點間信號的

8、狀態。 eTs(j) eTsejTs z eTsss 1直線左側 z平面原點為圓心r eTs1 為半徑圓內.離散系統穩定性的基礎原系統穩定：閉環極點位于左半平面對應z平面原點為圓心 ,r 1為半徑圓內.若F(s)全部極點在s平面s 1直線左側,則F*(s)全部極點也在s平面s 左側。1z esTsF8.3 離散系統的數學模型1z變換的求解方法級數求和：按定義直接計算其z變換表達式f(kT )z f(k)zkk(z) sk0k0試求序列 f(k) e pkTs (k 0,1,2.)的z變換, 其中, p為復數.例8-1解：按定義有收斂條件 es z1 1F(z) f(k)zk (es z1 )k

9、k0k01 k1zF(z) lim Sk lim1 1 e1z ezkkss8.3 離散系統的數學模型8.3 離散系統的數學模型2z變換的性質根據z變換定義，可證明z變換性質，利用性質進行z變換。1)線性定理Zaf1 (t) bf2 (t) aF1 (z) bF2 (z)2) 延遲定理Z f(tkT ) zkF(z), f(t) 0 , t 0s3) 超前定理超前定理 應用要謹慎k1Z f(t kT ) z F(z) ikf(i)z si04) 復數位移定理Ze f(t) F(zes )8.3 離散系統的數學模型5) 初值定理(0) lim(z),lim F(z)存在z z6) 終值定理7)

10、卷積定理例8-2 已知f(t)的變換為1(s) s(s 1)分部分式法試求相應的z變換F(z)查性質表,:11解：F(s) ss 1z(1 eTs )zzF(z) z 1eTTz e(z 1)(z e(1)ssz(z) Z f(t) 例8-3設z eaTs111G( s) Ts 1T1s Ta0,試利用終值定理確定f(k)的終值。lim f(k) lim(z 1)F(z) lim(z 1)z lim z 1 0解:z e1 ezk z1z1z1ss8.3 離散系統的數學模型例8-4試證明表8-2中的延遲定理和復位移定理。（1）t0時，f(t)=0Z f(t kT ) f()znkf(nT kT

11、 )z(nk)zssssn0n0 f(p k zk f(p0 zk)z p)z p zk(z)ss（2）由z變換可直接證得Ze f(t) f(n0aT)eanTsznnf(nT )(ze)sssn0 f(n0)zn F(z ) F(ze zeaTss ),zs1118-3-2 Z反反變變換只能反映信號在采樣時刻的值，不能描述采樣點間信號的狀態。(z) f(kT )zksk0反變換只能求出f(t)在采樣間隔上的值f(kTs)zz例8 6.F(z)(z 1)(z 2) 3z 2z2列直式長除得F(z) z1 3z2 7z3 15z4 )z2f(3T)z3f(4T)z4 (2Tsss可知:f(0)

12、0,f(Ts ) 1,f(2Ts ) 3,f(3Ts ) 7,f(4Ts ) 15,f*(t)(t T ) 3(t 2T ) 7(t 3T ) 15(t 4T )ssss1.長除法:設X(z) M(z)/ N(z),式中M(z)、N(z)分別為分子分母z的多項式.列直式M(z)長除N(z),得到商為關于z1整冪形式的無窮冪級數展開式, 由其系數即可求得x(kTs ).F(z) f(k)：z反變換8-3-2Z反變換2.部分分式法:從變換表可看出, 一般Z變換函數都有一個z因子.先將F(z)/ z展開成部分分式, 然后將其每上z,查z變換表再求和.z(1 eTs )(z 1)(z eTs )例8-

13、5設(z) F(z) 11(k) Z1F(z) 1 ekTs查表z 1z eTsz1zF(z)11例8 6.F(z),(z 1)(z 2) z(z 1)(z 2) z 1 z 2 F(z) z z ,f(kT) 1 2k,k 0,1,2, z 1 z 2(z) (k)：z反變換8.3 離散系統的數學模型（3）留數法設函數F(z)zk-1除有限個極點z1,z2,.,zn,外，在z平面上是的，則有n1f(k) kResF(z)z(8 - 17)zzii11表示函數 (z)zk1在z處的留數。kResF(z)zzzii其計算方法如下：1）若zi，i=1,2,.n，均為單極點，則ResF(z)zk1

14、lim(z z )F(z)zk1 (8 - 18)zziizzi2）若zi為m階重極點，則dm11k1k1 lim(z zi ) F(z)zmRes(z)zzz(8 - 19)m1(m - 1) ! dzzzii(z) (k)：z反變換8.3 離散系統的數學模型例8-7考慮例8-6的F(z)，試用留數法求f(k)zF(z) (z 1)(z 2)2z(z 1)(z 2)f(k) k1fReszzzi1i zkzk (z 1) (z 2)(z 1)(z 2)(z 1)(z 2) 1 2k,z1z2k 0, 1, 2, F(z) (k)：z反變換8.3 離散系統的數學模型：離散系統響應序列的求取z反

15、變換來求取離散系統的響應序列。k 0k 0u(k) 1,例8-8設初始值為y(0)=0和y(1)=0，輸入為0,試用z反變換法求由差分方程y(k+1)=3y(k+1)-2y(k)+u(k)所描述的離散系統的響應。U(z) Zu(k) 1解：查表8-1知對差分方程兩端作z變換，并應用超前定理，得:(z2 3z 2)Y(z) z2 y(0) zy(1) 3zy(0) (z2 3z 2)Y(z) U(z) 1 z1 1zzy(k 1) 2k1 1Y(z) z 2z 1z2 3z 28.3 離散系統的數學模型:基于差分方程解的系統分析c(k) 0 , 0.0048 , 0.0186 , c() 11.

16、4k 53，則 c(k)落入誤差帶 c( ) 5 % c( )內1.21max% 18.3%0.80.60.40.200246t/(s)81012c* (t)ts 53 0.1 5.3stp 37 0.1 3.7sC(z) (z)R(z) 0.0048z 0.0047zz2 1.9z 0.9095 z10.0048z1 0.0047z21 2.9z1 2.8095z2 0.9095z3r(t)e(t)e* (t)KC(s)R(s)-E(z)s(s 1)c(t)cmax c( 37 ) 1 .18331 eTsss8.3 離散系統的數學模型：脈沖傳遞函數nmy(k) ai y(k i) blu(

17、k l)i1l0u* (t) u(t) (t) u(kT )(t kT )Tsss疊加原理卷積 y (t) u(kT )g(lT kT ) (tkT )*ssssk0 l0y(k) u(kTs)g(lTs kTs)l0k 0脈沖(t kT )響應sg* (t) g(lT kT )(t lT )sssl0其中，當n 0時，g() 0零初始條件下進行實驗對象u*(t)y* (t)u* (t)y* (t)對象8.3 離散系統的數學模型：脈沖傳遞函數y(k) u(kTs )g(lTs kTs )l0對象(t kTs)g (t) g(lT kTs )(t lTs )*脈沖輸入下的輸出響應s零初始條件下進

18、行實驗l0其中，當n 0時，g(s) 0孤立時間進行控制和測量，輸出均可分解為g*(t)的線性組合。g*(t)的 z變換為G(z)，根據z變換卷積定理，Y(z) G(z)U(z)故離散系統的傳遞函數為 Y(z)Y*(s)s 1lnz TsL( y* (t)Y* (s)Y(z)G (s) G(z)*(8 - 25)Lu* (t)U* (s)U(z)脈沖傳遞函數：零初始條件下，系統輸出的z變換與輸入的z變換之比。取決于對象或系統自身，與輸入無關。8.3 離散系統的數學模型y(k) u(kTs )g(lTs kTs )l0Y(z) G(z)U(z)系統脈沖傳遞函數可由對連續系統脈沖響應g(t)的采樣

19、信Zg(t) Zg(k) G(z)號的g*(t)=g(k)求z變換來獲得：離散控制系統常見的結構單元：采樣開關連續對象8.3 離散系統的數學模型：脈沖傳遞函數的求取G(s) 1 s(s 1)例8-9設圖8-12（a試求其脈沖傳遞函數及差分方程。解：其脈沖傳遞函數為z(1 eTs )(1 eTs )z1G(z) Zz (eTs 1)z eTs 1)(z 1)(z eT2s(s)sG(z) Y(z) U(z)z2 (eTs 1)z eTs Y(z) (1 eTs )zU(z)y(k) (eTs 1) y(k 1) eTs y(k 2) (1 eTs )u(k 1)8.3 離散系統的數學模型：開環系

20、統的脈沖傳遞函數（1）串聯U1 (z) G1 (z)U(z)Y(z) G2 (z)U1 (z)一般G1 (z)G2 (z) G1G2 (z)G(z) ZG1 (s)G2 (s) G1G2 (z)(8 - 28)G(z) G1 (z)G2 (z)(8 - 27)8.3 離散系統的數學模型：開環系統的脈沖傳遞函數G1 (s) 1 / sG2 (s) 1 /(s 1)例8-10設圖8-13和圖8-14中均有試求兩個開環系統的脈沖傳遞函數G(z) 。G (z) Z1 s z (z 1)1G (z) Z 1) z (z eT1 (s)s22zG(z) G (z)G (z) 12(z 1)(z eTs )

21、z(1 eTs )1G(z) GG (z) Z12 1)(z 1)(z eTs(s)s8.3 離散系統的數學模型：開環系統的脈沖傳遞函數（2）含零階保持器的廣義對象當采樣頻率小于閉環系統帶寬的20倍時，通常不能忽略零階保持器相位滯后對閉環控制系統性能的影響。gp(t)Gp(s) s拉式變換gs)T s(1 e)G (s) ssp 1 eTss Gp(s) G(z) Z (1 z)Z1G (s)(8 - 29)pss延遲定理Zg (tT ) z1Zg (t)psp8.3 離散系統的數學模型：開環系統的脈沖傳遞函數Gp(s) 1 s(s 1)例8-11設圖8-15試求開環系統的脈沖傳遞函數G(z)

22、 。解：因Gp(s) 1 111ss 1 s2 (s 1)s2s查表8-1得Gp(s) TTz(e T 1)z (1 Te eTTzzzz eTssss Zsss(z 1)2 (z eTs )(z 1)2 z 1sGp(s) TTT T 1)z (1 Tee)(esssG(z) (1 z1 )Z ss(z 1)(z eTs )sz(1 eTs )1G(z) GG (z) Z例8-10結果12s(s 1)(z 1)(z e)Ts零階保持器一般不改變脈沖傳遞函數的階數，也不影響脈沖傳遞函數的極點，只影響零點。8.3 離散系統的數學模型：閉環系統脈沖傳遞函數采樣開關在環路中的配置存在多種可能，相應地

23、，閉環系統的結構形式也不唯一。虛線所示的理想采樣開關是為了方便分析而設的。假設所采樣開關都同步工作。Y(z) G(z)E(z)E(z) Zr(t) b(t) R(z) B(z)B(z) GH(z)E(z)誤差脈沖傳遞函數閉環系統的脈沖傳遞函數T (z) E(z) 1(8 - 31)Y(z)G(z)T(z) E1 GH(z)(8 - 30)R(z)R(z)1 GH(z)(z) 1 GH(z) 0閉環系統的特征方程(8 - 32)8.3 離散系統的數學模型：閉環系統脈沖傳遞函數3. 閉環系統脈沖傳遞函數T(z) ZT(s),TE(z) ZTE (s)一般而言閉環離散系統的脈沖傳遞函數通常不能直接從

24、對T(s)和TE(s)求z變換得到。8.3 離散系統的數學模型例8-12設閉環離散系統結構圖如圖8-17所示，試求其閉環脈沖傳遞函數。解：由圖8-17得Y(z) G2 (z)U(z)U(z) G1 (z)E(z)E(z) R(z) G H(z)U(z)2消去中間變量,得G1 (z)G2 (z)T(z) 1 G1 (z)G2H(z)8.3 離散系統的數學模型表8-3典型離散系統的結構圖及其輸出z變換G(z)R(z)環節之間1 GH(z)有采樣開關隔開：G1(z)G2(z)RG1(z)G2 (z)無采樣開關隔開：1 G2HG1(z)G1G2(z)G(z)R(z)1 G(z)H(z)若采樣開關不在誤差信號e(t