1、2019屆福建省高三模擬考試數學（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】D【解析】將集合的元素代入集合求得集合的元素，由此求得兩個集合的并集.【詳解】因為，所以.故選D.【點睛】本題考查集合并集的運算，考查運算求解能力.2設復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】利用復數的運算化簡求得，進而求得的表達式，由此確定復數對應的點所在象限.【詳解】由已知得，所以，即在復平面內對應的點為.位于第二象限，故選B.【點睛】本小題主要考查復數的運算，考查復數對應坐標所在象限，屬于基礎題. 求解與復數概念相關問題的技巧：復數的分類、

2、復數的相等、復數的模，共軛復數的概念都與復數的實部與虛部有關，所以解答與復數相關概念有關的問題時，需把所給復數化為代數形式，即的形式，再根據題意求解.3為比較甲、乙兩名高二學生的數學素養，對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖，則下面敘述正確的是（ ）A乙的數據分析素養優于甲B乙的數學建模素養優于數學抽象素養C甲的六大素養整體水平優于乙D甲的六大素養中數據分析最差【答案】C【解析】根據題目所給圖像，填寫好表格，由表格數據選出正確選項.【詳解】根據雷達圖得到如下數據：數學抽象邏輯推理數學建模直觀想象數學運算數據

3、分析甲454545乙343354由數據可知選C.【點睛】本題考查統計問題，考查數據處理能力和應用意識.4已知點，是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為2，則（ ）A2B4C6D8【答案】C【解析】利用拋物線的拋物線的定義寫出弦長公式，利用中點橫坐標來求得弦長.【詳解】設，則，而的中點的橫坐標為，所以.故選C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，以及拋物線的定義和性質，考查運算求解能力和化歸與轉化的數學思想.5已知向量，滿足，且，則向量與的夾角為（ ）ABCD【答案】B【解析】對兩邊平方，求得，所以.畫出圖像，根據圖像確定與的夾角，并根據它補角的正切值求得對應的角的大

4、小.【詳解】因為，所以，即，所以.如圖，設，則向量與的夾角為，因為，所以，.故選B.【點睛】本題考查平面向量的模以及夾角問題，考查運算求解能力，考查數形結合的數學思想方法.屬于中檔題.6如圖，分別是邊長為4的等邊的中線，圓是的內切圓，線段與圓交于點.在中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用等邊三角形中心的性質，求得內切圓的半徑和陰影部分面積，再根據幾何概型計算公式計算出所求的概率.【詳解】在中，因為，所以，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【點睛】本題考查幾何概型問題，考查數據處理能力和應用意識.屬于中檔題.7

5、已知，若，則（ ）A1B-1C-81D81【答案】B【解析】先令，求得，再令求得，然后令求得所求表達式的值.【詳解】令，得；令，得，所以，即；令，得.故選B.【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查運算求解能力.屬于基礎題.8若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有側面和底面中，面積的最大值為（ ）A2BC3D【答案】C【解析】畫出三視圖對應的直觀圖，然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面積公式計算出四個面的面積，由此判斷出面積最大值.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中，為的中點，平面，.所以，.又因為，所以，故，所以.故選C.【點睛】本題考查三視圖的知識，考查空間想象能力

6、和運算求解能力.屬于中檔題.9已知是定義在上的函數，且，如果當時，則（ ）A27B-27C9D-9【答案】B【解析】先判斷出函數的周期，然后利用周期性和已知條件，將轉化為，將代入題目所給解析式，由此求得的值.【詳解】由，則，所以為周期為8的周期函數，.故選B.【點睛】本題考查函數的周期性與求值，考查運算求解能力.屬于基礎題.10已知等差數列的前項和為，則（ ）A8B9C15D17【答案】C【解析】利用等差數列的性質化簡已知條件，由此列方程，通過通過解方程求得的值.【詳解】因為，所以，又，所以，解得.故選C.【點睛】本題考查等差數列的性質與前項和的計算，考查運算求解能力.屬于中檔題.11在平面直

7、角坐標系中，過雙曲線上的一點作兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線的交點分別為，若平行四邊形的面積為3，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設出C點的坐標，利用直線和直線的方程求得點的坐標，由此求得，利用點到直線的距離公式求得到直線的距離，利用平行四邊形的面積列方程，求得含有的等式，利用C在雙曲線上這一條件列方程，由此求得的值，進而求出的值以及離心率.【詳解】如圖，設，則直線：，直線：，可求得交點的坐標為，所以 .又點到直線：的距離，所以平行四邊形的面積為，即.因為，所以，所以，從而，.故選A.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線與離心率，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力.

8、屬于中檔題.解題過程中首先考慮的是將平行四邊形的面積表示出來，這是方程的思想，也即是要求一個未知數，通過未知數滿足的一個方程來求解出來.12已知，且，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】將題目所給不等式轉化為，由此得出函數的單調性，對求導，則導數恒小于或等于零，分離常數，然后利用導數求得的取值范圍.【詳解】，恒成立，則在上單調遞減，所以恒成立.當時，顯然恒成立，；當時，令，則.所以在上減函數，所以，即的取值范圍是.故選D.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性和恒成立問題，考查推理論證能力和創新意識.屬于中檔題.二、填空題13若實數，滿足約束條件，設的最大值與最小值分別

9、為，則_【答案】【解析】畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當直線過點時，取得最大值7；過點時，取得最小值2，所以.【點睛】本小題主要考查利用線性規劃求線性目標函數的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據題目所給的約束條件，畫出可行域；其次是求得線性目標函數的基準函數；接著畫出基準函數對應的基準直線；然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎題.14已知直線與函數的圖象相鄰兩個交點的橫坐標分別為，則_【答案】1【解析】根據兩個交點的橫坐標求得函數的一條對稱軸，將對稱軸代入函數解析

10、式，利用最大值和最小值列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，由已知為函數的圖象的一條對稱軸，函數取得最大值或最小值，將代入函數解析式，得，解得.【點睛】本題考查三角函數的性質，考查輔助角公式，考查推理論證能力.屬于中檔題.15我國古代數學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.該原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標系中的平面內，若函數的圖象與軸圍成一個封閉的區域，將區域沿軸的正方向平移8個單位長度，得到幾何體如圖一，現有一個與之

11、等高的圓柱如圖二，其底面積與區域的面積相等，則此圓柱的體積為_【答案】【解析】利用四分之一圓的面積和直角三角形面積公式求得陰影部分的面積，進而求得圓柱的體積.【詳解】表示的是四分之一的圓的面積，且圓的半徑是，所以區域的面積為，所以圓柱的體積.【點睛】本題考查數學文化以及簡單幾何體的體積，考查利用幾何意義計算定積分，考查空間想象能力和運算求解能力.16已知數列滿足，且，設數列的前項和為，則_（用表示）.【答案】【解析】分別求得當為奇數和為偶數時，數列的通項公式，再用分組求和法求得數列前項的和.【詳解】當是奇數時，所以，是首項為1，公差為6的等差數列，因此；當是偶數時，所以，是首項為4，公比為3的

12、等比數列，因此.綜上，所以，即 .【點睛】本題考查等差、等比數列的通項公式與求和公式，考查化歸與轉化的數學思想.屬于中檔題.三、解答題17已知在中，.（1）求邊的長；（2）設為邊上一點，且的面積為，求.【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）利用三角形內角和定理，將轉化為，化簡已知條件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的長.（2）利用三角形面積列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【詳解】解：（1）由及，得，展開得，即，所以.所以，即，所以.（2）由，解得.在中，所以.由，得，所以.【點睛】本小題主要考查三角形內角和定理，考查三角恒等變換，考查利用余弦定理和正弦定理解三

13、角形，綜合性較強，屬于中檔題.18如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，其中點在以為直徑的圓上，平面平面.（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）連接，根據直徑所對圓周角是直角，得到，計算出的長，通過勾股定理證得，再根據面面垂直的性質定理得到平面.（2）為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向建立空間直角坐標系通過計算平面和平面的法向量，計算二面角的余弦值，進而求得其正弦值.【詳解】（1）證明：連接，因為點在以為直徑的圓上，所以.因為，所以，.所以.因為為等腰梯形，所以.又因為，所以，從而得.又因為平面平面，平面平面，所以平面.（2）解：由（1）易知

14、，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，.因為，所以，.設平面的法向量為，平面的法向量為，由，得，令，得，由，得，令，得，所以，所以，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查利用空間向量求解有關二面角的問題，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.192019年春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:2010:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻

15、的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:209：40記作區間，9:4010:00記作，10:0010:20記作，10:2010:40記作.比方：10點04分，記作時刻64.（1）估計這600輛車在9:2010:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記為9:2010:00之間通過的車輛數，求的分布列與數學期望；（3）由大數據分析可知，車輛在春節期間每天通過該收費點的時刻服從正態分布，其中可用這600輛車在9:2010:40之間通過該收費點的時刻的平均值

16、近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:4610:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.參考數據：若，則，.【答案】（1）10點04分；（2）詳見解析；（3）819輛.【解析】（1）用每組中點值乘以頻率，然后相加，得到平均值.（2）先用分層抽樣的知識計算出量車中位于的車輛數，然后利用超幾何分布的知識計算出分布列，并求得數學期望.（3）由（1）可知，計算出方差和標準差，利用正態分布的對稱性，計算出在9:4610:40這一時間段內通過的車輛的概率，乘以得到所求車輛數.【詳解】解：（1）這600輛車在9:20

17、10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為，即10點04分。（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數就是位于時間分組中在這一區間內的車輛數，即，所以的可能取值為0，1，2，3，4。所以，所以的分布列為01234所以.（3）由（1）可得， ，所以.估計在9:4610:40這一時間段內通過的車輛數，也就是通過的車輛數，由，得 ，所以，估計在9:4610:40這一時間段內通過的車輛數為（輛）.【點睛】本小題主要考查根據頻率分布直方圖估計平均數和方差，考查超幾何分布概率計算以及數學期望的計算，考查正態分布計算，屬于中檔題.20已知橢圓：過點，且它的

18、焦距是短軸長的倍.（1）求橢圓的方程.（2）若，是橢圓上的兩個動點（，兩點不關于軸對稱），為坐標原點，的斜率分別為，問是否存在非零常數，使當時，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在這樣的常數，此時.【解析】（1）將點的坐標代入橢圓方程，結合和列方程組，解方程組求得橢圓的標準方程.（2）設直線的方程為和兩點的坐標，將兩點兩點坐標代入，化簡得到.聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用點到直線距離公式和弦長公式求得三角形的面積的表達式，結合解得和的值.【詳解】解：（1）因為橢圓：過點，所以，又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍，所以，從而.聯立方程組，解得，

19、所以.（2）設存在這樣的常數，使，的面積為定值.設直線的方程為，點，點，則由知，所以.聯立方程組，消去得.所以，點到直線的距離，的面積.將代入得，化簡得，將代入得，要使上式為定值，只需，即需，從而，此時，所以存在這樣的常數，此時.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和橢圓相交所得弦的弦長的求法，考查與橢圓有關的三角形面積的求解，考查方程的思想，綜合性較強，屬于難題.21已知函數，的導函數為.（1）試討論函數的零點個數；（2）若對任意的，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍. 【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）先求函數的定義域，然后求函數的導數

20、，對分類討論，將的零點問題，轉化為直線與函數圖象的交點個數來求解出來.（2）構造函數，將原問題轉化為對恒成立，先利用確定的一個范圍，然后利用的二階導數驗證在這個范圍內，的最大值不大于零，由此求得的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意得的定義域為，.（i）當時，此時沒有零點；（ii）當時，的零點個數等于直線與函數圖象的交點個數，可知直線與函數圖象的相切點，此時切線的斜率為.當，即時，兩個圖象沒有交點，即函數沒有零點；當，即時，兩個圖象有兩個交點，即函數有兩個零點；當，即時兩個圖象有一個交點，即函數有一個零點；當，即時，兩個圖象有一個交點，即函數有一個零點.綜上，當時，函數沒有零點；當或時，有一個零點；當時，有兩個零點.（2）設 ，要使原不等式恒成立，則只要對恒成立，所以.令，則.由于“對恒成立”的一個必要條件是，即.當時，所以在上單調遞減.所以，從而在上單調遞減