1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)基于小孔成像原理及透鏡畸變現(xiàn)象的相機(jī)標(biāo)定模型摘要本文就數(shù)碼相機(jī)定位過程中系統(tǒng)標(biāo)定的實(shí)現(xiàn)問題，建立了基于小孔成像原理并考慮透鏡徑向一階畸變影響下的尋找靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)，并由該像坐標(biāo)確定相機(jī)間相對位置的模型。對靶標(biāo)圖像處理時，將圖像轉(zhuǎn)換為二值圖并用矩陣保存，設(shè)計了利用圖像邊界像素點(diǎn)的性質(zhì)提取靶標(biāo)像邊緣的計算機(jī)算法。為確定靶標(biāo)上圓心在相機(jī)像平面上的像坐標(biāo)，設(shè)計了反映射法和解析法兩種方法。在反映射法中根據(jù)小孔成像模型將靶標(biāo)像的邊緣反向映射，得到一個圓心點(diǎn)坐標(biāo)后再將其映射回像平面以

2、確定靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)。不考慮透鏡一階徑向畸變對成像的影響時，計算出5個圓心的像坐標(biāo)分別為：A(-189.41,194.78)，B(-89.25,187.21)，C(127.01, 171.14)，D(-227.54， -117.54)，E(70.5552，-118.96)；考慮透鏡一階徑向畸變對成像的影響時，將小孔成像模型進(jìn)行修正后，計算出5個圓心的像坐標(biāo)分別為：A(-189.59,194.99)，B(-89.32,187.37)，C(127.81, 171.29)，D(-227.75， -117.66)，E(70.62，-119.05).在解析法中利用小孔成像原理得出靶標(biāo)上圓的邊界點(diǎn)與像平面上

3、像的邊界點(diǎn)之間的解析關(guān)系，建立超定方程組，解此方程組得到圓心像坐標(biāo)。用解析法計算出5個圓心的像坐標(biāo)分別為：A(-189.27, 194.60)，B(-89.21, 187.17)，C(127.01, 171.49)，D(-227.55，-117.58)，E(69.98，-118.12).根據(jù)靶標(biāo)上圓心的像坐標(biāo)及各圓心之間的距離，得到靶標(biāo)上各圓心在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。利用標(biāo)靶各圓心分別在兩個相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法可計算得到兩相機(jī)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換參數(shù)，由此轉(zhuǎn)換參數(shù)即可得到兩相機(jī)之間的相對位置。對確定靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)模型中的算法精度進(jìn)行模擬檢驗(yàn)，結(jié)果表明算法精度較高。利用靈敏度對

4、模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并具體計算出以靶標(biāo)中圓E為例，反映射法和解析法兩種方法的靈敏度值為0.14, 0.07。最后對模型進(jìn)行了評價。關(guān)鍵字：系統(tǒng)標(biāo)定 小孔成像 透鏡徑向一階畸變 反映射法 解析法 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù) 靈敏度問題的重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。數(shù)碼相機(jī)定位，是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。數(shù)碼相機(jī)的定位可以用雙目定位（即用兩部相機(jī)來定位）的方法實(shí)現(xiàn)，步驟如下：用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得物體上的特征點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。確定兩部相機(jī)精確的相對位置。用幾何的方法得到特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即

5、確定了特征點(diǎn)的位置。對于雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置是確定特征點(diǎn)的關(guān)鍵，這一過程也稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種實(shí)際做法是，在物平面上畫若干個圓（稱為靶標(biāo)），同時用兩部相機(jī)照相，分別得到這些圓在它們像平面上的像。以圓心為靶標(biāo)的特征點(diǎn)，找出這些圓的圓心在像平面上對應(yīng)的像點(diǎn)，利用兩張照片中兩組點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對位置。但靶標(biāo)上圓的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定才可實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)已知某靶標(biāo)如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點(diǎn)（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，1

6、2mm為半徑作圓，如圖2所示。 圖1 靶標(biāo)上圓的像圖 2 靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3 靶標(biāo)的像我們需要做的是：建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；對由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機(jī)分辨率為1024768；設(shè)計一種方法檢驗(yàn)已建立的模型，并討論方法的精度和穩(wěn)定性；建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。問題的分析2.1 相機(jī)定位

7、模型的整體分析利用雙目定位的方法進(jìn)行相機(jī)定位時，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置即系統(tǒng)標(biāo)定是關(guān)鍵。在系統(tǒng)標(biāo)定過程中，由于無法在物平面或像平面上直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”，只能在物平面上畫若干個圓作為靶標(biāo)用兩部相機(jī)對其進(jìn)行拍攝，然后，在拍攝到的像中找出兩組圓的圓心的像坐標(biāo)，再利用圓心像坐標(biāo)確定出兩組圓心的幾何關(guān)系，進(jìn)而確定出兩部相機(jī)的相對位置。由此可知，在以圓作靶標(biāo)的系統(tǒng)標(biāo)定方法下，可將系統(tǒng)標(biāo)定分作一下兩個關(guān)鍵步驟：由靶標(biāo)的像確定靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面中像坐標(biāo)；由兩組在不同相機(jī)像平面上的圓心像坐標(biāo)確定出兩相機(jī)的相對位置。顯然，兩部相機(jī)相對位置的確定依賴于兩組圓心像坐標(biāo)的確定。所以，需先建立用靶

8、標(biāo)的像來確定靶標(biāo)上圓的圓心像坐標(biāo)的模型并設(shè)計算法將其求出，再在此基礎(chǔ)上建立確定兩部相機(jī)相對位置的模型。2.2確定圓心像坐標(biāo)的兩種方法分析經(jīng)典的攝像機(jī)模型小孔成像模型，發(fā)現(xiàn)造成拍得的靶標(biāo)的像出現(xiàn)變形主要是由靶標(biāo)所在的物平面與像平面不平行導(dǎo)致的。小孔成像模型是攝像機(jī)的理想模型，沒有考慮到攝像機(jī)本身存在的缺陷等會導(dǎo)致拍攝得到的像出現(xiàn)畸變，而靶標(biāo)的像出現(xiàn)變形也可能是由于這種畸變造成的。由以上分析可知，靶標(biāo)的像出現(xiàn)變形是由靶標(biāo)所在物平面與像平面不平行，以及相機(jī)本身缺陷造成圖像畸變兩方面原因造成的。對于利用像平面上的圖形確定靶標(biāo)上圓的圓心像坐標(biāo)的問題，我們想到兩種可行的方法，以下作具體分析。2.2.1反映

9、射法在相機(jī)的理想模型小孔成像模型中，假設(shè)一個物平面，則由靶標(biāo)的像經(jīng)反向的映射得到一個在該物平面上的圖像。改變該物平面，使該物平面與相機(jī)像平面呈不同的角度，則可反向映射得到在該物平面上的不同圖像。當(dāng)這個物平面與靶標(biāo)所在的物平面平行時，由于小孔成像模型是線性呈像，則靶標(biāo)的像反映射到這個物平面上形成的像與靶標(biāo)上的圓是相似，也是一個圓。相反，當(dāng)靶標(biāo)的像影射到該平面所形成的圖象為圓時，該平面與靶標(biāo)所在的平面平行，這時該圓心映射到像平面上的點(diǎn)即為靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像點(diǎn)。考慮相機(jī)自身缺陷造成圖像畸變時，簡單起見，只考慮一階徑向畸變的影響，對理想的小孔成像模型作修正。2.2.2解析法解析法確定靶標(biāo)上的

10、圓的圓心像坐標(biāo)主要基于數(shù)學(xué)解析計算。直接建立靶標(biāo)平面與像平面之間的空間關(guān)系，得到與中圖形外輪廓上對應(yīng)像素點(diǎn)之間滿足的空間變換方程。因中的點(diǎn)滿足圓的方程，從而可推導(dǎo)出中每個對應(yīng)點(diǎn)滿足的方程，并建立起一個關(guān)于圓心像坐標(biāo)及其它參數(shù)的超定方程組。為尋找一個對所有方程適應(yīng)度最大的解，可運(yùn)用最小二乘的原理，尋找一個解使其在所有方程構(gòu)成的解空間中對每一方程的偏移度最小。由此就可以得到圓心位置的最優(yōu)解。2.3 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途扰c穩(wěn)定性的分析一個模型的精度應(yīng)是指計算結(jié)果與實(shí)際情況的偏離程度，由于我們無法真實(shí)再現(xiàn)整個空間拍攝過程，所以考慮運(yùn)用模擬實(shí)際成像的方法做出檢驗(yàn)。具體為，在固定像平面的情況下，隨機(jī)生成一個在空間

11、中靶標(biāo)平面，并生成某一大小的圓；通過小孔成像，在像平面上得到圓的像覆蓋的像素點(diǎn)集，以及圓心像在像平面內(nèi)的坐標(biāo)；再用我們設(shè)計的計算方法求解圓心像在像平面內(nèi)的坐標(biāo)，對比兩者之間的差值，就能檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木取Ｓ捎谠谙鄼C(jī)拍攝過程中焦距無法完全合適及相機(jī)本身的原因，使拍攝出的圖像的邊界處會出現(xiàn)模糊，具體表現(xiàn)為圖像邊界處像素點(diǎn)的不穩(wěn)定，我們用“噪音”來描述這種圖像邊界像素點(diǎn)的不穩(wěn)定情況。這種不穩(wěn)定會影響靶標(biāo)上圓的圓心像坐標(biāo)的計算，使計算結(jié)果產(chǎn)生一個隨機(jī)誤差。為測定穩(wěn)定性，我們可以人為加入“噪音”，即用人為移動像的邊界像素點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)。具體可以用泊松分布來隨機(jī)產(chǎn)生邊界像素點(diǎn)在x軸方向和y軸方向上的移動點(diǎn)數(shù)，再在有

12、噪音的情況下計算圓心像的坐標(biāo)，比較它與無噪音時求出的坐標(biāo)的不一致程度，就可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性。2.4 確定兩相機(jī)空間位置關(guān)系的分析由于是以相機(jī)的光學(xué)中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，所以有兩個相機(jī)便存在兩個空間直角坐標(biāo)系，在這兩個坐標(biāo)系中，靶標(biāo)上圓的圓心有不同的坐標(biāo)，而靶標(biāo)上圓的圓心是這兩個坐標(biāo)系的公共點(diǎn)，也就是說，靶標(biāo)上圓的圓心將兩個分別以兩部相機(jī)的光學(xué)中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系聯(lián)系起來。所以，考慮到求出靶標(biāo)上圓的圓心在兩個不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，使用空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法，便可求得以兩相機(jī)光學(xué)中心為原點(diǎn)的兩個坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而也就求得了兩相機(jī)間的相對位置關(guān)系。若要求得靶標(biāo)上圓的圓心在兩個不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，需要

13、利用靶標(biāo)上圓的圓心像坐標(biāo)。過靶標(biāo)上圓的圓心像坐標(biāo)和原點(diǎn)作直線，該直線即為映射光線，令該直線與空間某平面相交于一點(diǎn)。過5個圓心像坐標(biāo)分別作5條直線，與平面相交于5個點(diǎn)，這5個點(diǎn)之間的距離與靶標(biāo)平面上5個圓心間的距離越接近，則空間中的這個平面越接近于靶標(biāo)所在的平面，所作直線與平面的交點(diǎn)也就越接近于靶標(biāo)上圓的圓心，交點(diǎn)的空間坐標(biāo)即可作為靶標(biāo)上圓心的空間坐標(biāo)。基本假設(shè)所用相機(jī)的像距均為1577個像素單位（毫米約為3.78個像素單位），其分辨率為1024768。兩部同時拍攝的相機(jī)具有相同的屬性。所的圖象的邊緣像素點(diǎn)分布基本均勻。名詞解釋與參變量說明4.1 名詞解釋1數(shù)碼相機(jī)定位：是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的

14、相片來確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。2雙目定位：是數(shù)碼相機(jī)定位種最常用的方法，即用兩部相機(jī)來定位，以確定特征點(diǎn)的位置。3系統(tǒng)標(biāo)定：精確確定兩部相機(jī)相對位置的過程。4靶標(biāo)：用于確定兩相機(jī)相對位置的設(shè)計的物平面，其上有若干個圓。5像距：相機(jī)光學(xué)中心到像平面的距離。6物距：相機(jī)光學(xué)中心到拍攝實(shí)物的距離。7像素單位：它表征空間距離，1個像素單位約為個毫米。8相機(jī)分辨率：表征像平面長寬由多少個像素單位構(gòu)成。9超定方程組：方程個數(shù)多于變量數(shù)的方程組。10畸變系數(shù)：表征相機(jī)拍攝過程中非線性失真的大小。10噪音：描述圖像邊界像素點(diǎn)的不穩(wěn)定情況。4.2 參變量說明參變量定義單位物平面像平面相機(jī)像距像素中第個圓圓

15、心的像在平面中的坐標(biāo)即在以相機(jī)A的光學(xué)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系中，相機(jī)B的光學(xué)中心的坐標(biāo)靈敏度畸變系數(shù)模型的建立5.1 建模前的準(zhǔn)備（像平面上像的邊界點(diǎn)提取）將數(shù)碼相機(jī)攝得的靶標(biāo)的圖像保存為.bmp格式的單色位圖，得到由黑白兩種顏色組成的0-1圖或二值圖。使用MATLAB軟件直接讀入此.bmp格式文件，可得到靶標(biāo)像所成的圖的矩陣保存形式，其中的每個元素代表相應(yīng)圖中的像素點(diǎn)，如第i行、第j列元素代表圖中第i行的第j個像素點(diǎn)。靶標(biāo)像所成的圖為二值圖，在靶標(biāo)像圖矩陣中某元素為0表示該像素點(diǎn)為黑色，為1表示該像素點(diǎn)為白色。這樣，靶標(biāo)的像圖就表示為一個0-1矩陣。又由于相機(jī)分辨率為1024768，所以靶標(biāo)

16、像圖矩陣為一個768行，1024列的0-1矩陣。為提取像的邊界點(diǎn)，觀察像平面上像的邊界點(diǎn)及其周圍的像素點(diǎn)，可以看出，像的邊界點(diǎn)為黑色，且上、下、左、右四個方向上的相鄰像素點(diǎn)中存在白色的像素點(diǎn)。所以，在靶標(biāo)像圖矩陣中，表征邊界像素點(diǎn)的矩陣元素為0，且該元素上、下、左、右四個方向上的相鄰元素中存在值為1的元素。由此可見，對靶標(biāo)像圖邊界像素點(diǎn)的搜索過程可以轉(zhuǎn)換為對靶標(biāo)像圖矩陣元素的搜索。 5.2 建立確定圓心像坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型與算法設(shè)計5.2.1 不考慮相機(jī)畸變影響下的模型在系統(tǒng)標(biāo)定過程中，需要通過分析不同方位的相機(jī)對同一靶標(biāo)拍攝的像之間的幾何關(guān)系，來確定兩部相機(jī)的空間相對位置。而這其中的關(guān)鍵，就是在

17、同時考慮相機(jī)拍攝角度與透視原理對成像的影響下，找出靶標(biāo)中圓的圓心在像中的位置。先不考慮相機(jī)畸變因素對模型的影響，并將相機(jī)拍攝實(shí)物的過程近視為一個針孔成像的過程，此時我們分別從兩種不同的思路建立了求解圓心像位置的模型，得到了非常相似的結(jié)果。 （1）第一種方案（反映射法）1) 原理闡述及目標(biāo)函數(shù)的確立此模型首先運(yùn)用針孔成像原理對相機(jī)拍攝成像過程進(jìn)行了簡化。設(shè)靶標(biāo)所在的平面為，像所在的平面為，相機(jī)鏡頭的中心為光學(xué)中心，鏡頭所在平面平行于像平面，設(shè)為建立以相機(jī)光學(xué)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，像平面垂直于軸的坐標(biāo)系，其光路原理如下圖所示： 圖1 針孔成像下的光路原理圖此方案主要運(yùn)用了光路可逆原理的思想。由于不同空間

18、方程下的物平面與像平面中形狀不一的圖形是一一對應(yīng)的。于是將像平面上的圖形通過小孔反映射到某一屏上，搜索使屏上圖形最接近于圓時，屏的空間平面方程；再將此時中圓的圓心重新一一映射回平面，這樣就可以得到精確度較高的圓心像的坐標(biāo)。如圖2所示：圖2 反映射過程其中，像平面與光學(xué)中心的距離對固定相機(jī)來說是恒定不變的，設(shè)其為。將經(jīng)過翻轉(zhuǎn)后平移到的位置中，使得此時與上相應(yīng)點(diǎn)的位置有更好的對應(yīng)關(guān)系，也即是此時與中對應(yīng)點(diǎn)的連線通過原點(diǎn)。 下面建立與中圖像上的點(diǎn)的位置關(guān)系。設(shè)物平面的方程為,其一般式為. (1)其中，與前的系數(shù)表征平面的空間角度，常數(shù)項(xiàng)的取值表征物平面與像平面中圖像的大小關(guān)系。從原點(diǎn)出發(fā)將中每一個圓

19、的邊緣映射到中，設(shè)中任一邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)為,原點(diǎn)坐標(biāo)為=(0,0,0),則映射到中任一點(diǎn)所形成的直線方程，也即光路方程為,代入=(0,0,0),得到. (2) 聯(lián)立(1)與(2)就可以求得光線與平面的交點(diǎn)，記為，為中圖形輪廓的個數(shù)，1,2，,k.為在像素平面離散化后的圖形輪廓點(diǎn)的個數(shù)，1,2,. 對于每個圓的值都不相同。 如何判斷平面中的輪廓是一個正圓成為求解的關(guān)鍵。我們對此時的幾個輪廓分別求幾何中心，并檢驗(yàn)此中心到輪廓每個點(diǎn)的距離的均衡程度，認(rèn)為最均衡時對應(yīng)的輪廓就為圓。于是可建立使均衡度最高的優(yōu)化模型，求出此時的平面方程，進(jìn)而得到中每個圓圓心的坐標(biāo)，這些坐標(biāo)與原點(diǎn)連線后與平面相交的點(diǎn)就是圓心像

20、的位置。運(yùn)用以上思想，先求出映射到平面上個外輪廓的幾何中心，也即是輪廓坐標(biāo)的平均值。即：, , .再計算此中心到輪廓個點(diǎn)的距離平均值。設(shè)此距離均值為，得到. (3)我們定義均衡程度為此中心到輪廓每個點(diǎn)的距離與的差距程度。設(shè)表示均衡程度，我們用這兩者比值減一的平方來表征這種差距。有 ,將各圓的均衡程度相加，得到總均衡程度，于是建立起使總均衡程度最小為目標(biāo)的最優(yōu)化函數(shù)如下：Min . (4)在此目標(biāo)值最小時，求出平面方程及中每個圓的圓心坐標(biāo)。運(yùn)用兩點(diǎn)式直線方程(2)的變形 , (5)就可求解到第個圓圓心的像在平面中的坐標(biāo)。2）提高算法效率的初始值設(shè)定(略)（2）第二種方案（解析法）這種解析的方式直

21、接建立靶標(biāo)平面與像平面之間的空間關(guān)系，得到與中圖形外輪廓上對應(yīng)像素點(diǎn)之間滿足的空間變換方程，由于要使中的圖形皆為圓，于是通過建立中點(diǎn)滿足的關(guān)系式，反過來得到了中點(diǎn)滿足的約束條件。已通過對原圖的像素取點(diǎn)，得到像平面中構(gòu)成一個外輪廓的點(diǎn)約有兩百多個，于是可以建立關(guān)于這兩百多個點(diǎn)滿足關(guān)系式的超定方程，來求解圓心位置的最優(yōu)解。我們將圖2中的平面改為平面得到圖5，同理將像平面經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后移至的位置中，使得物平面中圓與其像之間的連線通過原點(diǎn)。圖5 物平面與像平面的空間關(guān)系設(shè)物平面的方程為,像平面的方程為,物平面上任一點(diǎn)在像平面上的對應(yīng)點(diǎn)為。根據(jù)圖5得到與中對應(yīng)點(diǎn)之間的連線通過圓心。因此得到與中外輪廓上對應(yīng)

22、像素點(diǎn)之間滿足的關(guān)系式 . (7)用像平面上的點(diǎn)表達(dá)物平面上點(diǎn)滿足的關(guān)系式，由(7)解得 , (8)若令(8)中 , (9)則由(8)、(9)得 . (10) 這就是與中外輪廓上對應(yīng)像素點(diǎn)之間滿足的空間變換方程。令物平面上的第個圓圓心坐標(biāo)為(),像平面上對應(yīng)圓心像坐標(biāo)為 (),（這里與前假設(shè)不同，僅為了統(tǒng)一標(biāo)識變量），記 , (11)同理有 . (12)對物平面上的點(diǎn)來說，由于其構(gòu)成一個圓，則必然滿足圓方程. (13)聯(lián)立(10)(12)(13)，得到像平面上點(diǎn)滿足的關(guān)系式. (14) 設(shè)平面中第個圓外輪廓上有個像素點(diǎn)，每個點(diǎn)表示為(),.代入(14)式，建立起以,為變量的兩百多個方程的超定方

23、程組，求解出最優(yōu)的, 值，其中()即為所求第個圓圓心的坐標(biāo)。我們運(yùn)用最小二乘的思想來求解最優(yōu)解，先以兩變量，三方程構(gòu)成的超定方程組來說明運(yùn)用最小二乘求解超定方程組的原理。假設(shè)兩變量，三方程構(gòu)成平面上的三條直線，若三條直線相交，則可直接得到滿足三方程的解；但一般情況下，三條直線并不相交，于是考慮在三直線相交成的三角形區(qū)域內(nèi)尋找一個點(diǎn)，使其到三條邊的距離的平方和最小，此時就認(rèn)為這個點(diǎn)就是最優(yōu)解。于是對超定方程組，在給定了一個解之后，將兩百多個方程中的常量移至方程的右邊，考慮最特殊的情況，若兩百多個方程同時滿足一個解，則方程右邊應(yīng)全為零。但現(xiàn)在對每一個接近最優(yōu)解的解，方程右邊出現(xiàn)的常量就表征了此方程

24、與此解相差的程度，我們自然希望能找到某個解使得所有方程右邊的常量最小，而對這個“最小”的衡量可以運(yùn)用最小二乘的方式。將每一個給出的解帶入方程組，求出每個方程常數(shù)項(xiàng)的平方和，搜索使這個值最小對應(yīng)的解作為最優(yōu)解。同樣運(yùn)用MATLAB中fminsearch函數(shù)搜索，使其自動尋找并逐步靠近最優(yōu)解，對每一個圓所成的像做相同的處理就可得到最優(yōu)解。5.2.2 考慮相機(jī)畸變影響下的模型相機(jī)的畸變有多種，此時考慮徑向一階畸變下的模型。由于像平面上的點(diǎn)與物平面上對應(yīng)點(diǎn)的連線通過原點(diǎn)，因此他們對應(yīng)點(diǎn)的空間坐標(biāo)成比例關(guān)系。像平面的軸坐標(biāo)為，又設(shè)為不考慮畸變時像平面上的點(diǎn)，為物平面上的點(diǎn)，所以有. (15)由參考文獻(xiàn)1

25、得到相機(jī)畸變模型如下 . 其中， 為考慮畸變時像平面上的點(diǎn)；為畸變系數(shù)；為光學(xué)中心到像平面的距離。在此模型下，由像平面上的點(diǎn)計算其在物平面 (19)上的對應(yīng)點(diǎn)的計算公式的推導(dǎo)過程如下：由(16)/(17)得,若令,則有. (20)若能求得，則就能得到像平面與物平面的映射關(guān)系，于是，為解出的表達(dá)式，將(20)帶入(16)得并整理得.解此關(guān)于的二次方程，得 ,容易分析出 ,令得 (21)結(jié)合(19)(20)求得于是就能得到像平面與物平面的映射關(guān)系，從而可由像平面上的點(diǎn)計算其在物平面上的對應(yīng)點(diǎn)。5.3 建立兩部相機(jī)空間位置關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（略）模型的求解6.1 圓心像坐標(biāo)的求解結(jié)果我們已建立對靶標(biāo)中任

26、意個數(shù)的圓普適的圓心像坐標(biāo)求解模型，對題中所給的特定靶標(biāo)代入，為圓的個數(shù)，就可進(jìn)行求解。題中所給靶標(biāo)如下：圖6所給靶標(biāo)圖形這是一個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點(diǎn)（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓，再以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，得到靶標(biāo)圖形。由于1mm約為3.78個像素單位，所以所給的正方形邊長約為378個像素單位，圓半徑約為45.36個像素單位。運(yùn)用反映射法與解析法分別得到了兩組圓心的最優(yōu)位置。其中以像素作為基本單位，以長寬為1024786個像素單位的像平面中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面坐標(biāo)系。將靶標(biāo)中圓的外輪廓及圓心投影到坐標(biāo)系中，由于三種

27、方法得到的解幾乎相同，我們僅畫出解析法下的圓心坐標(biāo)，如圖7所示：圖7靶標(biāo)像的輪廓及圓心像位置關(guān)系在此坐標(biāo)系下，給出兩種方式下的圓心像的位置坐標(biāo)值，如表1所示：表1 三種方式下求解到的圓心像的位置坐標(biāo)針孔成像下反映射法得到的圓心位置坐標(biāo)值（像素單位）對各不同的圓ABCDEx-189.41-89.25127.67-227.5470.56y194.78187.21171.14-117.54-118.96針孔成像下解析法得到的圓心位置坐標(biāo)值（像素單位）對各不同的圓ABCDEx-189.27-89.21127.01-227.5569.98y194.6187.17171.49-117.58-118.12考

28、慮畸變影響下反映射法得到的圓心位置坐標(biāo)值（像素單位）對各不同的圓ABCDEx-189.591-89.3184127.8106-227.74870.616y194.9769187.3797171.2893-117.662-119.0496.2 靶標(biāo)上圓心坐標(biāo)的確定（略）模型的檢驗(yàn)與分析7.1 對兩種方式下求解圓心位置的檢驗(yàn)與分析對如上兩種模型求解的圓心像坐標(biāo)，我們運(yùn)用模擬實(shí)際情況的方式對模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)。也就是用模擬結(jié)果與不同計算方式下的結(jié)果做對比，分析出各模型的精度。而這個模擬過程的具體設(shè)定如下：在空間中固定一個成像平面，在排除傾角過大的情況下，隨機(jī)生成一個與像平面呈某空間角度的靶標(biāo)平面。在靶

29、標(biāo)平面隨機(jī)生成一個大小適度的圓，圓的半徑設(shè)定在50到100個像素之間。由于像平面實(shí)際上是離散化的，等效于一張網(wǎng)格面，而網(wǎng)格密度就以1024768的分辨率來確定。將像平面上的網(wǎng)格點(diǎn)全部以針孔成像的方式映射回靶標(biāo)平面。生成一個與格點(diǎn)對應(yīng)的矩陣記錄映射情況，若格點(diǎn)落在圓外，則記這個點(diǎn)對應(yīng)的矩陣元素為1，若格點(diǎn)落在圓內(nèi)，則記這個點(diǎn)對應(yīng)的矩陣元素為0。將落在圓內(nèi)的格點(diǎn)重新映射回像平面，而它們構(gòu)成的點(diǎn)集的空間位置已由矩陣記錄。確定靶標(biāo)上的圓的圓心映射到像平面上的空間坐標(biāo)位置，記為。分別運(yùn)用已建立的兩種方法試求解這個點(diǎn)集中圓心像的空間坐標(biāo)，記反映射法下得到的坐標(biāo)為；記解析法下得到的坐標(biāo)為。計算兩種方式下算得

30、的坐標(biāo)與模擬真實(shí)情況下的圓心像坐標(biāo)的距離，即計算,.進(jìn)行多次模擬，計算與的平均值，作為精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)。運(yùn)用以上模擬方法，計算得反映射法下的均值在0.4個像素單位左右，而均值在0.08個像素單位左右，于是得出解析法的精度高于反映射法的結(jié)論。下面對產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因作初步分析。對反映射方法求圓心，其求解過程的關(guān)鍵就在于判定像反映射回的圖像為一圓，其誤差也最可能產(chǎn)生在這一點(diǎn)上。我們在確定其為一圓的過程中，主要采用圖形的幾何中心到外輪廓上點(diǎn)的平均距離與每一點(diǎn)對應(yīng)距離之比的均衡程度來衡量，由于各均衡度之間差距很小，所以若計算精度不高，則比較時就會出現(xiàn)較大誤差對解析法求圓心坐標(biāo)這種方式，其關(guān)鍵就在于在五維

31、解空間確定一個點(diǎn)成為對兩百多個方程適應(yīng)度最高的解，這種方式下運(yùn)用最小二乘原理求解方程右邊常數(shù)平方和對應(yīng)的最小五維空間，其解的誤差應(yīng)多出現(xiàn)在運(yùn)算精度的設(shè)定上，所以較第一種方式精度更高。 第一種方式下程序的運(yùn)行時間在1秒以內(nèi)，第二種方式下程序的運(yùn)行時間在2秒以內(nèi)，這說明了在第一種方式下，我們找到了較為精確的初始值；而雖然第二種方式下，大部分的工作已由解析過程完成，但要在一定范圍內(nèi)搜索五維變量的最優(yōu)解，必然需要多一些的時間。7.2 方程穩(wěn)定性的分析7.2.1 穩(wěn)定性的衡量標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)定由于在相機(jī)拍攝過程中焦距無法完全合適及相機(jī)本身的原因，使拍攝出的圖像的邊界處會出現(xiàn)模糊，這種模糊在二值圖上表現(xiàn)為圖像邊界

32、處的黑色像素點(diǎn)參差不齊，光滑性、連續(xù)性差。此處，我們用“噪音”來描述這種圖像邊界像素點(diǎn)的不穩(wěn)定情況。在確定像平面上圓心的像坐標(biāo)時，像邊界的噪音大小，即邊界像素點(diǎn)的不穩(wěn)定程度，對圓心像坐標(biāo)的確定存在影響。具體表現(xiàn)為當(dāng)像邊界噪聲增大時，圓心像坐標(biāo)的確定越不準(zhǔn)確。所以，有必要對本文中確定像平面上圓心像坐標(biāo)的方法作穩(wěn)定性分析。為討論本文中確定像平面上圓心像坐標(biāo)模型的穩(wěn)定性，我們對提取出的圖像邊界人為加入一定的噪音，再利用加入噪音后的邊界，在本文中確定圓心像坐標(biāo)的模型下求取出此時的圓心像坐標(biāo)，計算該圓心像坐標(biāo)位置與不加噪音時的圓心像坐標(biāo)位置間的距離，以此為依據(jù)判斷模型穩(wěn)定性的好壞。噪音的加入用人為移動像的邊界像素點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)，例如將某個提取出的邊界像素點(diǎn)在X軸方向上移動1個像素點(diǎn)，在Y軸方向上移動2個像素點(diǎn)。為保證加入的噪音的真實(shí)性，我們采用泊松分布來隨機(jī)產(chǎn)生邊界像素點(diǎn)在x軸方向和y軸方向上的移動點(diǎn)數(shù)，若某像素點(diǎn)在兩個方向上的移動點(diǎn)數(shù)都為0時，則表示該像素點(diǎn)未發(fā)生移動。我們用靈敏度來衡量穩(wěn)定性，即在受到噪音干擾的情況下，模型對干擾的靈敏度越高，其穩(wěn)定性越差，反之亦然。靈敏度定義如下：,其中，表示所有邊界像素點(diǎn)的平均移動距