1、1數字信號處理課件 第 2 章雷博2上節內容回顧 序列ZT的定義及收斂域的確定 序列逆ZT的求解 留數法3本節主要內容逆ZT求解 部分分式展開法 長除法ZT的性質ZT求解線性常系數差分方程4逆Z變換：從X(z)和收斂域還原出序列x(n). 2.1.3 逆Z變換實質：求X(z)的冪級數展開式各項的系數。5 部分分式展開法用于求序列的Z變換為下述有理分式形式時的逆Z變換。 2部分分式展開法 若假定序列為因果序列，則一定有NM。當X(z)的N個極點都是單極點時，可以展開成以下的部分分式的形式6 可按留數定理求得各系數Ak(k=0,1,N)如下，為了方便通常利用X(z)/z的形式求取7例2-1-5 已

2、知 求X(z)的原序列。 解：將X(z)變為X(z)/z的形式并化為部分分式由求系數Ak的公式求得 因為X(z)的收斂域為 ，為因果序列，從而求得 8部分分式展開法特點： 適合于單階極點的情形； 熟記常用序列的ZT.9 按定義Z變換為z-1的冪級數，只要在給定的收斂域內將X(z)展開成冪級數形式，則級數中的系數就是原序列x(n)。 3長除法(冪級數展開法) 在具體進行長除法時，要根據收斂域，先確定序列是左邊序列還是右邊序列，對于左邊序列Z變換為z的正冪級數，分子分母多項式應按升冪排列展開，對于右邊序列，Z變換為z的負冪級數，分子分母應按降冪排列進行展開。 10例 2-1-6 用長除法求 的逆Z

3、變換。 解：由收斂域知，這是一右邊序列，用長除法將其 展開成z的負冪級數，將分母多項式按降冪排 列所以11例 2-1-7 用長除法求Z變換 解 由于收斂域 為環域，知x(n)必為雙 邊序列, 將X(z)部分分式分解 上式括弧中的第一項對應于右邊序列，用長除法將其展開成z的負冪級數，將分母多項式按降冪排列，第二項對應于左邊序列，用長除法將其展開成z的正冪級數，將分母多項式按升冪排列。的逆Z變換x(n)12對右邊序列 由此求得右邊序列為 對左邊序列 由此求得左邊序列為 綜上可得 13長除法的特點： 簡單 很難得到封閉公式解14利用已知的冪級數展開式求序列的逆Z變換。如下例所示。 例2-1-8 求以

4、下Z變換的逆Z變換 x(n)解：由于收斂域為 ,知序列應為因果序列，利用 的冪級數展開式 故有 及 用 代入上式，因因此x(n)為15一些常用序列的Z變換 見課本P51頁16 2.1.4 Z變換的性質與定理1. 線性性 Z變換是一種線性變換，滿足疊加原理。如果序列x(n)和y(n)的Z變換分別用X(z)和Y(Z)表示，即則17 例 2-1-9 求序列 的z變換，并確定其收斂域。解：由z變換的線性性，有182.序列的移位如果則n0為正(右移),為負(左移)19例2-1-10 設求 的z變換和收斂域。解：由于由移位特性所以203.序列乘指數序列(z域尺度變換)證明214.序列的反褶5.序列的共軛若

5、 則若 則226.微分性質證明即23例 2-1-11 利用微分性質求下面z變換的逆z變換x(n).解：首先將X(z)對z進行微分得根據微分性質，有但所以247.初值定理 如果x(n)為因果序列，它的初值可由下式求得這是因為258.終值定理 若x(n)為因果序列，且其Z變換的極點除在z=1處可以有一個一階極點外，其它極點均在單位圓內，則有26證：對因果序列 x(n)=0, n1，這樣允許對上述等式的兩端取z1的極限27289.卷積定理若則其中29證明：30 由于Y(z)=X(z)H(z)，所以Y(z)的收斂域是X(z)和H(z)的重疊部分，一般來說要比原來的小，但如果其中一個Z變換在收斂域邊界上

6、的極點被另一個的零點所抵消，則收斂域會擴大。 卷積定理是離散時間信號與系統分析中最重要的定理之一。按照卷積定理，顯然有31例 2-1-12 設 ， ， , 用卷積定理求 解： 由于按卷積定理得由于收斂域為 ， 可知序列必定是因果序列。用圍線積分求逆Z變換得32在圍線內有兩個極點z=a和z=1，從而求得3310.序列相乘（復卷積定理）若則同時有 其中C是在v平面上 與 公共收斂域中繞原點的一條閉合曲線，v的收斂域滿足 以及 將此兩個不等式相乘即得34若序列都是因果序列，則由于 ，則有現證明 按Z變換定義得 35例 2-1-13 已知 用復卷積定理求 解 由于 按復卷積定理有 36 在v平面中，被

7、積函數有2個極點，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收斂域為故只有一個極點v2=b在圍線積分內。用留數定理求得3711.帕斯維爾定理(Parseval) 若則且其中C為在由下述不等式確定的收斂域內，繞原點的一條閉合曲線。 38 證明: 按序列的共軛性質式有 則由復卷積定理有 由于假設條件規定 ,因此 =1在收斂域內。因此可令z=1，有 帕斯維爾定理實際上能量守恒定理在Z域中的反映。39 2.5.5 時域離散系統 差分方程的Z變換解法 利用Z變換將差分方程變成了代數方程； 單邊Z變換的移位特性清楚給出了輸出與輸入及初始狀態之間的關系。40 當輸入序列x(n)為因果序

8、列時，線性時不變系統的常系數差分方程描述為1零狀態響應的解法 在系統初始狀態為零，即y(n)=0(n0)時，對上式兩邊取雙邊Z變換，由Z變換的移位特性可得41于是 由于常系數的差分方程中的系數ak和bk是已知的，按上式可求得H(z)，這樣由Z變換的卷積定理，當x(n)給定時就可由下式求得響應y(n)，這就是差分方程的零狀態響應的Z變換解法。42 當系統的初始狀態不為零時，除了考慮零狀態響應外還必須考慮零輸入響應。這時差分方程的Z變換解法需使用單邊Z變換。 由于序列移位的單邊Z變換與雙邊Z變換不同，下面先說明單邊Z變換的移位特性。 2初始狀態不為零的解法 43設 則這就是序列移位后的單邊Z變換。 4