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文檔簡介

1、 第4章 重積分4.4 三重積分的計算關于投影曲線C:如果可以表示為柱面與某曲面的交線,則C 在 xoy 面的投影為關于二次曲面1.橢球面橫截面與橢球面交線橫截面積體積2.橢圓拋物面特例:旋轉拋物面由拋物線繞 z 軸旋轉得到.3.特點:原點是駐點,但不是極值點.雙曲拋物面(馬鞍面)4.橫截線: 橢圓. z=0 時橢圓“最小”.單葉雙曲面5.雙葉雙曲面6.一條空間曲線 l 向曲線外一點引的射線形成的.圓錐面錐面4.4 三重積分的計算4.4.1 三重積分在直角坐標系下的計算三重積分的定義: 以任意方式 任取 作和式若時, 有極限, 是一有界閉區域,設是定義在上的函數, 分割 成若干小區域:其中表示

2、的體積.記則稱在上Riemann可積, 記極限值稱為f 在上的三重積分. 記直角坐標系下的兩種積分辦法： (1)“豎著分條”: “箍住”(以投影的邊界為準線), 用“小柱面”將區域分為“豎條”, 以柱面將區域小條在xy面投影為 三重積分區域示意圖：(2)“橫著分片”: 將區域用平行于xy面的平面 分成“片”, 記橫截面在xy面的的投影為 每片再分成小片。 三重積分區域示意圖：例6 計算下列三重積分. (1) 圍成. 解:積分區域？ (2) 解：積分區域如圖： 是4.4.2 三重積分在柱、球坐標系下的計算柱坐標系下與直角坐標相似， 只是“二重積分” 采用極坐標系！ 例7 計算下列三重積分. (1

3、) 解：積分區域簡圖？ (2) 解:積分區域簡圖: 球坐標系中 表示點,與直角坐標的關系: 球坐標系下體積元： =常數表示球面;=常數表示半平面;=常數表示(半)圓錐面.(2) 是區域積分區域？積分區域如圖：例8 在球坐標系下化(1) 為累次積分. 是球域(3) 區域積分區域如圖：區域分割122例8 用球坐標系計算下列三重積分.(1) 解：積分區域？ 半徑為1/2的球體.中心在(0,0,1/2)，(2) 解：累次積分的積分區域？ 球坐標系下， 數學名家介紹 (七) 哈密頓(Hamilton, Sir William Rowam, 1805.8.4-1865.9.2) 愛爾蘭數學家、物理學家和力學家。生于都柏林，卒于同地。1823年入都柏林三一學院學習。1827年任三一學院天文學教授，并獲愛爾蘭皇家天文學家稱號。1835年受封爵位。1837年當選為愛爾蘭皇家科學院院長。他還是法國科學院、美國科學院院士、彼得堡科學院通訊院士和英國皇家學會會員。數學上他的主要貢獻是1843年發現了“四元數”，并建立了其運算法則。他還在微分方程和泛函分析方面取得了成就。他的論

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