高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省曲靖市會澤縣2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.已知復數，則（）A.5 B.25 C.4 D.3【答案】A【解析】因為，所以.故選：A3.已知數列，則“”是“為等比數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若為等比數列，則一定成立；若，則不一定為等比數列，比如所以“”是“為等比數列”的必要不充分條件.故選：B.4.在一次身高檢查中,某班10名同學的身高分別為,，則這組數據的第80百分位數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將這10個數據從小到大排列，因為，所以第80百分位數為第8個數與第9個數的平均數，即.故選：C5.函數在區間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以為偶函數，排除，因為，排除D，因為當時，，所以排除，故選：A6.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C7.已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則兩式相減得，整理得，因為的中點為，則，所以，即直線的斜率為.故選：D.8.小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當的方式全部放入表格中（沒有放入火柴棒的空位表示數字“0”），那么最多可以表示無重復數字的三位數的個數為（）A.42 B.38 C.54 D.48【答案】A【解析】因為10根火柴可以擺出的數字為2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以組成個無重復數字的三位數.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列選項中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則與夾角的余弦值為【答案】BCD【解析】對于A，若，則，解得，故不正確；對于B，，若，則存在實數，使得,即，解得，故B正確；對于C，若，則，，故C正確；對于D，由C知，，故D正確.故選：BCD.10.已知點在左?右焦點分別為的雙曲線上，，則（）A.漸近線方程為 B.離心率為C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以的漸近線方程為，離心率，故A錯誤，B正確.不妨設點在的右支上，則.因為，所以.在中，，則，所以的面積，故C，D正確.故選：BCD11.在棱長為2的正方體中,點滿足，其中，，則（）A.當時，B.當時，三棱錐的體積為C.當時，平面D.當時，到平面的距離為【答案】ACD【解析】當時，，根據正方體結構特征，易知平面平面，所以，故A正確.當時，.易知到平面的距離為定值2.因為，所以，故B錯誤.當時，，根據正方體結構特征，易證面面面，所以面，故C正確.當時，，即為的中點，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以平面的法向量為，，所以到平面的距離，故D正確.故選：ACD12.定義在上的偶函數滿足,當時,,則（）A.B.的一個周期為4C.的圖象關于點對稱D.【答案】AB【解析】對于A，因為為偶函數，且當時，，所以，故A正確；對于B，因為偶函數，且，所以，所以，所以的周期為4，故B正確；對于C，因為，所以的圖象關于直線對稱.因為的周期為4，所以的圖象關于直線對稱，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D錯誤.故選：AB三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】函數，求導得，則，而，所以所求切線方程為，即.14.函數的最小正周期為，則曲線的一條對稱軸方程為__________.【答案】（，只需寫一個答案即可【解析】由函數的最小正周期為，所以，得，所以.令，得.故答案為：（，只需寫一個答案即可15.過直線上一點向圓作切線，切點為，則的最小值為__________.【答案】4【解析】由題知，圓心，半徑，圓心到直線的距離.因為為直角三角形，且，所以，當且僅當與直線垂直時，等號成立，所以的最小值為4.故答案為：4.16.《九章算術》是中國古代數學專著，承先秦數學發展的源流，進入漢朝后又經許多學者的刪補后才最后成書.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，點在線段上，的最小值為__________；當的值最小時，三棱錐外接球的表面積為_________【答案】；【解析】如圖，將與展開至同一平面內，連接交于，此時的值最小，在中，，所以，，即的最小值為.因為平面，平面，所以，在中，因為，，所以，又，得到，又，所以外接圓的半徑，設三棱錐外接球的半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知在等差數列中，.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.解：（1）設的公差為.由，可得.因為，所以.因為，所以，故.（2）因為，所以，所以.18.在中，內角的對邊分別為.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1）因為，且，所以.因為，所以或（舍去），所以，所以的面積為.（2）因為，，所以，所以，所以.19.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,若為的中點，的面積為.（1）求到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接交于點，連接，.因為為菱形，所以，為的中點，因為，且為的中點，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為邊長為菱形且，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，在中，為中位線，所以，在中，，所以.因為，平面，所以平面，所以到平面的距離為.（2）如圖，以為坐標原點，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，因為，所以令，得.設平面的法向量為，因為，所以令，得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.廣場舞?健步走已成為廣大群眾喜聞樂見的健身活動，但圍繞其噪音?占道發生的“擾民”問題常讓人感到頭疼，也成為社會關注的熱點.不少地區為此出臺了相關政策，對違規行為進行處罰，某地為引導群眾文明開展健身活動，促進全民養成文明健康?綠色環保的生活方式，規范廣場舞?集體健步走等活動的開展，發布了《靜音廣場舞，規范健步走倡議書》.小明的媽媽為響應號召，在家里積極鍛煉，等步長沿直線前后連續移步.已知她從點出發，每次向前移動1步的概率為，向后移動1步的概率為.（1）求移動4步后回到點的概率；（2）若移動5步后到達點，記兩點之間的步數為隨機變量，求的分布列和數學期望.解：（1）設向前移動1步為事件，所以，移動4步，回到點相當于4步中兩步向前，兩步向后，所以.（2）由題知，的可能取值為，所以的分布列為135所以隨機變量的期望.21.已知橢圓的離心率為，且橢圓過點.（1）求橢圓的方程.（2）設是橢圓上異于的兩個動點,直線的斜率分別為.若0,試判斷直線的斜率是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）因為橢圓的離心率為，且過點，所以解得所以橢圓的方程為.（2）如下圖所示：設直線的斜率為，則直線的斜率為，設，直線的方程為，即，聯立方程組消去，得.因為為直線與橢圓的交點，所以，即，把換為得，所以.因為，所以直線的斜率為，即直線的斜率為定值1.22.已知函數.（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍.（2）已知方程有兩個不相等的實數根，且.①求的取值范圍；②若，證明：.解：（1）因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立.因為，所以，即.令，則，令，得所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.由，得，即的取值范圍是.（2）①由題意知關于的方程，有兩個不相等的實數根，即關于方程有兩個不相等的實數根，即關于的方程有兩個不相等的實數根，等價于直線與曲線有兩個不同的交點.由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，又則當時，，當時，，所以.②因為所以，所以令，因為，所以，所以.令，則.令，則，所以在上單調遞增，所以，所以當時，，所以在上單調遞減.因為，所以，所以，所以.云南省曲靖市會澤縣2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.已知復數，則（）A.5 B.25 C.4 D.3【答案】A【解析】因為，所以.故選：A3.已知數列，則“”是“為等比數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若為等比數列，則一定成立；若，則不一定為等比數列，比如所以“”是“為等比數列”的必要不充分條件.故選：B.4.在一次身高檢查中,某班10名同學的身高分別為,，則這組數據的第80百分位數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將這10個數據從小到大排列，因為，所以第80百分位數為第8個數與第9個數的平均數，即.故選：C5.函數在區間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以為偶函數，排除，因為，排除D，因為當時，，所以排除，故選：A6.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C7.已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則兩式相減得，整理得，因為的中點為，則，所以，即直線的斜率為.故選：D.8.小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當的方式全部放入表格中（沒有放入火柴棒的空位表示數字“0”），那么最多可以表示無重復數字的三位數的個數為（）A.42 B.38 C.54 D.48【答案】A【解析】因為10根火柴可以擺出的數字為2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以組成個無重復數字的三位數.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列選項中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則與夾角的余弦值為【答案】BCD【解析】對于A，若，則，解得，故不正確；對于B，，若，則存在實數，使得,即，解得，故B正確；對于C，若，則，，故C正確；對于D，由C知，，故D正確.故選：BCD.10.已知點在左?右焦點分別為的雙曲線上，，則（）A.漸近線方程為 B.離心率為C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以的漸近線方程為，離心率，故A錯誤，B正確.不妨設點在的右支上，則.因為，所以.在中，，則，所以的面積，故C，D正確.故選：BCD11.在棱長為2的正方體中,點滿足，其中，，則（）A.當時，B.當時，三棱錐的體積為C.當時，平面D.當時，到平面的距離為【答案】ACD【解析】當時，，根據正方體結構特征，易知平面平面，所以，故A正確.當時，.易知到平面的距離為定值2.因為，所以，故B錯誤.當時，，根據正方體結構特征，易證面面面，所以面，故C正確.當時，，即為的中點，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以平面的法向量為，，所以到平面的距離，故D正確.故選：ACD12.定義在上的偶函數滿足,當時,,則（）A.B.的一個周期為4C.的圖象關于點對稱D.【答案】AB【解析】對于A，因為為偶函數，且當時，，所以，故A正確；對于B，因為偶函數，且，所以，所以，所以的周期為4，故B正確；對于C，因為，所以的圖象關于直線對稱.因為的周期為4，所以的圖象關于直線對稱，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D錯誤.故選：AB三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】函數，求導得，則，而，所以所求切線方程為，即.14.函數的最小正周期為，則曲線的一條對稱軸方程為__________.【答案】（，只需寫一個答案即可【解析】由函數的最小正周期為，所以，得，所以.令，得.故答案為：（，只需寫一個答案即可15.過直線上一點向圓作切線，切點為，則的最小值為__________.【答案】4【解析】由題知，圓心，半徑，圓心到直線的距離.因為為直角三角形，且，所以，當且僅當與直線垂直時，等號成立，所以的最小值為4.故答案為：4.16.《九章算術》是中國古代數學專著，承先秦數學發展的源流，進入漢朝后又經許多學者的刪補后才最后成書.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，點在線段上，的最小值為__________；當的值最小時，三棱錐外接球的表面積為_________【答案】；【解析】如圖，將與展開至同一平面內，連接交于，此時的值最小，在中，，所以，，即的最小值為.因為平面，平面，所以，在中，因為，，所以，又，得到，又，所以外接圓的半徑，設三棱錐外接球的半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知在等差數列中，.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.解：（1）設的公差為.由，可得.因為，所以.因為，所以，故.（2）因為，所以，所以.18.在中，內角的對邊分別為.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1）因為，且，所以.因為，所以或（舍去），所以，所以的面積為.（2）因為，，所以，所以，所以.19.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,若為的中點，的面積為.（1）求到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接交于點，連接，.因為為菱形，所以，為的中點，因為，且為的中點，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為邊長為菱形且，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，在中，為中位線，所以，在中，，所以.因為，平面，所以平面，所以到平面的距離為.（2）如圖，以為坐標原點，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，因為，所以令，得.設平面的法向量為，因為，所以令，得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.廣場舞?健步走已成為廣大群眾喜聞樂見的健身活動，但圍繞其噪音?占道發生的“擾民”問題常讓人感到頭疼，也成為社會關注的熱點.不少地區為此出臺了相關政策，對違規行為進行處罰，某地為引導群眾文明開展健身活動，促進全民養成文明健康?綠色環保的生活方式，規