1、導數的計算常用方法 利用導數的定義.討論函數在點的可導性常常利用導數的定義. 利用左、右導數與導數的關系函數在處可導的充分必要條件是左、右導數與存在而且相等,即=.討論分段函數（包括絕對值函數、取極值函數）在分界點的可導性均要使用此方法.例如，設有一定義于的函數.其中與分別在區間與可導，為其分界點.、 當時，由于，所以；、當時，由于，所以；、在的左、右鄰域，由于分別要從兩個不同的表達式與去計算，所以，求必須用左、右導數的定義先求與.如果它們都存在而且相等， 即，則在處可導.在這里，求左、右導數應特別注意，按照定義，.值得注意到是，不要因為當時，而認為必有.在，是對的，但不能誤認為就是，可以不存

2、在，例如函數它在處處連續，當時，；當時，.但在分界點處，卻不存在.這是因為 ，. 利用導數的四則運算法則 如果函數及在點處具有導數, 則它們的和、差、積、商( 除分母為零的點外)都在點具有導數 并且、 ； 、 ； 、. 利用復合函數的求導法則設, 而且及都可導, 則復合函數的導數為 或 . 利用反函數求導法則 設在區間內單調、可導且, 則它的反函數在內也可導, 并且 或 .即反函數的導數等于直接函數導數的倒數. 利用參數方程求導法則如果與都可導，且具有單調連續反函數，則參數方程確定的函數亦可導，且 或 ； 和 . 利用隱函數求導法使用隱函數求導時，一定要注意方程是確定為的隱函數，還是為的隱函數

3、，然后對方程兩邊對自變量求導，注意因變量為自變量的函數. 利用對數求導法這種方法主要適用于求冪指函數的導數和由多個因子之積或商組成的函數的導數（5）熟記一些簡單的高階導數導數公式 ； ； ，； ； ； ，； 階導數的萊布尼茲公式.2微分（1）微分的概念 設函數在某區間內有定義, 及在這區間內, 如果函數的增量 可表示為 . 其中是不依賴于的常數，則稱函數在點是可微的, 而叫做函數在點相應于自變量增量的微分, 記作或， 即 ，或 . （2）函數可微的條件函數在點可微的充分必要條件是函數在點可導, 且當函數在點可微時, 其微分一定是 . 值得注意的是，函數的導數與微分是兩個不同的概念,但它們是密切

4、有關的,可導函數一定可微,可微函數也一定可導.導數是在一點處函數的變化率,而微分則是函數在一點處由增量所引起的變化量(增量)的近似值,導數的值只與有關而微分的值則不僅與有關也與有關. （3）微分的近似計算 在的條件下, 以微分近似代替增量時, 其誤差為 因此 在很小時 有近似等式 . (4) 微分的幾何意義在直角坐標系中，當函數在點可導，則曲線在點的切線方程為，由于，寫成，在點的附近任取點，這時，函數值的增量就是曲線上點的縱坐標的增量, 而就是曲線的切線上點的縱坐標的相應增量，當很小時,比小得多. 因此，在幾何上，在點的鄰近, 我們可以用切線段來近似代替曲線段，或者說在局部用線性函數代替非線性

5、函數. （5）微分形式的不變性當為可導函數的自變量時,當不是自變量而為的可導函數時, 仍然成立.但是導數不具有這樣的性質,當為自變量時,而當時, .因此，講到導數,務必說明是對哪個變量的導數,而講到微分時,則無需說明是關于哪個變量的微分，這就是微分形式的不變性.輔助函數的積分構造法在微分中值定理的證明和應用中，輔助函數的構造是一個重點內容，也是一個難點問題，很多文獻探討過輔助函數的構造技巧1127, 2119，例如待定常數法、分析逆推法、乘積因子法、幾何直觀法、復數法等345，本文只介紹一種應用十分廣泛且行之有效的積分構造法.企望能對讀者的學習有所幫助. 在Roll定理的應用中，常常會遇到諸如

6、求證至少存在一點，使得 （1）成立的問題.將式中換成，得到.這是一階線性微分方程，若是連續函數，則（1）的通解為.即 .令,得若要證明（1），需引人的輔助函數為 （2）下面討論（2）式幾種常見的特例.情形（）: 結論形如的情形.令（1）式中，代入（2）式，輔助函數可設為. 情形（）: 結論形如的情形.將原式變形為，令（1）式中，代入（2）式，得到輔助函數為. 情形（）: 結論形如的情形.令（1）式中，代入（2）式，輔助函數可設為. 易知，情形（）是情形（）的一種重要的特例.情形（）: 結論形如的情形.令（1）式中，代入（2）式，輔助函數可設為.下面我們舉例說明. 例 1 設在上可導，且.證明:

7、至少存在一點，使得. 分析 令式（1）中的.因此，可設輔助函數為 證明 設.容易知道在滿足Roll定理的條件，因此，至少存在一點，使得，即 .消去，得到.例2 設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且，當時，證明：對于任意正整數，存在，使得.分析 要證明的結論可以表示為.輔助函數必然是由函數和來構成，而求導后要出現，應該是或求導后才會出現，與情形（）相比較，容易得到輔助函數可設為證明 令顯然在閉區間上連續，在開區間內可導，且，由Roll定理，至少存在，使得.即 ，也即 . 說明 若，則便知在題設條件下可證明方程在內至少有一個根. 例3 設函數在區間上可微，且滿足（），證明：存在，使得. 分析

8、要證明的結論可以表示為，注意到題設中出現的函數，與情形（）相比較，可設輔助函數為.證明 令，由積分中值定理，存在，使得，從而.顯然在上連續，在內可導，由Roll定理，至少存在，使得，即 . 例4 設，函數在閉區間上連續，在開區間內可導，證明至少存在一點，使得.分析 要證明的結論可以表示為，由情形（），可設輔助函數.證明 設，顯然閉區間上連續，在開區間內可導，且，由Roll定理，至少存在一點，使得，即 .說明 要證明的結論等式左邊是兩個函數和在區間兩個端點處函數值之差的比值，可以考慮用Cauchy中值定理來證明.由等式右邊的特點并結合情形（），可設.則在閉區間上連續，在開區間內可導，且，對于函數和，應用Cauchy中值定理，至少存在一點，使得，即 . 例5 設函數在區間上二階可導，且，證明至少存在一點，使得 分析 要證明的結論可以表示為。將看成且看成，與情形（）比較，容易得到輔助函數可設為，顯然滿足Roll定理的條件，至少存在一點，使得，即 例6 設，函數在閉區間上連續，在開區間內可導，證明至少存在一點，使得.分析 要證明的結論可以表示為，式（1）中，代入（2）式，得到輔助函數可設為.顯然