1、第二章 塞瓦定理及應(yīng)用習(xí)題A1對及點(diǎn)，由塞瓦定理可得，又對與截線，由梅涅勞斯定理得，故，由此可知又，所以2在中由題設(shè)及塞瓦定理有又有，故由塞瓦定理之逆知，三線共點(diǎn)3由割線定理有，即同理，三式相乘并適當(dāng)交換位置，有由塞瓦定理知，再由塞瓦定理之逆知，三線共點(diǎn)4設(shè)的邊，周長為，過頂點(diǎn)，且平分周長的直線分別交，于點(diǎn)，則由，求得，同理，故有由塞瓦定理之逆，知，共點(diǎn)5令，由角平分線性質(zhì)有，由正弦定理，有，于是由塞瓦定理之逆，值，三線共點(diǎn)6令，由平分線性質(zhì)有，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理有，子啊中，由余弦定理及公式，求得由，知，故同理，于是，由塞瓦定理之逆，知，三線共點(diǎn)7由正弦定理，有，兩式相除并注意，有，

2、則，即同理，三式相乘，得由于，共點(diǎn)于，則上式右邊等于1，從而左邊亦等于1由塞瓦定理之逆，知，共點(diǎn)8設(shè)，分別與，垂直于，且，共點(diǎn)于，分別與，垂直于，又銳角與的兩邊分別垂直，故，同理，從而類似地有，三式相乘并適當(dāng)整理，有由重，共點(diǎn)及角元形式的塞瓦定理，知上式右邊等于1，從而左邊也等于1，也等于1由塞瓦定理之逆，知，三線共點(diǎn)9設(shè)，則，由，求得10設(shè)，則，由，求得11設(shè)，則，由，及，求得12連，設(shè)，則對及點(diǎn)，有，求得此時(shí)過作交于，則梯形為等腰梯形，有又，則，故13設(shè)，則，由，求的14設(shè)，則，由，求得15設(shè)，則，由及，求得15設(shè)，由及，求得分別在，中由正弦定理，有，故17連，設(shè)，則，對及點(diǎn)有，求得連，設(shè)

3、，則對及點(diǎn)有，求得此時(shí)，故，共線18設(shè)，則對及點(diǎn)有求得，即有連，設(shè)，則對及點(diǎn)有，求得，即有又，故19連，由及為內(nèi)心，知又由，知設(shè)，則，對及點(diǎn)有，求得故為所求20設(shè)過，分別與，平行的直線交成，則，分別為，的中點(diǎn)又設(shè)過，與，平行的直線，分別與，交于，則有；而由，知，有從而，即，三點(diǎn)共線故有（因，）=同理，于是由塞瓦定理知，共點(diǎn)共點(diǎn)21因，有，即，又，則于是即由塞瓦定理，即得結(jié)論22令，則，由，得同理，在中，有由塞瓦定理之逆，知，共點(diǎn)，故，共點(diǎn)23設(shè)，在中，交于一點(diǎn)，由角元形式的塞瓦定理，有，即令，同理，有，注意到，交于一點(diǎn)，由角元形式的塞瓦定理，有，由此即證24令，共線而，則，又由條件易知，由此即

4、證注：此題也可以應(yīng)用梅涅勞斯定理證分別延長和，和，和得交點(diǎn)，（交點(diǎn)可無窮遠(yuǎn)處）由，有同理，直線截，由梅涅勞斯定理，有同理，三式相乘并注意，得由梅涅勞斯定理之逆，知，共線又點(diǎn)，分別是和對應(yīng)所在直線的交點(diǎn)，利用笛沙格逆定理可得和對應(yīng)頂點(diǎn)的連線，共點(diǎn)25設(shè)與相交于，對應(yīng)用塞瓦定理，有又由梅涅勞斯定理，點(diǎn)，共線的充要條件是從而轉(zhuǎn)證即可因，這表明，即時(shí)的平分線，且，是的外角平分線，由此即證得結(jié)論26設(shè)，交邊，于，由，三式相乘即證習(xí)題B1設(shè)直線，交，于，過作的切線交，于，由，知，則，即連，設(shè)的半徑為則，；，分別四點(diǎn)共圓由，則，而，則，即同理，則由塞瓦定理之逆，有，三線共點(diǎn)即，三線共點(diǎn)2設(shè)交圓于，連，由，有

5、，而，則，即同理，于是對圓內(nèi)接四邊形和分別應(yīng)用托勒密定理，有，所以，由此得，即由塞瓦定理的推論，知，三線共點(diǎn)同理，三線共點(diǎn)因與交點(diǎn)唯一，故，四線共點(diǎn)3設(shè)的內(nèi)心為，則是的垂心令，（）由，有，即，有同理，故同理，三式相加即證（）令，則，對應(yīng)用塞瓦定理，有，即，從而，（*）又由平均值不等式，有即，亦即，等號當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)成立注：其中（*）是三角形與其內(nèi)接三角形的關(guān)系公式4延長交于，由塞瓦定理有由，知又，過作交直線于，作交直線于，有，于是得有，有，得5連交直線于令，由，有同理，又對及點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理，有，得，即由此可得，即證6連，設(shè)，則，對及點(diǎn)應(yīng)用角元形式的塞瓦定理，有，求得，故為所求7由，及，注

6、意應(yīng)用塞瓦定理，從而8設(shè)直線與交于過作的垂線交于設(shè)圓的圓心為，由，有由有，即注意，有由塞瓦定理之逆，知，共點(diǎn)，直線重合于，點(diǎn)與重合又，共圓，且直徑為，又，知也在此圓上故9設(shè)直線交于，直線交于，交于，由塞瓦定理的逆定理，只要證明設(shè)中心為的正方形邊長為，頂點(diǎn)，分別在邊和上，頂點(diǎn)，在上，且在，之間因過正方形的中心，若截邊兩段為，則它截邊兩段為，則同理，故有10作高，連，則，交于一點(diǎn)，即的垂心對應(yīng)用塞瓦定理，有由，有由，有，即由，有對，考察點(diǎn)，有，由梅涅勞斯定理之逆即證11設(shè)關(guān)于邊，的對稱點(diǎn)分別為，則，均在外接圓上下證，滿足要求設(shè)直線，與，的交點(diǎn)為，由于，有（為半徑）同理，由，有又，則，有同理，對及點(diǎn)

7、應(yīng)用塞瓦定理，有，即再由塞瓦定理之逆，知，共點(diǎn)，滿足要求12連交于，連交于，連，由，知，四點(diǎn)共圓，有又，則，即且，有同理，在中，由塞瓦定理之逆，知，三線共點(diǎn)13顯然，有，且，由正弦定理，有同理，又由于，故應(yīng)用角元形式的塞瓦定理，知，三線共點(diǎn)14設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)由，有又由，有，則，注意，有于是由塞瓦定理之逆即證15設(shè)非等邊各定點(diǎn)處的外接圓切線，組成，直線與交于，與交于，與交于，連，因，分別在三邊所在直線，上，從而由塞瓦定理的逆定理，知，共點(diǎn)再運(yùn)用戴沙格定理，知，三點(diǎn)共線16必要性：設(shè)，又設(shè)，分別為，與各邊的交點(diǎn)因，共點(diǎn)，則由塞瓦定理，得即注意，故，即充分性：若，因上述證明各步均可逆，由塞瓦定理之逆，知，三線共點(diǎn)17設(shè)，由塞瓦定理及正弦定理，有，共點(diǎn)，三直線共點(diǎn)，且與點(diǎn)位置無關(guān)18設(shè)是的重心，分別為，的中點(diǎn)，則區(qū)域被劃分為六個(gè)區(qū)域：，不妨設(shè)點(diǎn)落在區(qū)域此時(shí)，易知由塞瓦定理，有，分別過，在，內(nèi)作，的平行線，則兩平行線的交點(diǎn)必落在區(qū)域從而，有，結(jié)論成立19設(shè)交于對和點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理，有對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，故有過作的平行線交于，交與，則于是，即又