1、2021學年第一學期質量監控高三數學試卷(滿分：150分，完卷時間：120分鐘) （答題請寫在答題紙上）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果1已知集合，則 2函數的定義域是 3若復數滿足(為虛數單位)，則 4的展開式中的系數為 (結果用數值表示)5已知，則行列式的值為 6某小區共有住戶2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余為青少年等人群，為了調查該小區的新冠疫苗接種情況，現采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為400的樣本，則樣本中中年人的人數為 7設為直線上的一點，且位于第一象限，若點到雙曲線的兩條

2、漸近線的距離之積為，則點的坐標為 8已知，且，則的最小值為 9有身高全不相同的6位同學一起拍畢業照，若6人隨機排成兩排，每排3人，則后排每人都比前排任意一位同學高的概率是 (結果用最簡分數表示) 10已知、是拋物線上不同的點，點，若，則 11若數列滿足（，），則稱數列為“階相消數列”已知“2階相消數列”的通項公式為，記，則當=_時，取得最小值12已知點、和，記線段的中點為，取線段和線段中的一條，記其端點為、，使之滿足；記線段的中點為，取線段和線段中的一條，記其端點為、，使之滿足；依次下去，得到點、，則 二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的

3、相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑13已知，則“”是“”的 ( )(A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件14下列函數中，以為周期且在區間上單調遞增的是 ( )(A) (B) (C) (D) 15如圖，在棱長為1的正方體中，、分別是棱、的中點，以為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為 ( )(A) (B) (C) (D) 16已知向量與的夾角為，且，向量滿足()，且.記向量在向量與方向上的投影分別為、.現有兩個結論： 若，則； 的最大值為，則正確的判斷是 ( )(A) 成立，成立 (B)

4、 成立，不成立 (C) 不成立，成立 (D) 不成立，不成立三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟 17（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，已知圓錐的底面半徑，經過旋轉軸的截面是等邊三角形，點為半圓弧的中點，點為母線的中點. （1）求此圓錐的表面積；（2）求異面直線與所成角的大小18（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知函數.（1）設是的反函數，若，求的值；（2）是否存在常數，使得函數為奇函數若存在，求的值，并證明此時在上單調遞增；若不存在，請說明理由.19（本題滿分14分，第1小題滿分6分

5、，第2小題滿分8分）落戶上海的某休閑度假園區預計于2022年開工建設.如圖，擬在該度假園區入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區，迎賓區的入口設置在點處，出口在點處.游客可從入口沿著觀景通道到達出口，其中米，米,也可以沿便捷通道到達出口（為內一點）.（1）若是以為直角頂點的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結果精確到1分鐘） （2）園區計劃將區域修建成室外游樂場，若，該如何設計使室外游樂場的面積最大，請說明理由. 20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知為橢圓內一定點，為直線上

6、一動點，直線與橢圓交于、兩點(點位于、兩點之間)，為坐標原點.（1）當直線的傾斜角為時，求直線的斜率；（2）當的面積為時，求點的橫坐標；（3）設，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知有窮數列的各項均不相等，將的項從大到小重新排序后相應的項數構成新數列，稱為的“序數列”. 例如：數列滿足，則其“序數列”為1，3，2. 若兩個不同數列的“序數列”相同，則稱這兩個數列互為“保序數列”. （1）若數列，的“序數列”為2，3，1，求實數的取值范圍；（2）若項數均為2021的數列、互為“保序數列”，其通項公式分別為，（為常數），