1、24.1.2 垂直于弦的直徑南門學校九年（）（）班- 新世紀教育網版權所有第1頁，共21頁。（）圓是軸對稱圖形嗎？（）如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？（）你是用什么方法解決上述問題的?探究：答：圓是軸對稱圖形.答；圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線,它有無數條對稱軸.答：利用對折的方法即可解決上述問題.O（）圓是中心對稱圖形嗎？（）如果是,它的對稱中心是什么?（）你又是用什么方法解決這個問題的?答：圓也是中心對稱圖形.答：它的對稱中心就是圓心.答；用旋轉的方法即可解決這個問題.- 新世紀教育網版權所有第2頁，共21頁。AM=BM,AB是O的一條弦.（）你能發現圖中有哪些相等的線

2、段和弧？作直徑CD,使CDAB,垂足為M.O（）左圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?發現圖中有:ABCDM由 CD是直徑 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.探究（）說出圖中的弦和弧（優弧劣弧）- 新世紀教育網版權所有第3頁，共21頁。如圖理由是:連接OA,OB,OABCDM則OA=OB.OA=OB，OM，AM=BM.點A和點B關于CD對稱.O關于直徑CD對稱,當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD.探究AM=BM,由 CD是直徑 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.- 新

3、世紀教育網版權所有第4頁，共21頁。下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是火眼金睛不是OEDCAB- 新世紀教育網版權所有第5頁，共21頁。例如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC = BDABCDOE證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AE = BE, CE = DEAE CE = BE DE 即 AC = BD輔助線：垂直于弦的直徑。 實際上從圓心作與弦垂直的線段。 變 換- 新世紀教育網版權所有第6頁，共21頁。ABCDO1、如圖1，在O中, AB是 弦, OC = OD。求證：AC = BD (1)ABCDO2、如圖2，在O中, CD是弦, OA

4、 = OB。求證：AC = BD (2)- 新世紀教育網版權所有第7頁，共21頁。直線CD過圓心O CDAB垂徑定理：AM=BMAD=BDAC=BCABCDOM 如果交換垂徑定理的題設和結論的部分語句，會有一些什么樣的結論呢？直線CD過圓心O AM=BMCDABAD=BDAC=BC?(AB不是直徑)- 新世紀教育網版權所有第8頁，共21頁。直線CD過圓心O AM=BM(AB不是直徑)CDABAD=BDAC=BC條件結論垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。 ABCDOM幾何語言:- 新世紀教育網版權所有第9頁，共21頁。垂徑定理及逆定理OABCDM條件結論命

5、題垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.- 新世紀教育網版權所有第10頁，共21頁。例2.1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.4 m,拱高(弧的中點

6、到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).垂徑定理的應用- 新世紀教育網版權所有第11頁，共21頁。解：如圖，用 表示橋拱， 所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與 相交于點C.根據垂徑定理，D是AB的中點，C是 的中點，CD就是拱高.由題設在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.AB=37.4 CD=7.2AD= AB= 37.4=18.7OD=OCDC=R-7.2OA2=AD2 + OD2即：R2 = 18.72 + ( R 7.2 )2CDOAB- 新世紀教育網版權所有第12

7、頁，共21頁。船能過拱橋嗎2 . 如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？相信自己能獨立完成解答. 做一做P補5- 新世紀教育網版權所有第13頁，共21頁。船能過拱橋嗎解:如圖,用 表示橋拱, 所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與 相交于點C.根據垂徑定理,D是AB的中點,C是 的中點,CD就是拱高.由題設得 做一做P補6在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得此貨船能順利通過這座拱橋.- 新世紀

8、教育網版權所有第14頁，共21頁。課堂小結1.圓的對稱性2.垂徑定理及推論BADCOE3.技巧：重要輔助線是過圓心作弦的垂線。4.思路：（由）垂徑定理構造Rt（結合）勾股定理建立方程- 新世紀教育網版權所有第15頁，共21頁。如圖，O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM的長的最小值為_.最大值為_. 35- 新世紀教育網版權所有第16頁，共21頁。 例已知O的直徑是 cm，O的兩條平行弦AB= cm ，CD=cm，求弦AB與CD之間的距離。 .AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、在點O兩側AB、在點O同側過點作直線，交于。- 新世紀教育網版權所有第1

9、7頁，共21頁。某機械加工廠要把一個如圖所示的破輪子重新加式成新的一個輪子,加工前先要在圖紙上計算出這個破輪子所在圓的直徑.已知圖中弦AB=40cm,高CD=10cm,請你幫助工人師傅求出該破輪的直徑.ABCD練習:- 新世紀教育網版權所有第18頁，共21頁。AB如圖,已知AB(1)你能求出AB的中點嗎?(2)你能把AB四等分嗎?- 新世紀教育網版權所有第19頁，共21頁。耐心填一填:如圖1,在圓O中,若MNAB,MN為直徑, 則_, _, _. MOABNC2. 如圖2,已知圓O的半徑OA長為5,直徑MN垂直于AB,AB長為8, 則OC的長為( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如圖2:MN為圓O的直徑,AB為弦,MN垂直于AB于 點C,則下列結論錯誤的是( )A. AOC= BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN