1、- - -、基礎知識:第 9 煉 零點存在的判定與證明1、函數的零點：一般的，對于函數y f x ,我們把方程f x 0的實數根xU作函數y f x 的零點。2、零點存在性定理：如果函數yf x 在區間 a,b 上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有 f a f b 0 ，那么函數yf x 在區間 a,b 內必有零點，即x0a,b ，使得 f x00注：零點存在性定理使用的前提是f x 在區間 a,b 連續，如果f x 是分段的，那么零點不一定存在3、函數單調性對零點個數的影響：如果一個連續函數是單調函數，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數零點的個數前，可嘗試判斷函數是否單調4、幾個“不一

2、定”與“一定”（假設 f x 在區間 a,b 連續） （ 1 ）若 f a f b 0 ，則 f x “一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點。要分析 f x 的性質與圖像，如果f x 單調，則“一定”只有一個零點若 f a f b 0， 則 f x “不一定”存在零點，也 “不一定”沒有零點。如果 f x單調，那么“一定”沒有零點（ 3）如果f x 在區間 a,b 中存在零點，則f a f b 的符號是“不確定”的，受函數性質與圖像影響。如果f x 單調，則f a f b 一定小于05、零點與單調性配合可確定函數的符號：f x是一個在 a,b單增連續函數，x*0是f x 的零點，且x0a,

3、b ，則 xa,x0 時， f x 0； x x0,b 時， f x 06、判斷函數單調性的方法：（ 1 ）可直接判斷的幾個結論：若 f x , g x 為增（減）函數，則f x g x 也為增（減）函數若 f x 為增函數，則f x 為減函數；同樣，若f x 為減函數，則f x 為增函數若f x ,g x為增函數，且fx,gx 0,則fx gx為增函數(2)復合函數單調性：判斷 yf g x 的單調性可分別判斷 t g x與y ft的單f t均為增函數或均為減函調性(注意要利用 x的范圍求出t的范圍)，若t g x , y數，則y f g x 單調遞增；若t g x , y f t 一增一減

4、，則y f g x 單調 TOC o 1-5 h z 遞減(此規律可簡記為“同增異減”)(3)利用導數進行判斷一一求出單調區間從而也可作出圖像7、證明零點存在的步驟：(1)將所證等式中的所有項移至等號一側，以便于構造函數(2)判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設為函數f x(3)分析函數f x的性質，并考慮在已知范圍內尋找端點函數值異號的區間(4)利用零點存在性定理證明零點存在例1：函數f x ex 2x 3的零點所在的一個區間是()1113A. -,0 B.0,- C.-,1 D. 12222思路：函數f x為增函數，所以只需代入每個選項區間的端點，判斷函數值是否異號即可1 T解：

5、f e 2 22f f 1 e 2 3 e 1 0.e 2 - 3,e 2 0221 .x0 ,1 ,使得 f x002答案：C例2:函數f xln x 1x的零點所在的大致區間是(A. 1,3 B.2-,2 C.2,e D.e,2思路：先能判斷出f x為增函數，然后利用零點存在性判定定理，只需驗證選項中區間端點函數值的符號即可。x1 時，ln x 1從而f x313f ln 0,所以 x022231,3 ,使得 f x002答案：A小煉有話說：（1）本題在處理X1時，是利用對數的性質得到其ln x 1的一個趨勢,從而確定符號。那么處理零點問題遇到無法計算的點時也要善于估計函數值的取向。（2）

6、本題在估計出X1 時,ln x后，也可舉一個具體的函數值為負數的例子來說明，比如f 1.11.11n1100。正是在已分析清楚函數趨勢的前提下，才能保證快速找到合適的例子。3 : ( 2010 ,浙x0是函數f2x1的一個零點，若1 xx1x0,A.Xi0,fx2B.x10,f x20C.Xi0, f乂2D.0, f x20思路:條件給出了且可以分析出1,為連續的增函數，所以結合函數性質可得f x10, f x2fx0答案：B例4:已知函數f xlOga xb 4時，函數f x的零點 x0n,n 1 ,n思路:由a的范圍和x解析式可判斷出 f x為增函數，所以x0是唯一的零點。考慮loga 3

7、 3loga 34 loga 3loga 2 2loga 23 loga 20,所以x02,3 ,從而n答案:定義方程的實數根Xo叫做函數fx的“新駐點x,h x ln x 1 ,x3 1的“新駐點”分別為,，貝1HA.B.C.D.思路：可先求出g x,h xx ,由“新駐點”的定義可得對應方程為：1x 1,ln x 1,x3 1 3x2,從而構造函數x 13x2 1,再利用零點存在性定理判13g1 x x 1,h x In x 1, 1 x xx 1斷，的范圍即可解：g所以g1 x12x 1,h x , x 3xx 113,分力1J為萬程x 1,ln x 1,xx 113x 1,. x In

8、 x 1, 1 x xx 1八1Qh 01 0,h 1 ln2 021 3x2的根，即為函數:3x2 1的零點h1 0 h1 1021 x 3x 6x 3x x 21 x在0,2單調減，在 ,0 , 2,0,1單調增,而 1 010, x,2 時，1 x 0,而 1 415 0121 402,4答案：C例6:若函數f(x)的零點與g xln x 2x 8的零點之差的絕對值不超過0.5 ,則 f (x)可以是()A f (x) 3x 6B. f(x) (x 4)2x1 .5C. f (x) e 1D. f (x) ln( x -)2思路：可判斷出 g x單增且連續，所以至多一個零點，但g x的零

9、點無法直接求出，而各選項的零點便于求解，所以考慮先解出各選項的零點，再判斷 g x的零點所在區間即可解：設各選項的零點分別為xA,xB,xC,xD,則有xA 2,xB 4,xC 1,xD 72對于 g x lnx 2x 8,可得：g 3 ln3 2 0,g 4 ln4 0Xo 3,4g xoX0c 7，人，“人-，3,-，所以C選項符合條件答案：C例7:設函數feX 2x24,g x ln x 2x5,若實數a,b分別是fX ,g X 的零點，則（A. g a 0B.C. 0 g aD.思路：可先根據零點存在定理判斷出a,b的取值范圍:0,f2 4 0,從而a0,10，gln21,2，所以有考

10、慮0且發現f X ,g X為增函數。進而0,f0,答案：A例8:已知定義在 1,上的函數fln x 2,求證：f x存在唯一的零點，且零點屬于3,4思路：本題要證兩個要素:一個是存在零點,一個是零點唯一。證明零點存在可用零點存在性定理，而要說明唯一，則需要函數的單調性解:Qx 1,1,+單調遞增ln30, f2 ln2 0 xo3,4，使得 f Xo因為單調，所以若Xo3,4 ,XoXo ,且 fXo 0 f Xo則由單調性的性質：X0Xo與題設矛盾所以f X的零點唯一小煉有話說：如果函數fX在a,b單調遞增，則在a,b 中，X1X2 f X1f X2 ,即函數值與自變量一一對應。在解答題中常

11、用這個結論證明零點的唯一性例9： （2011年，天津）已知 a 0,函數f x.2ln x ax （ f x的圖像連續不斷）（1）求f x的單調區間.1（2）當a 時，證明：存在x082,+ ，使得 f xo 一一,1斛：（1） f x 2ax x2ax2 1x解得：xf x 在 0,單調遞減，在單調遞增（2）思路：由（1）可得f x在0,2單調遞減，在 2,單調遞增，從而從圖像上看.3 必然會在 2,存在x0使得f x0f ，但由于是證明題，解題過程要有理有據。所2以可以考慮將所證等式變為 f x0f - 0,構造函數g x f x f國，從而只22需利用零點存在性定理證明 g x有零點即可

12、。3斛：設 gx f x f g x f x由（1）可得：當a1 ,一時，f x在0,2單調遞減，在2, 8單調遞增g 2 f 2 f 3021 233g x ln x - x f , f - 822In 932g 100ln100 1250 ln- 29,因為 ln100 1250 0 32g 1000g 2 g 1000 根據零點存在性定理可得:，3即存在x02,+,使得f x0f -2小煉有話說：(1)在證明存在某個點的函數值與常數相等時，往往可以將常數挪至函數的一側并構造函數，從而將問題轉化成為證明函數存在零點的問題。(2 )本題在尋找g X 小于零的點時，先觀察g X 表達式的特點1 93g x In x -x f -,思味著只要8212.一 一x取得足夠大，早晚 x2比ln x要大的多，所以8只需要取較大的自變量便可以找到0的點。選擇x 100也可，選擇x 10,271等等也可以。例10:已知函數f xalnxf x有兩個零點x1，x2 0 x1 x2 ,求證:x11x2a思路：若要證零點位于某個區間，則考慮利用零點存在性定理，即證f 1 f a 0,即只需判斷f,fa的符號,可先由x存在兩個零點判斷出a的取值范圍為a e ,從而f - ,faa視為關于a的函數,再利用函數性質證明均大于零即可。解:ex aln xIn x 1x e