1、 第一章 二、自變量趨于有限值時函數的極限第三節一、自變量趨于無窮大時函數的極限下頁 結束 函數的極限 三、函數極限的性質四、小結一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自

2、變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 一、自變量趨向無窮大時函數的極限 上頁 下頁 返回 結束 上頁 下頁 返回 結束 如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.定義： 上頁 下頁 返回 結束 設函數大于某一正數時有定義,若則稱常數時的極限,記作A 為函數幾何解釋: 上頁 下頁 返回 結束 例7. 證明證:取因此注:就有故欲使即 上頁 下頁 返回 結束 補例證 上頁 下頁 返回 結束 注:直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況 :當時, 有當時, 有幾何意義 :例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如， 上頁 下頁 返回 結束 二、自變量趨向有限值時函數

3、的極限 上頁 下頁 返回 結束 1、定義： 上頁 下頁 返回 結束 設函數在點的某去心鄰域內有定義 ,當時, 有則稱常數 A 為函數當時的極限,或若記作當時, 有2、幾何解釋:注意： 上頁 下頁 返回 結束 使得當定理2(P36函數極限的局部有界性)這表明: 如果那么存在常數時，有 上頁 下頁 返回 結束 例1證例2證 上頁 下頁 返回 結束 例3. 證明證:欲使取則當時 , 必有因此只要 上頁 下頁 返回 結束 例4證函數在點x=1處沒有定義. 上頁 下頁 返回 結束 例5證 上頁 下頁 返回 結束 3.單側極限:例如, 上頁 下頁 返回 結束 左極限右極限 上頁 下頁 返回 結束 例6.

4、設函數討論 時的極限是否存在 . 解: 利用定理 .因為顯然所以不存在 . 上頁 下頁 返回 結束 左右極限存在但不相等,補例證 上頁 下頁 返回 結束 三、函數極限的性質2.有界性（前面已講）1.唯一性 上頁 下頁 返回 結束 使得當定理2(P36函數極限的局部有界性)如果那么存在常數時，有函數極限的保號性定理定理3 . 若且 A 0 ,證: 已知即當時, 有當 A 0 時, 取正數則在對應的鄰域上( 0)則存在( A 0 )(P37定理3) 上頁 下頁 返回 結束 若取則在對應的鄰域上 若則存在使當時, 有定理3(P37 定理3)分析: 上頁 下頁 返回 結束 推論 . 若在的某去心鄰域內

5、, 且 則證: 用反證法.則由定理 3,的某去心鄰域 ,使在該鄰域內與已知所以假設不真, (同樣可證的情形)思考: 若推論 中的條件改為是否必有不能! 存在如 假設 A 0 , 條件矛盾,故 上頁 下頁 返回 結束 4.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系)定義定理4 上頁 下頁 返回 結束 證 上頁 下頁 返回 結束 例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等. 上頁 下頁 返回 結束 補例證 上頁 下頁 返回 結束 二者不相等,四、小結函數極限的統一定義(見下表) 上頁 下頁 返回 結束 過 程時 刻從此時刻以后 過 程時 刻從此時刻以后 上頁 下頁 返回 結束 內容小結1. 函數極限的或定義及應用2. 函數極限的性質:思考與練習1. 若極限存在,2. 設函數且