1、課時規范練25平面向量的概念及線性運算基礎鞏固組1.給出下列命題:零向量的長度為零,方向是任意的;若a,b都是單位向量,則a=b;向量AB與BA相等.則所有正確命題的序號是()A.B.C.D.2.(2021福建福州模擬)如圖,則a-b=()A.2e1-3e2B.-2e1+3e2C.3e1-2e2D.-3e1+2e23.(2021四川瀘州診斷測試)在四邊形ABCD中,AC=AB+AD,則()A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形D.四邊形ABCD是平行四邊形4.(2021廣東珠海模擬)已知正六邊形ABCDEF中,AB+CD+EF=()A.AFB.BEC.CDD

2、.05.(2021貴州貴陽清華中學高三月考)如圖,在ABC中,BD=12DC,AE=3ED,若AB=a,AC=b,則BE等于()A.13a+13bB.-12a+14bC.12a+14bD.-13a+13b6.(2021山東濰坊三模)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=13AC,若ED=AD+AB,則+=()A.-13B.1C.23D.137.(2021陜西西安中學高三月考)在四邊形ABCD中,ABCD,設AC=AB+AD(,R).若+=43,則|CD|AB|=()A.23B.12C.13D.148.給出以下5個條件:a=b;|a|=|b|;a與b的方向相反;|a|=0或|b|=0;a與b都是單

3、位向量.其中能使ab成立的是(填序號).9.(2021浙江湖州模擬)已知|AB|=10,|AC|=7,則|CB|的取值范圍為.10.(2021北京通州一模)設向量e1,e2是兩個不共線的向量,已知AB=2e1-e2,AC=e1+3e2,BD=2e1-ke2,且B,C,D三點共線,則BC=(用e1,e2表示);實數k=.綜合提升組11.(2021福建福州一模)在ABC中,E為AB邊的中點,D為AC邊上的點,BD,CE交于點F.若AF=37AB+17AC,則ACAD的值為()A.2B.3C.4D.512.莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一個非常優美的幾何圖形,且與黃金分

4、割有著密切的聯系.在如圖所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形,且PTAP=5-12,則()A.CT=3-52CA+3-52CEB.CT=5-12CA+5-12CEC.CT=5-12CA+3-54CED.CT=3-54CA+5-12CE13.(2021湖北武漢模擬)已知O是ABC所在平面內的一定點,動點P滿足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,(0,+),則動點P的軌跡一定通過ABC的()A.內心B.外心C.重心D.垂心14.點M在ABC內部,滿足2MA+3MB+4MC=0,則SMACSMAB=.15.(2021江蘇鹽城中學高三月考)已知菱形ABCD的邊長為2,BA

5、D=120,點E,F分別在邊BC,CD上,且滿足BE=EC,CD=2CF,則|AE+AF|=.創新應用組16.(2021山東淄博一模)已知等邊三角形ABC的邊長為6,點P滿足PA+2PBPC=0,則|PA|=()A.32B.23C.33D.4317.(2021四川涼山三模)如圖,P為ABC內任意一點,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知總有優美等式SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0成立.現有以下命題:若P是ABC的重心,則有PA+PB+PC=0;若aPA+bPB+cPC=0成立,則P是ABC的內心;若AP=25AB+15AC,則SABPSABC=25;若P是ABC的外心,A=4,

6、PA=mPB+nPC,則m+n-2,1).則正確的命題有.答案：課時規范練1.A解析:根據零向量的定義可知正確;根據單位向量的定義可知,單位向量的模相等,但方向不一定相同,故兩個單位向量不一定相等,故錯誤;向量AB與BA互為相反向量,故錯誤.2.A解析:由圖知:a=3e1+e2,b=e1+4e2,則a-b=2e1-3e2.3.D解析:根據向量加法的平行四邊形法則可得,以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,如圖,可得AC=AB+AD,所以四邊形ABCD為平行四邊形.4.D解析:如圖,連接AD,BE,設AD與BE交于O點,則BO=CD,OA=EF,AB+CD+EF=AB+BO+OA=AO+OA=

7、0.5.B解析:因為AE=3ED,所以BEBA=3(BDBE),所以4BE=BA+3BD.又因為BD=12DC,所以BD=13BC,所以4BE=BA+BC,可得4BE=BA+(ACAB),所以4BE=-2AB+AC,即BE=-12AB+14AC,即BE=-12a+14b.6.D解析:ED=ADAE=AD13AC=AD13(AB+AD)=23AD13AB,又ED=AD+AB,AD,AB不共線,根據平面向量基本定理可得=23,=-13,+=13.7.C解析:ABCD,設|CD|AB|=k,則DC=kAB,k0,AC=AD+DC=kAB+AD=AB+AD,=k,=1.+=43,1+k=43,即k=1

8、3,即|CD|AB|=13.8.解析:相等向量一定是共線向量,能使ab;|a|=|b|,不能確定方向,所以不能使ab成立;方向相同或相反的向量一定是共線向量,能使ab;零向量與任一向量平行,能使ab成立;單位向量的模相等,但方向不確定,所以不能使ab成立.9.3,17解析:因為CB=ABAC,所以|CB|=|ABAC|,又|AB|-|AC|ABAC|AB|+|AC|,即3|ABAC|17,即3|CB|17.10.-e1+4e28解析:由向量減法法則得BC=ACAB=-e1+4e2,由于B,C,D三點共線,所以BD=BC,即2e1-ke2=(-e1+4e2),所以-=2,-k=4,解得=-2,k

9、=8.11.C解析:設AC=AD,因為AF=37AB+17AC,所以AF=37AB+17AD,因為B,F,D三點在同一條直線上,所以37+17=1,所以=4,所以ACAD=4.12.A解析:設AP=a,因為PTAP=5-12,所以PT=5-12a,CP=5+12a,CA=5+32a,所以CP=5+15+3CA,PT=5-12TE=5-12CE5-12CT.因為CT=CP+PT,所以5+12CT=5+15+3CA+5-12CE,所以CT=25+15+15+3CA+5-15+1CE=25+3CA+5-15+1CE=3-52CA+3-52CE.13.A解析:如圖,設AB|AB|=AF,AC|AC|=

10、AE,則AF,AE均為單位向量,以AE,AF為鄰邊作平行四邊形AEDF,連接AD,并延長至與BC相交.則AD=AF+AE,易知四邊形AEDF為菱形,所以AD平分BAC,由OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,(0,+),得AP=AD,又AP與AD有公共點A,故A,D,P三點共線,所以點P在BAC的角平分線上,故動點P的軌跡經過ABC的內心.14.34解析:由題意,分別延長MA至D,MB至E,MC至F,連接ED,DF,EF.使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如圖,由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+MF=0,所以點M是DEF的重心,所以SMDE=SMEF=SMFD,設SMDE

11、=1,則SMAB=1213=16,SMAC=1214=18,所以SMACSMAB=1816=34.15.3解析:因為BE=EC,所以AE=AB+BE=AB+12AD.又因為CD=2CF,所以AF=AD+DF=12AB+AD,所以|AE+AF|=32|AB+AD|=32|AC|.又因為BAD=120,所以ADC=60,所以ADC為等邊三角形,所以AC=AD=2,所以|AE+AF|=32|AC|=322=3.16.C解析:依題意PA+2PBPC=0,PAPC=-2PB,CA=-2PB,CA=2BP,如圖,在ABC中,設D是AC中點,連接BD,由于三角形ABC是等邊三角形,所以BDAD,ABD=CB

12、D=30,由于CA=2BP,所以DA=BP,所以四邊形BDAP是矩形,在圖中作出四邊形BDAP,所以ABP=90-30=60,RtAPB中,AP=ABsin 60=632=33,即|PA|=33.17.解析:對于,如圖所示,因為D,E,F分別為CA,AB,BC的中點,所以CP=2PE,SAEC=12SABC,SAPC=23SAEC=13SABC,同理可得SAPB=13SABC,SBPC=13SABC,所以SPBC=SPAC=SPAB.又因為SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0,所以PA+PB+PC=0.正確;對于,記點P到AB,BC,CA的距離分別為h1,h2,h3,SPBC=12ah

13、2,SPAC=12bh3,SPAB=12ch1,因為SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0,則12ah2PA+12bh3PB+12ch1PC=0,即ah2PA+bh3PB+ch1PC=0,又因為aPA+bPB+cPC=0,所以h1=h2=h3,所以點P是ABC的內心.正確;對于,因為AP=25AB+15AC,所以PA=-25AB15AC,PB=PA+AB=35AB15AC,PC=PA+AC=-25AB+45AC,所以SPBC-25AB15AC+SPAC35AB15AC+SPAB-25AB+45AC=0,化簡得-25SPBC+35SPAC-25SPABAB+-15SPBC-15SPAC+45SPABAC=0,又因為AB,AC不共線,所以-25SPBC+35SPAC-25SPAB=0,-15SPBC-15SPAC+45SPAB