1、PAGE 單元質量評估（120分鐘 150分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知向量a=(1,12,2),b=(2,-1,k),且a與b互相垂直,則k的值是()A.-1B.34C.1D.-342.若a,b,c是空間任意三個向量,R,下列關系中,不成立的是()A.a+b=b+aB.(a+b)=a+bC.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=a3如圖,空間四邊形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,則AB+12BC+12BD等于()A.ADB.FAC.AFD.EF4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-

2、1,4),則ABC的形狀是()A.不等邊銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形5.已知平面的一個法向量為n1=(-1,-2,-1),平面的一個法向量n2=(2,4,2),則不重合的平面與平面()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不確定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,則,分別為()A.52,-1,-12B.52,1,12C.-52,1,-12D.52,1,-127.(2013吉安高二檢測)已知直線l1的方向向量a=(2,4,x),直線l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且ab,則x+y的

3、值是()A.1或-3B.-1或3C.-3D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),則ABC的面積是()A.70B.35C.1702D.3529.下列命題正確的是()A.若OP=12OA+13OB,則P,A,B三點共線B.若a,b,c是空間的一個基底,則a+b,b+c,a+c構成空間的另一個基底C.(ab)c=|a|b|c|D.ABC為直角三角形的充要條件是ABAC=010.如圖所示,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,EFBC且AE=2EB,G為BC的中點,K為ADF的外心.沿EF將矩形折成一個120的二面角A-EF-B,則此時KG的長是()A.1B.3C

4、.32D.311.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G=(01),則點G到平面D1EF的距離為()A.3B.22C.23D.5512.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A.63B.255C.155D.105二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,則與的值分別是、.14.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(

5、-2,1,58)是平面內的三點,設平面的法向量為n=(x,y,z),則xyz=.15.平面,兩兩相互垂直,且它們相交于一點O,P點到三個面的距離分別是1cm,2 cm,3cm,則PO的長為cm.16.如圖,平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S.(2)若向量a

6、分別與向量AB,AC垂直,且|a|=3,求向量a的坐標.18.(12分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,側棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點,試問在線段A1B上是否存在一點E(不與端點重合)使得點A1到平面AED的距離為263?19.(12分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點.(1)求證:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.20.(12分)如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,E,F分別是DD,DB的中點,G在棱CD上

7、,CG=14CD,H為CG的中點.(1)求證:EFBC.(2)求EF,CG所成角的余弦值.(3)求FH的長.21.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,ABBC,AB=BC=12PA.點O,D分別是AC,PC的中點,OP底面ABC.(1)求證:OD平面PAB.(2)求直線OD與平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑戰題)已知四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面為直角梯形,CDA=BAD=90,AB=2,CD=1,AD=2,M,N分別是PD,PB的中點.(1)求證:MQ平面PCB.(2)求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小.(3)求點A到平面MCN的

8、距離.答案解析1.【解析】選D.ab=2-12+2k=0,k=-34.2.【解析】選D.由向量的運算律知,A,B,C均正確,對于D,當a=0,b0時,不成立.3.【解析】選C.AB+12BC+12BD=AB+BE+EF=AF.4.【解析】選A.AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由ABAC0,得A為銳角;由CACB0,得C為銳角;由BABC0,得B為銳角,且|AB|AC|BC|,所以ABC為不等邊銳角三角形.5.【解析】選A.n2=-2n1,n2n1,故.6.【解析】選A.由d=a+b+c=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)

9、e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3.+=1,+-=2,-+=3,解得=52,=-1,=-12.7.【解析】選A.根據|a|=6,可得x=4,當x=4時,y=-3,當x=-4時,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】選C.易知AB=(1,4,-3),AC=(-2,1,-2),|AB|=26,|AC|=3,cos=8263=42639,sin=1-(42639)2=85117,SABC=12|AB|AC|sin=1702.9.【解析】選B.P,A,B三點共面不一定共線,故A錯誤;由數量積公式知C錯誤;ABC為直角三角形時可能ABAC=0,也可能ABBC=0,或ACBC=0,

10、故D錯誤.10.【解析】選D.由題意知K為AF的中點,取EF的中點H,連接KH,GH易證明KHG即為二面角A-EF-B的平面角,在KHG中,由KH=HG=1,KHG=120,可解得KG=3.11.【解題指南】可以根據幾何的有關性質轉化為點A1到直線D1E的距離,利用三角形的面積可求;或建立空間直角坐標系,利用平面的法向量來求.【解析】選D.方法一:A1B1EF,G在A1B1上,G到平面D1EF的距離即為A1到平面D1EF的距離,也就是A1到D1E的距離.D1E=52,由三角形面積可得h=11252=55.方法二:以的方向作為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則E(0,0,12),F(

11、1,0,12),D1(0,1,1),G(,0,1),EF=(1,0,0),ED1=(0,1,12),GD1=(-,1,0),設平面EFD1的一個法向量是n=(x,y,z),則 QUOTE nEF=x=0,nED1=y+12z=0, 解得x=0,z=-2y,取y=1,則n=(0,1,-2).點G到平面EFD1的距離是:h= QUOTE |GD1n|n| =10+1+4=55.12.【解析】選D.如圖建立空間直角坐標系,則B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),DD1=(0,0,1),DB=(2,2,0),BC1=(-2,0,1).設平面BB1D1D的一個法向量n=(x,y,z)

12、,由 QUOTE nDB,nDD1 可得2x+2y=0,z=0,可取n=(1,-1,0).cos= QUOTE nBC1|n|BC1| =-225=-105,BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為105.13.【解析】ab,存在實數k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,2-1,2),+1=6k,0=k(2-1),2=2k,解得k=15,=12.答案:15 1214.【解析】AB=(1,-3,-74),AC=(-2,-1,-74), QUOTE nAB=0,nAC=0, x=23y,z=-43y.xyz=23yy(-43y)=23(-4).答案:23(-4)15.【解析】如圖所示,建立

13、空間直角坐標系,不妨設O(0,0,0),P(1,2,3),|OP|=12+22+32=14(cm).答案:1416.【解析】BD=AD-AB,EF=-AE+AD+DF=-12AP+AD+12AB,BDEF= (AD-AB)(-12AP+AD+12AB)=4-2=2.|EF|2=(-12AP+AD+12AB)2=6,|EF|=6,|BD|=22,cos= BDEF|BD|EF|=2226=36,即異面直線EF與BD所成角的余弦值為36.答案:36【一題多解】如圖所示,建立空間直角坐標系Axyz,E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),EF=(1,2,-1),BD=

14、(-2,2,0),cos=2622=36,異面直線EF與BD所成角的余弦值為36.17.【解析】(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),cosBAC=ABAC|AB|AC|=12,BAC=60,S=|AB|AC|sin 60=73.(2)設a=(x,y,z),則aAB-2x-y+3z=0,aACx-3y+2z=0,|a|=3x2+y2+z2=3,解得x=y=z=1或x=y=z=-1,a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直線為x軸,y軸和z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0

15、,1),B(0,2,0),設BE=BA1,(0,1),則E(2,2(1-),2).又AD=(-2,0,1),AE=(2(-1),2(1-),2),設n=(x,y,z)為平面AED的法向量,則 QUOTE nAD=0,nAE=0, 即-2x+z=0,2(-1)x+2(1-)y+2z=0,取x=1,則y=1-31-,z=2,即n=(1,1-31-,2).由于d= QUOTE |AA1n|n| =263,263=45+(1-31-)2,又(0,1),解得=12,當點E為A1B的中點時,A1到平面AED的距離為263.【拓展提升】探索性問題的解法在立體幾何中,經常會遇到點、線、面處在什么位置時結論成立

16、,或某一結論成立時需要具備什么條件,或某一結論在某一條件下,某個元素在某個位置時是否成立等類似的問題.這些問題都屬探索性問題,解決這些問題僅憑幾何手段有時會十分困難,我們借助向量將“形”轉化為“數”,把點、線、面的位置數量化,通過對代數式的運算就可得出相應的結論.這樣可以使許多幾何問題進行類化,公式化,使問題的解決變得有“法”可依,有路可尋.19.【解析】以A為原點,AB,AD,AA1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.設AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(a2,1,0),B1(a,0,1),(1)AD1=(0,1,1),B1E=(-a2

17、,1,-1),AD1B1E=-a20+11+(-1)1=0,B1EAD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此時DP=(0,-1,z0),又設平面B1AE的法向量為n=(x,y,z).n平面B1AE,AB1=(a,0,1),AE=(a2,1,0),nAB1,nAE,得ax+z=0,ax2+y=0,取x=1,得平面B1AE的一個法向量n=(1,-a2,-a),要使DP平面B1AE,只需nDP,有a2-az0=0,解得:z0=12.AP=12,在棱AA1上存在點P,使得DP平面B1AE,且P為AA1的中點.20.【解題指南】要證明EFBC,只需要證明EFBC=

18、0;要求EF,CG所成角的余弦值,只要求出EF,CG所成角的余弦值;要求FH的長,只要求出|FH|22即可.【解析】(1)設AB=a,AD=b,AA=c,則cb=ba=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.EF=ED+DF=-12c+12(a-b)=12(a-b-c),BC=BC-BB=b-c,EFBC=12(a-b-c)(b-c)=12(c2-b2)=12(1-1)=0.EFBC.(2)EF=12(a-b-c),CG=CC+CG=-c-14a,EFCG=12(a-b-c)(-c-14a)=12(-14a2+c2)=38,|EF|2=14(a-b-c)2=14(

19、a2+b2+c2)=34,|CG|2=(-c-14a)2=c2+116a2=1716,|EF|=32,|CG|=174,cos=EFCG|EF|CG|=5117,EF,CG所成角的余弦值為5117.(3)FH=FB+BC+CC+CH=12(a-b)+b+c+12CG=12(a-b)+b+c+12(-c-14a)=38a+12b+12c,|FH|2=(38a+12b+12c)2=964a2+14b2+14c2=4164,FH的長為418.21.【解析】方法一:(1)O,D分別為AC,PC的中點,ODPA.又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)設PA=2a,ABBC,OA=OC,

20、OA=OB=OC=22a.又OP平面ABC,PA=PB=PC=2a.取BC中點E,連接PE,則BC平面POE.作OFPE于F,連接DF,則OF平面PBC.ODF是OD與平面PBC所成的角.PA=2a,OA=22a,OP=142a.又OE=a2,OF=21030a.在RtODF中,sinODF=OFOD=21030,OD與平面PBC所成角的正弦值為21030.方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O為原點,建立空間直角坐標系Oxyz(如圖),設AB=a,則A(22a,0,0),B(0,22a,0),C(-22a,0,0).設OP=h,則P(0,0,h).

21、(1)D為PC的中點,OD=(-24a,0,12h).又PA=(22a,0,-h),OD=-12PA.ODPA,又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)PA=2a,h=142a,OD=(-24a,0,144a).可求得平面PBC的一個法向量n=(-1,1,77),cos= QUOTE ODn|OD|n| =21030.設OD與平面PBC所成的角為,則sin=|cos|=21030.OD與平面PBC所成角的正弦值為21030.22.【解析】方法一:以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=2,PA=4PQ=

22、4,M,N分別是PD,PB的中點,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(22,0,2),N(0,1,2).(1)BC=(2,-1,0),PB=(0,2,-4),MQ=(-22,0,1).設平面PBC的法向量為n0=(x,y,z),則有:n0BC(x,y,z)(2,-1,0)=02x-y=0,n0PB(x,y,z)(0,2,-4)=02y-4z=0,令z=1,則x=2,y=2n0=(2,2,1).MQn0=(-22,0,1)(2,2,1)=0,又MQ平面PCB,MQ平面PCB.(2)設平面的MCN的法向量為n=(x,y,z),又CM=(-22,-1,2)