1、2021-2022學年河北省石家莊市高一下學期期末數學試題一、單選題1已知為實數，若復數為純虛數，則復數的虛部為（）A2BCD4D由實部為0且虛部不為0列式求得值，則答案可求【詳解】為純虛數，即復數的虛部為4故選：本題考查復數的基本概念，是基礎題2某校高一年級15個班參加朗誦比賽的得分如下：918990929487939691858993889893則這組數據的40%分位數、70%分位數分別為（）A90，94B91，93C90.5，93D90.5，94.2C【分析】將數據從小到大依次排列，而且1540%=6，1570%=10.5，故這組數據的40%分位數是第6、7個數的平均數，70%分位數是第

2、11個數【詳解】將數據從小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而1540%=6，1570%=10.5，故這組數據的40%分位數是，這組數據的70%分位數是93，故選：D3平面向量與的夾角為，則（）ABCDB【分析】計算出，利用平面向量的數量積可計算得出的值.【詳解】由已知可得，由平面向量數量積的定義可得，因此，.故選：B.4定義：24小時內降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）A小雨B中雨C大雨D暴雨B【分

3、析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.5已知在邊長為6的等邊三角形中，則（）A24B6C18DA【分析】由已知條件將用表示出來，然后再計算即可【詳解】因為，所以,所以因為邊三角形的邊長為6，所以，所以，故選：A6從四雙不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成對”與事件“至少有只成對”（）A是對立事件B不是互斥事件C是互斥但不對立事件D都是不可能事件A從雙不同的鞋中任意摸出只,可能的結果為:“恰有只成對”,“只全部成對”,“只都不成對”,即可求得答案.【詳解】從雙不同的鞋中

4、任意摸出只,可能的結果為:“恰有只成對”,“只全部成對”,“只都不成對”,故:事件“4只全部成對”的對立事件為“恰有只成對”+“只都不成對”“至少有兩只不成對”.事件“只全部不成對”與事件“至少有只成對”是:對立事件.故選:A.本題主要考查了判斷2個事件是否是對立事件,解題關鍵是掌握對立事件概念和結合實際問題具體分析,考查了分析能力,屬于基礎題.7圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影

5、長度最短的那一天定為夏至圖2是一個根據北京的地理位置設計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即）為，夏至正午太陽高度角（即）為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）ABCDD先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【詳解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因為在中，所以,故選：D本題主要考查了解三角形應用舉例，考查了正弦定理，屬于中檔題.8我國古代九章算術中將上下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童如圖的芻童有外接球，且，平面與平面間的距離為1，則該童外接球的表面積為（）ABCDC【分析】設上底面中心為，下底面中心為，芻童外接球的球心為，則，共線，由已知

6、求出兩個長方形的對角線長，再由勾股定理列式求得芻童的外接球的半徑，則表面積可求【詳解】解：如圖，設上底面中心為，下底面中心為，芻童外接球的球心為，則，共線，連接，由已知可得，設該芻童的外接球的半徑為，則，聯(lián)立解得該芻童的外接球的表面積為故選：C.二、多選題9某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險各種保險按相關約定進行參保與理賠該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調查，得出如下統(tǒng)計圖例，則以下四個選項正確的是（）A1829周歲人群參保總費用最少B30周歲以上的參保人群約占參保人群的20%C54周歲以上的參保人數最少D丁險種更

7、受參保人青睞CD【分析】根據選項逐一對相應的統(tǒng)計圖進行分析判斷即可.【詳解】對A：由不同年齡段人均參保費用圖可知，1829周歲人群人均參保費用最少，但是這類人所占比例為20%，所以總費用不一定最少，故A錯誤；對B：由扇形圖可知，30周歲以上的參保人數約占總參保人數的80%，故B錯誤；對C：由扇形圖可知，54周歲以上的參保人數最少，故選項C正確；對D：由柱狀圖可知，丁險種參保比例最高，故選項D正確.故選：CD.10下列命題中，正確的是（）A在中，是的充要條件B在銳角中，不等式恒成立C在中，若，則是等腰直角三角形D在中，若，則是等邊三角形ABD【分析】對于A，應用正弦定理及三角形中大邊對大角以及充

8、要條件的定義即可判斷正誤；對于B由銳角三角形易得，根據銳角正弦函數的大小關系及誘導公式即可判斷正誤；對于C由正弦定理邊角關系，結合三角形內角的性質判斷內角A、B的數量關系；對于D利用余弦定理，結合已知得，進而判斷的形狀.【詳解】解：對于A：若，而，即，故，同理，若，即，而，故，所以是的充要條件，故A正確；對于B：由銳角知：，即，則，故B正確；對于C：由題設得，可得，又，則或，即或，故為等腰或直角三角形，故C錯誤；對于D：由題設，即，又，所以，故，即，又，所以，故必是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.11棱長為2的正方體中，是線段上的動點，下列正確的是（）A的最大值為90BC三棱錐的體積為定值

9、D的最小值為4BC【分析】對A，令，在中，根據余弦定理求得，再在中根據余弦定理求解的表達式，判斷出當時，即可；對B，根據線面垂直的性質與判定，證明平面即可；對C，根據體積公式結合長方體的性質證明即可；對D，把與矩形展開在同一平面內，再分析最小值即可【詳解】對A，在正方體中，連接，如圖，而，則，令，在中，由余弦定理得，根據線面垂直的性質有，則，中，當時，即是鈍角，A不正確；對B，因平面，平面，則，正方形中，平面，于是得平面，又平面，因此，B正確；對C，由題意，到平面的距離為定值，故為定值，C正確；對D，把與矩形展開在同一平面內，連接交于點，如圖，在中，由余弦定理得：，因點M在線段上，當且僅當點M

10、與重合時取“=”，所以的最小值為，D錯誤；故選：BC12著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理已知的外心為，垂心為，重心為，且，下列說法正確的是（）ABCDACD【分析】設是中點，由為垂心，得，判斷A；利用，計算數量積判斷B，再結合可判斷C，由重心性質得，然后由向量的線性運算判斷D【詳解】對于A選項，由垂心的性質可知，則，A對；對于B選項，設為的中點，則，所以，所以，B錯；對于C選項，由外心的性質可知，則，C對；對于D選項，由得，所以，因為，所以，即，D對.故選：AC

11、D.三、填空題13已知向量，向量，若，則的值為_5【分析】由條件求得，再根據數量積的坐標表示求.【詳解】，兩邊平方后得，即，解得.故514如圖，在中，是上一點，若，則實數的值為_.【分析】根據條件化簡得，再根據B,P，N三點共線，得,求出t 值【詳解】因為，所以 則根據B,P，N三點共線，,則t=故答案為 在平面中，若P,A,B,C四點不共線，且 ,若A,B,C三點共線，則本題考查學生對向量中點共線問題的考察15甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，設擊中的概率分別為0.4，0.5，0.8，若只有1人擊中，則飛機被擊落的概率為0.4，若2人擊中，則飛機被擊落的概率為0.7，若3人擊中則飛機一定被擊落，

12、求飛機被擊落的概率為_【分析】設甲、乙、丙三人擊中飛機為事件 依題意，相互獨立，故所求事件概率為 ，代入相關數據，即可得到答案.【詳解】設甲、乙、丙三人擊中飛機為事件 依題意，相互獨立，故所求事件概率為 故答案為.四、雙空題16某同學在解題中發(fā)現，以下三個式子的值都等于同一個常數（是虛數單位）；從三個式子中選擇一個，求出這個常數為_；根據三個式子的結構特征及計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為一個復數恒等式_ 【分析】根據復數的運算法則求得這個常數，再結合三個式子的結構特征及計算結果得出推廣式，即可求解.【詳解】由復數的運算法則，可得；根據三個式子的結構特征及上式的計算結果，可以得到：，證明如下：由

13、.故； .五、解答題17在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量，且(1)求角A(2)若c2，且ABC的面積為，求AC邊上的中線BM的大小(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐標表示可得，再由正弦定理化角即可得解；（2）根據面積公式可得，在中再由余弦定理求解即可.【詳解】(1)因為，所以由正弦定理得因為，所以，所以因為，所以；(2)因為ABC的面積為所以因為c2所以在三角形ABM中，M為AC的中點，由余弦定理得所以18全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設小康社會中市民整體素質和城市文明程度較高的城市全國文明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽稱號為普及相關

14、知識，爭創(chuàng)全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現隨機抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：甲單位8788919193乙單位8688919293(1)根據上表中的數據，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；(2)用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率(1),，甲單位的職工比乙單位的職工對環(huán)保知識掌握得更好(2)【分析】（1）根據表格數據求出根據均值、方差的實際意義作出判斷；（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率【詳解】(1)，

15、顯然，可知，甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工比乙單位的職工對環(huán)保知識掌握得更好.(2)從乙單位5名職工中隨機抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數對表示）為，共10個.記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件，則事件包含的基本事件為，共5個.由古典概型計算公式可知.19如圖，在直三棱柱中，為的中點(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設與的交點為，連接，由三角形中位線定理可證得，從而可得平面；（2）由可得為與所成的角（或其補角），在中，解三角形可求得，即為所求【詳解】(1)證明：設與的交點為，連接，四邊形為正方形， 是

16、的中點，又是的中點，又平面，平面，平面(2)解：，為與所成的角（或其補角）在中，異面直線與所成角的余弦值為20“學習強國”學臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳為主要內容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進行調查，統(tǒng)計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據調查結果繪制的頻率分布直方圖(1)根據上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數；(2)宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩

17、組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？(1)平均時長為，中位數為(2)在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【分析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數，中位數的公式即可求解；（2）先根據分層抽樣求出每一組抽取的人數，再列舉抽取總事件個數，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【詳解】(1)解：（1）設被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數為，被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數滿足，解得，即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8，中位數為(2)解：組的人數為人，設抽取的人數為，組的人數

18、為人，設抽取的人數為，則，解得，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標記為，將中的標記為，則抽取的情況如下：，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率21為迎接冬奧會，石家莊準備進行城市綠化升級，在矩形街心廣場中，如圖，其中，現將在其內部挖掘一個三角形空地進行盆景造型設計，其中點在邊上，點在邊上，要求(1)若，判斷是否符合要求，并說明理由；(2)設，寫出面積的關于的表達式，并求的最小值(1)不符合要求，理由見解析.(2)（平方米）【分析】（1）由百米，得到百米，百米，求得，在中，由余弦定理求得的值，即可求解.（2）因為，得到，進而得出的面積，結合三角函數的性質，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，某城市有一矩形街心廣場，其中百米，百米，現將在其內部挖掘一個三角形水池進行盆景造型設計，其中點