1、傅里葉變換的工程應(yīng)用鄧顯欣09機電二班摘 要：指出了傅里葉變換存在的問題，針對其存在的精確性低和不適用于非平穩(wěn)信號兩大問題展開了討論，分析了幾種提高譜質(zhì)量的校正方法，對近幾年得到迅速發(fā)展并形成研究熱潮的小波變換技術(shù)的概念和其在故障診斷中的應(yīng)用作了介紹。傅里葉(Fourier)變換在信號分析、處理中起了十分重要的作用，為機械設(shè)備的故障診 斷提供了一種十分有用的分析基礎(chǔ)。這一有力的工具將時域中采集的時間序列數(shù)據(jù)變換到頻 域中的譜，使許多在時域中無法看清的問題，通過時域轉(zhuǎn)換變得一清二楚。近年來各種改進 了的譜分析技術(shù)和各種現(xiàn)代譜的出現(xiàn)使Fourier分析更上一層樓。雖然Fourier變換具有突 出的

2、優(yōu)點，但仍存在一些不足和局限性。本文針對Fourier變換存在的兩大問題，展開對 Fourier變換精度的提高和適用于非平穩(wěn)過程的小波分析工程應(yīng)用上的討論。1 Fourier變換及其局限性1 Fourier 變換信號分析技術(shù)的基礎(chǔ)是Fourier變換,Fourier變換可以將時域信號變換到頻域中的譜。 就振動分析而言，各頻段的譜分量可以告訴我們信號的各個組成部分，表征著信號的不同 來源和不同特征。對于圖1所示周期性方波信號x(t)，其Fourier級數(shù)(Fourier Series)擴展式寫作x (t) = 4/( silica + l/3sm3(U - 1/5sm5a)t-)圖中An-關(guān)系為

3、幅值譜。很明顯，頻譜中清晰地反映出對應(yīng)時域信號的頻率結(jié)構(gòu)，各 頻率成分的幅值大小。將x(t)看作周期函數(shù)在T 一8時的極限，則將Fourier級數(shù)的定義 推廣到更一般的非周期函數(shù)，F(xiàn)ourier變換對如下：X (口 =x (t) e-x(t)= f X(akndtI JFTx(t) = x(。既：-r -圖一周期性方波及期頻譜Fourier變換的物理意義明顯，對數(shù)字信號作離散Fourier變換已經(jīng)發(fā)展了快速算法 FFT。可以在很短時間內(nèi)作譜分析，從而實現(xiàn)對觀測信號的實時分析。頻譜估計已成為故障 診斷領(lǐng)域中十分重要的特征分析工具。1.2 Fourier變換存在的問題1.2.1精度問題系統(tǒng)采集到的

4、信號長度是有限的，F(xiàn)FT和譜分析只能在有限區(qū)間內(nèi)進行，就不可避免地 存在由時域截斷(加矩形窗)產(chǎn)生的能量泄露，即經(jīng)FFT得到的頻譜其幅值、相位和頻率都 可能產(chǎn)生較大的誤差。現(xiàn)在已有了多種頻譜校正的方法。1.2.2不適用于非穩(wěn)態(tài)信號的分析x(t)g(t- t)eR，Tdt由于指數(shù)函數(shù)e&t在整個時間域上是非零的，因而Fourier系數(shù)是時域信號在整個時 域上的加權(quán)平均，對時域信號某一特定時刻的性質(zhì)是無法反映的，即分析不能作局部分析。 一種改進的方法是，在分析時對時域信號x(t)加“時間窗”，其加窗Fourier變換如下:G(U窗函數(shù)g (t-T)中的T是可變參數(shù)，通過變動T控制窗函數(shù)在時間軸上移

5、動，實現(xiàn)信號 的逐段分析，從而達到對一局部時間內(nèi)信號變化激烈程度的描述。但加窗Fourier分析仍然有它的局限性，由于“窗”的大小和形狀是固定的，因此難以適應(yīng)信號頻率高低不同的要求。 實際應(yīng)用中，對低頻信號要求用寬時窗，對高頻信號則要求用窄時窗，故而希望有一個可 調(diào)的時間窗。小波分析正是為適應(yīng)這一要求發(fā)展起來的一種信號分析方法。頻譜校正方法在設(shè)備工況監(jiān)測和故障診斷中，幅值、頻率和相位都是重要的分析參數(shù)，不但有實時性 要求，也有精度要求。理論分析表明，加矩形窗時單諧波頻率的最大誤差可達36.4% ,即使 加其它窗時，也不能完全消除此影響，如加Hanning窗時，只進行幅值恢復(fù)時的最大誤差 仍高達

6、13.5% ,相應(yīng)誤差更大，高達90度。從70年代中期，有關(guān)學(xué)者開始致力于頻譜校正理論的研究以期解決離散頻譜誤差較大 的問題，國內(nèi)主要研究單位是重慶大學(xué)，目前國內(nèi)外提出的幾種頻譜分析的校正方法有：離散譜三點卷積幅值校正法。在已求出的加能量恢復(fù)系數(shù)的多段平均功率的基礎(chǔ)上, 采用系數(shù)為1的三點序列與功率譜進行卷積得到校正幅值的功率譜。對幅值譜進行校正的比值法。利用歸一化后差值為1的兩點函數(shù)比值，建立一個以 校正頻率為變量的方程，解出頻率，再進行幅值和相位的校正，校正的頻率、幅值和相位可 達到很高的精度。FFT譜連續(xù)細化分析的Fourier變換法。用FFT作全景譜，針對細化的局部再用 DFT進行運算

7、，以得到局部細化精度很高的頻譜。這種方法精度很高，但計算速度下降太多。先得到準確相位，再進行頻率和幅值校正的方法。通過對同一信號進行不同長度或 連續(xù)兩段FFT或DFT ,首先校正得到準確的相位，然后再校正頻率和幅值的方法。小波變換小波分析的基本思想是采用時窗寬度可調(diào)的基函數(shù)即小波函數(shù)替代前式中的窗 函數(shù)。小波函數(shù)為：W s, lit)相應(yīng)的小波變換和反變換分別為:dsdT變動S和T可以得到一族小波函數(shù)，變動T使信號波形沿時間軸移動，變動S使信號波形沿 時間軸伸展或壓縮，改變信號分析的頻段。因此，小波變換對低頻信號(S相對較小)在頻 域中有很好的分辨率，而對高頻信號(S相對較大)在時域中又有很好

8、的分辨率。4.基于小波變換的故障診斷在傳統(tǒng)的信號分析處理過程中，常常假設(shè)所分析的信號是線性和平穩(wěn)的，而在實際中 有許多過程為非平穩(wěn)過程，這在故障診斷中更為如此，如故障的發(fā)生、發(fā)展過程即是一非平 穩(wěn)過程，尤其象旋轉(zhuǎn)機械的摩擦、油膜振蕩等故障，其過程是發(fā)現(xiàn)故障、診斷故障時急需分 析的信號；再如，旋轉(zhuǎn)機械的升降速過程、變換速機械的工況監(jiān)視與故障分析等，也是非平 穩(wěn)過程。對于這類問題Fourier分析的應(yīng)用受到限制，而小波分析方法具有突出優(yōu)點。由于 小波分解尤其是小波包分解技術(shù)能夠?qū)⑷魏涡盘柗纸獾揭粋€由于小波伸縮而成的基因數(shù)族 上，信息量完整無缺，在通頻范圍內(nèi)得到分布在不同頻道內(nèi)的分解序列，在時域和頻域均 具有局部化的分析功能。因此，可根據(jù)故障診斷的需要選取包含所有零部件故障信息的頻道 序列，進行深層信息處理以查找機械故障源。小波分析在故障診斷等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前 景。5.結(jié)束語提高Fourier變換精度的方法仍限于平穩(wěn)過程，而小波變換適用于工程中許多Fourier 變換無法分析的非平穩(wěn)過程，被認為是對Fourier分析方法的突破性進展，其在圖象處理、 奇異性檢測、故障診斷等方面已有應(yīng)用，小波變換技術(shù)和專家系統(tǒng)、模糊理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng) 用研究一樣將