1、第4章 死亡保險的精算現(xiàn)值1第1頁，共67頁。4.1引言：人壽保險的分類受益金額是否恒定定額受益保險 變額受益保險保單簽約日和保障期期始日是否同時進(jìn)行非延期保險延期保險 保障標(biāo)的不同人壽保險（狹義）生存保險兩全保險保障期是否有限 定期壽險 終身壽險2第2頁，共67頁。純保費(fèi)厘定的基本假定三個基本假定條件:同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗生命表進(jìn)行擬合。保險公司可以預(yù)測將來的最低平穩(wěn)收益（即預(yù)定利率）。3第3頁，共67頁。凈保費(fèi)厘定原理原則保費(fèi)凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的

2、實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值 4第4頁，共67頁。基本符號 投保年齡。 人的極限年齡 保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值5第5頁，共67頁。4.2、生存保險定義被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險基本函數(shù)關(guān)系6第6頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)的厘定符號：躉繳純保費(fèi)厘定現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：7第7頁，共67頁。結(jié)論 4.2.1：例題 4.2.2：8第8頁，共67頁。4.3、定期壽險(定期死亡保險）定義保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的

3、死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險基本函數(shù)關(guān)系9第9頁，共67頁。死亡后立即給付符號：厘定：10第10頁，共67頁。現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費(fèi)）所以方差等價為 11第11頁，共67頁。設(shè)計算解：12第12頁，共67頁。例題 4.3.1：遞推公式（例 4.3.2）：13第13頁，共67頁。年末賠付場合基本函數(shù)關(guān)系記k為被保險人整值剩余壽命，則14第14頁，共67頁。躉繳凈保費(fèi)的厘定符號：厘定：計算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡化計算常用基數(shù)：15第15頁，共67頁。遞推公式（例 4.3.4）：16第16頁，共67頁。現(xiàn)

4、值隨機(jī)變量的方差公式記等價方差為例 4.3.3：例 4.3.5：17第17頁，共67頁。剩余壽命在分?jǐn)?shù)時期均勻分布假定剩余壽命=整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：則有 例 4.3.7：18第18頁，共67頁。2、終身壽險定義保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元終身壽險基本函數(shù)關(guān)系19第19頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：20第20頁，共67頁。現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 方差公式記所以方差等價為 21第21頁，共67頁。例 設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元保險金在死亡即刻賠付簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為計算22第

5、22頁，共67頁。解答：23第23頁，共67頁。例 4.4.1：例 4.4.2：利息死亡支付24第24頁，共67頁。年末賠付場合基本函數(shù)關(guān)系記k為被保險人整值剩余壽命，則躉繳凈保費(fèi)的厘定符號：厘定：25第25頁，共67頁。計算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡化計算常用基數(shù)：26第26頁，共67頁。遞推公式（結(jié)論 4.4.2）：27第27頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)遞推公式公式一：理解: (x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。 28第28頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)遞推公式公式二：解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累

6、，當(dāng)年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險人提供額外的 。 29第29頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)遞推公式公式三：解釋：年齡為x的被保險人在活到x+1歲時的凈躉繳保費(fèi)與當(dāng)初歲時的凈躉繳保費(fèi)之差等于保費(fèi)的一年利息減去提供一年的保險成本。 30第30頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)遞推公式公式四：解釋(y)的躉繳純保費(fèi)等于其未來所有年份的保險成本的現(xiàn)時值之和。 31第31頁，共67頁。例 4.4.4：例 4.4.5：結(jié)論 4.4.3：記：32第32頁，共67頁。4.5 生死合險（兩全保險）定義被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如

7、果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險基本函數(shù)關(guān)系:33第33頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)的厘定符號：記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知則34第34頁，共67頁。例：設(shè)計算遞推公式（結(jié)論 4.5.2）：35第35頁，共67頁。解答：36第36頁，共67頁。年末賠付場合符號：厘定：37第37頁，共67頁。遞推公式（結(jié)論 4.5.4）：例 4.5.4：結(jié)論 4.5.5：38第38頁，共67頁。4.6、延期終身壽險定義保險人對被保險人在

8、投保m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險基本函數(shù)關(guān)系39第39頁，共67頁。死亡即付定期壽險躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：40第40頁，共67頁。現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 方差公式記所以方差等價于41第41頁，共67頁。例假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險，保額1元。保險金在死亡即刻賠付。已知求：42第42頁，共67頁。解答：43第43頁，共67頁。年末賠付場合結(jié)論 4.6.1， 4.6.2 ：44第44頁，共67頁。延期m年n年定期兩全保險定義被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險假定： 歲的人，保

9、額1元，延期m年的n年定期兩全保險基本函數(shù)關(guān)系45第45頁，共67頁。躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定46第46頁，共67頁。現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知則47第47頁，共67頁。4.7每年劃分m個區(qū)間的情況定理 4.7.1：結(jié)論 4.7.2：結(jié)論 4.7.3：48第48頁，共67頁。4.8、變額壽險定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)特別：一年遞增一次一年遞增m次一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）49第49頁，共67頁。一年遞增一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳

10、保費(fèi)厘定50第50頁，共67頁。一年遞增m次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定51第51頁，共67頁。一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定52第52頁，共67頁。8、遞減定期壽險定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)特別：一年遞減一次一年遞減m次一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）53第53頁，共67頁。一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定54第54頁，共67頁。一年遞減m次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定55第55頁，共67頁。一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定56第56頁，共67頁。例對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死

11、亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據(jù)附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實(shí)質(zhì)利率6%計算躉繳純保費(fèi)。57第57頁，共67頁。解答：58第58頁，共67頁。相互關(guān)系遞推公式:(結(jié)論 4.8.5)例 4.8.1：例 4.8.2：定理 4.9.1 :關(guān)系:(結(jié)論 4.9.2)例 4.9.1：59第59頁，共67頁。實(shí) 務(wù)計算基數(shù)60第60頁，共67頁。常用計算基數(shù)計算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡化計算常用基數(shù)：61第61頁，共67頁。用計算基數(shù)表示常見險種的躉繳純保費(fèi)62第62頁，共67頁。例考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年死亡即刻賠付9000元并以此類推遞減人壽保險。按附錄2生命表及i=0.06計算（30）的人躉繳純保費(fèi)。（1）保障期至第10年底（2）保障期至第5年底63第63頁，共67頁。解答：64第64頁，共67頁。總 結(jié)主要險種的