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1、第三節 隱函數的導數及由參數方程所確定一、隱函數的導數二、對數求導法三、相參數方程的求導法的函數的導數 第1頁，共15頁。一、隱函數的導數1 復習:函數的表示法(1)直接表示: 解析式 y=f(x) xD, 這樣描述的函數稱為顯函數(2)間接表示 由一個方程F(x,y)=0 所確定的函數 例 可確定函數 , 由兩個方程確定(帶一個中間變量)參數方程: t是參數 方法(1)表示的函數稱為隱函數.把一個隱函數化成顯函數, 叫做隱函數的顯化.第2頁，共15頁。2 隱函數的定義一般地,如果變量x和y滿足一個方程F(x,y)=0,在一定條件下當x取某區間內的任一值時,相應地總有滿足這方程的唯一的y值存在

2、,那么就說方程F(x,y)=0在該區間內確定了一個隱函數隱函數的求導方法:(1)將方程F(x,y)=0兩端對x求導,在求導過程中要記住y是x的函數;y的函數是x的復合函數.第3頁，共15頁。例1 求由方程 所確定的隱函數的導數解 我們把方程兩邊分別對x求導數,注意y=y(x), 方程左邊對x求導得方程右邊對x求導得所以第4頁，共15頁。從而注意:在這個結果中,分式中的y=y(x)是由方程 所確定的隱函數例2 求由方程 所確定的隱函數x=0處的 導數因為當x=0時,從原方程得y=0,所以解 把方程兩邊分別對x求導,由于方程兩邊的導數相等,由此得所以 第5頁，共15頁。例3 求圓 在點 處的切線方

3、程.解 由導數的幾何意義知道,所求切線的斜率為圓方程的兩邊分別對x求導,有從而從而在 處的切線率為于是所求的切線方程為即第6頁，共15頁。二、對數求導法方法:先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導方法求出導數.-對數求導法適用范圍:下面通過例子來說明這種方法例5解等式兩邊取對數得第7頁，共15頁。一般地第8頁，共15頁。冪指函數 也可表示成這樣,便可直接求得第9頁，共15頁。例6 求 的導數兩邊對x求導于是解 兩邊取對數(假定 x4 ), 得第10頁，共15頁。三、由參數方程所確定的函數的導數求導方法第11頁，共15頁。由復合函數及反函數的求導法則得第12頁，共15頁。例7 已知橢圓的參數方程為求橢圓在 相應的點處的切線方程解 當 時,橢圓上的相應點 的坐標是: 第13頁，共15頁。 曲線在 點的切線斜率為:代入點斜式方程,即得橢圓在點 處的切線方程化簡后得第14頁，共15

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