1、第7章 聯(lián)立方程模型7.1 聯(lián)立方程模型的基本概念 (7.1.1 經(jīng)濟(jì)變量的聯(lián)立依存性：7.1.2 聯(lián)立方程模型的后果： 7.1.3 聯(lián)立方程模型的基本形式)7.2 聯(lián)立方程模型的識(shí)別 (7.2.1 識(shí)別的有關(guān)概念；7.2.2 模型識(shí)別的條件；7.2.3 模型識(shí)別實(shí)例及實(shí)用規(guī)則)7.3 聯(lián)立方程模型的估計(jì)方法 (7.3.1 估計(jì)方法概述； 7.3.2 工具變量法； 8.3.3 二階段最小二乘法；8.3.4 三階段最小二乘法)碩士生經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)第五講2022/7/26制作人：熊義杰17.1 聯(lián)立方程模型的基本概念7.1.1 經(jīng)濟(jì)變量的聯(lián)立依存性 把OLS方法用于單一方程模型，實(shí)際上包含了一個(gè)基本假

2、定：即解釋變量是外生變量，它不受其它任何因素的影響。換言之，即因變量X和解釋變量Y只存在單向因果關(guān)系。但客觀現(xiàn)實(shí)并非如此，現(xiàn)實(shí)中大量的因果關(guān)系都是雙向的，即是互為因果的。 對(duì)于雙向因果關(guān)系，必須使用多于一個(gè)方程的模型來處理，這就是聯(lián)立方程模型。即如果Yf（X）,Xg（Y），這就表明，X和Y之間的關(guān)系只能用多方程模型來描述。所謂聯(lián)立方程模型，即描述變量之間聯(lián)立依存關(guān)系的方程體系及其相關(guān)假設(shè)。可以肯定，任一方程實(shí)際上都屬于某一聯(lián)立方程組。比如： (1)需求問題 經(jīng)濟(jì)理論指出，某商品的需求量與該商品的價(jià)格有密切的關(guān)系，但反過來，商品價(jià)格又受到商品需求量和其它因素比如其它商品價(jià)格的影響，即有：2022

3、/7/26制作人：熊義杰2（2）貨幣供應(yīng)問題 貨幣供應(yīng)量使影響通貨膨脹的重要因素。政府控制貨幣供應(yīng)量的主要決定因素是居民的實(shí)際收入水平。而反過來，居民的收入水平又受到貨幣供應(yīng)量和其它因素比如企業(yè)的投資狀況的影響,即有： （3）企業(yè)投資問題 企業(yè)在一定時(shí)期投資的多少，與一定時(shí)期生產(chǎn)機(jī)會(huì)的大小即GDP的產(chǎn)出量多少密切相關(guān)，而反過來，GDP產(chǎn)出量的大小又受到投資水平和其它因素比如活勞動(dòng)投入的影響，即應(yīng)有：2022/7/26制作人：熊義杰37.1.2 聯(lián)立方程模型的后果 一個(gè)嚴(yán)重后果就是，由于Y和X的相互影響，使得OLS估計(jì)中的基本假定E（UX）0遭到破壞，因而使得OLS估計(jì)成為有偏和不一致估計(jì)量。

4、假定有如下模型：其中：E(U)0；E(U2)2；E(UiUj)0；E(V)0；E(V2)0；E(ViVj)0。 且 E(UV)0。該模型在數(shù)學(xué)上是完整的，X、Y是內(nèi)生變量，Z是外生變量。把Y代入X，則得到：也就是： 不難看出，U與X相關(guān)，這說明第一個(gè)方程中的X不是外生變量。由此也就不難證明，Cov（UX）0。（71）2022/7/26制作人：熊義杰4【證】根據(jù)協(xié)方差的定義，應(yīng)有： Cov(U,X)EUE(U)XE(X) 由于 E(U)0，所以： Cov(U,X)EUXE(X) 已知： 所以， 即：2022/7/26制作人：熊義杰5 由此不難看出，在聯(lián)立方程模型中，單一方程模型中所存在的常方差性

5、假定與 Cov(UX)0 的一致性是不存在的。在聯(lián)立方程模型條件下，常方差性假定可能滿足，但 Cov(UX) 卻不一定為0，因?yàn)樵谶@里X是內(nèi)生變量而不是外生變量。這正是由于聯(lián)立方程模型引起的后果。 正是由于 E(UX) 0，所以在對(duì) 方程(7-1)應(yīng)用OLS方法時(shí)，其系數(shù)的估計(jì)量將是有偏的和不一致的。【證】先證有偏性。已知：（注意，在這里大寫的變量為觀測(cè)值，小寫的為離差）2022/7/266 再證非一致性。 所謂一致性是指，當(dāng)估計(jì)式滿足如下兩個(gè)條件時(shí)： . 是漸進(jìn)無偏的，即： （Plim是概率極限，即樣本容量趨無窮大，概率趨零） . 隨著n趨于無窮大（或概率趨于0）， 的方差逼近于0，即： 就

6、稱估計(jì)式 為總體參數(shù) b 的一致估計(jì)量。 對(duì)于（81）式中的 ，有：2022/7/26制作人：熊義杰7 顯然， 不是一致估計(jì)量。 由于OLS方法的基本假定 E(UX)0遭到破壞，導(dǎo)致了有偏和非一致估計(jì)量，因此，對(duì)于聯(lián)立方程模型我們必須尋找另外的參數(shù)估計(jì)方法。2022/7/26制作人：熊義杰87.1.3 聯(lián)立方程模型的基本形式一、結(jié)構(gòu)模型 結(jié)構(gòu)模型用以反映經(jīng)濟(jì)變量之間各種關(guān)系的完整結(jié)構(gòu)。7.1.1 中的三個(gè)模型都是結(jié)構(gòu)模型。結(jié)構(gòu)模型的一般形式為： 該模型由m個(gè)內(nèi)生變量Yi和k個(gè)前定變量Xj組成，方程個(gè)數(shù)與內(nèi)生變量個(gè)數(shù)相等，aij和bij均稱作結(jié)構(gòu)參數(shù)，其簡(jiǎn)縮式為：(72)2022/7/26制作人

7、：熊義杰9 結(jié)構(gòu)模型也可以用矩陣形式表示如下（注意，在矩陣形式的表達(dá)式中，用小寫的變量表示觀測(cè)值）： 在一個(gè)結(jié)構(gòu)模型中，通常都包括兩類方程，一類是包含有隨機(jī)項(xiàng)的隨機(jī)方程，另一類是不包含隨機(jī)項(xiàng)也不包含任何參數(shù)的定義方程。定義方程也叫平衡方程。2022/7/26制作人：熊義杰10 以克萊因宏觀模型為例：其中：Ytt 時(shí)期的國(guó)民收入；Ctt時(shí)期的國(guó)民消費(fèi)； Itt 時(shí)期的企業(yè)投資；Gtt時(shí)期的政府開支。 結(jié)構(gòu)模型的意義在于，每一個(gè)結(jié)構(gòu)模型中的相應(yīng)參數(shù)，都表明解釋變量對(duì)于被解釋變量的直接影響。二、約化模型 如果將結(jié)構(gòu)模型中的全部?jī)?nèi)生變量都表示成前定變量(含外生變量和滯后變量)和隨機(jī)項(xiàng)的函數(shù)，則稱作聯(lián)立

8、方程模型的約化形式，簡(jiǎn)稱為約化模型。如克萊因宏觀模型的約化形式為：（73）2022/7/26制作人：熊義杰11其中（常參數(shù)暫時(shí)忽略）：約化參數(shù)的獲得可通過連續(xù)代換取得。如對(duì)模型（73），其中：（74）2022/7/26制作人：熊義杰12而所以2022/7/26制作人：熊義杰13即所以也就是2022/7/26制作人：熊義杰14 其余兩個(gè)約化方程可用同樣辦法證得。 約化模型的意義就在于，模型中的約化參數(shù)可以用來度量前定變量的變化對(duì)于內(nèi)生變量的總影響，包括直接影響和間接影響兩個(gè)部分。例如模型（74）中的21度量了Yt-1增加一個(gè)單位時(shí)對(duì)于投資值的總影響，這一影響分為兩個(gè)部分：一是投資結(jié)構(gòu)方程中系數(shù)b

9、2對(duì)It的影響，是直接影響；二是由下列事實(shí)引起的間接影響：即Yt-1的增加影響It ， It影響Yt， Yt又影響It ；最后， Yt影響Ct ， Ct又影響Yt ， Yt再影響It 。所以， Yt-1對(duì)于It的總影響（由21反映的）可分解為兩個(gè)部分： 總影響=直接影響+間接影響 2022/7/26制作人：熊義杰15 約化參數(shù)的估計(jì)通常可采用兩種辦法：(1) 直接估計(jì)法 即直接把結(jié)構(gòu)模型中的每一個(gè)內(nèi)生變量表示為前定變量和隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的函數(shù)，然后再用普通最小二乘法直接估計(jì)約化模型中參數(shù)。比如，可直接根據(jù)模型（73）寫出（74），并對(duì)（84）應(yīng)用OLS方法。因?yàn)檫@種方法不考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的信息，不受結(jié)構(gòu)

10、模型具體形式的限制，只要知道模型系統(tǒng)中的前定變量即可，所以也稱為無約束最小二乘法。(2) 間接估計(jì)法 即先利用適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)計(jì)量方法求出結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)，然后利用約化參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系式來計(jì)算確定約化模型參數(shù)的一種方法。比如，對(duì)于克萊因宏觀模型來說即可先估計(jì)出模型（73）中的參數(shù)，然后再根據(jù)模型（74）中的參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系式求出約化參數(shù)。采用間接估計(jì)法必須建立約化參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系式，而采用直接估計(jì)法則不必有這一過程。2022/7/26制作人：熊義杰16. 三 . 遞歸模型 所謂遞歸模型，就是結(jié)構(gòu)方程式按下列形式排列的一類聯(lián)立方程模型：首先，在模型的左端每個(gè)方程只有一個(gè)內(nèi)生變量；其次，在模型

11、的右端，其第一個(gè)方程式的右端只有前定變量xi(i=1,2, ,k)，第二個(gè)方程的右端則有xi和第一個(gè)方程式中的內(nèi)生變量Y1，第三個(gè)方程式的右端則又有第二個(gè)方程式的各項(xiàng)（參數(shù)不同）再加內(nèi)生變量Y2，依次類推，且其隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)兩兩互相獨(dú)立即。用數(shù)學(xué)式表示即（以三個(gè)方程的模型為例）： 其中： 如果把內(nèi)生變量系數(shù)用矩陣形式表示即：2022/7/26制作人：熊義杰17 顯然，由于遞歸模型內(nèi)生變量的系數(shù)矩陣是一個(gè)主對(duì)角線上元素為1的下三角形矩陣，所以遞歸模型也稱作三角形模型，這也是判斷遞歸模型的主要標(biāo)志。雖然遞歸模型也是一種聯(lián)立方程模型，但遞歸模型所反映的并非雙向因果關(guān)系，即所有的外生變量影響Y1， Y1又

12、和所有的外生變量影響Y2 ， Y2又和Y1及所有的外生變量影響Y3，依次類推，最后是所有的(m-1)個(gè)內(nèi)生變量和全部的外生變量影響Ym。所以，對(duì)于一個(gè)遞歸模型通常可以依次使用普通最小二乘法來估計(jì)參數(shù)。 一個(gè)遞歸模型必是三角形模型，但三角形模型未必就是遞歸模型，一個(gè)遞歸模型必須同時(shí)滿足兩個(gè)必要條件：（1）內(nèi)生變量系數(shù)矩陣呈下三角形；（2）屬于不同方程的隨機(jī)項(xiàng)必須兩兩相互獨(dú)立。 2022/7/26制作人：熊義杰18 7.2 聯(lián)立方程模型的識(shí)別7.2.1識(shí)別的有關(guān)概念 一. 模型的識(shí)別 模型的識(shí)別，簡(jiǎn)單地說就是分析所建立聯(lián)立方程模型能否進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的一個(gè)判斷過程。一個(gè)聯(lián)立方程模型不能識(shí)別，就意味著這

13、個(gè)模型的參數(shù)無法估計(jì)，因而所建立的模型就毫無意義。在掌握了模型的識(shí)別規(guī)則以后，我們就會(huì)知道，雖然在7.1.1中提出的三個(gè)聯(lián)立方程模型都屬于客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，然而它們卻都是不可識(shí)別的（主要是第二個(gè)方程）。所以，識(shí)別問題是構(gòu)造聯(lián)立方程模型時(shí)必須首先考慮的重要問題。 由第一節(jié)我們已經(jīng)知道，由于在結(jié)構(gòu)模型中存在著雙向因果關(guān)系，因而不能直接對(duì)聯(lián)立方程模型使用OLS（普通最小二乘法）方法。因此，一個(gè)自然的想法，就是先把結(jié)構(gòu)模型轉(zhuǎn)化為約化模型，再對(duì)約化模型使用OLS法，在取得約化模型參數(shù)以后，再采用參數(shù)關(guān)系式計(jì)算確定結(jié)構(gòu)參數(shù)。2022/7/26制作人：熊義杰19 容易證明，約化參數(shù)的OLS估計(jì)量至少具有一致性（

14、在前定變量不含滯后內(nèi)生變量的情況下，約化參數(shù)的OLS估計(jì)量還具有無偏性）。但是，從約化參數(shù)估計(jì)值出發(fā)確定結(jié)構(gòu)參數(shù)并非在任何情況下都是可能的，因此必須對(duì)聯(lián)立方程模型進(jìn)行識(shí)別。 對(duì)于任何一個(gè)結(jié)構(gòu)方程（不包括恒等式），如果方程中的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值可通過約化參數(shù)估計(jì)值求得，就說這個(gè)結(jié)構(gòu)方程可識(shí)別；相反，如果結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值不可能由約化參數(shù)估計(jì)得出，就說這個(gè)方程不可識(shí)別。一個(gè)可識(shí)別的方程又分為兩種情況，即恰好識(shí)別和過度識(shí)別。如果從約化參數(shù)估計(jì)值只能得出唯一的一組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值，就說該方程恰好識(shí)別，也稱正確識(shí)別；如果從約化參數(shù)估計(jì)值可以得出一組以上的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值，就說該方程過度識(shí)別。如果結(jié)構(gòu)模型中除恒等式以

15、外的所有方程皆可識(shí)別，就說這個(gè)模型是可識(shí)別模型。 2022/7/26制作人：熊義杰20二、線性組合方程識(shí)別問題有兩種形式不同但彼此完全等價(jià)的提法：（1） 能否由一組約化參數(shù)確定一組唯一的結(jié)構(gòu)參數(shù)？（2） 結(jié)構(gòu)模型中的某個(gè)方程能否同其它方程及其任意的線性組合方程相區(qū)別，亦即這一方程是否具有統(tǒng)計(jì)形式的唯一性？ 其中，線性組合方程是指對(duì)聯(lián)立方程模型： 中的每個(gè)方程兩端依次乘以任意常數(shù) ，然后把所有方程相加所得到的方程，即： 2022/7/26制作人：熊義杰21三、統(tǒng)計(jì)形式的唯一性 在聯(lián)立方程模型中，如果某一方程式的內(nèi)生變量和前定變量不完全與其它方程式及其線性組合方程式相同，則認(rèn)為該方程具有唯一的統(tǒng)計(jì)

16、形式；相反，如果某個(gè)方程式與模型中的另一方程式或某一線性組合方程式有相同的內(nèi)生變量和前定變量，則認(rèn)為此方程式的統(tǒng)計(jì)形式不是唯一的。 統(tǒng)計(jì)形式的唯一性，是可識(shí)別方程的另一種完全等價(jià)的說法。凡是不具有唯一統(tǒng)計(jì)形式的方程式均為不可識(shí)別方程。7.2.2 模型識(shí)別的條件 模型識(shí)別的條件包括必要條件和充分必要條件兩種，也稱階條件和秩條件，階條件是必要條件，秩條件是充分必要條件。 一、階條件 一個(gè)結(jié)構(gòu)方程式可識(shí)別的必要條件是： 2022/7/26制作人：熊義杰22（75） 根據(jù)階條件，顯然在一個(gè)數(shù)學(xué)上完備的結(jié)構(gòu)模型中，其結(jié)構(gòu)參數(shù)必須由大量的零元素構(gòu)成。否則，階條件將無法滿足。比如，在形如（82）的結(jié)構(gòu)模型中

17、，如果所有的結(jié)構(gòu)參數(shù)都是非0的，則對(duì)于每一個(gè)方程有 HG0。因此，階條件均不能成立。 階條件的另一種完全等價(jià)的表達(dá)式為： 或（76）【證】2022/7/26制作人：熊義杰23二、秩條件 一個(gè)結(jié)構(gòu)方程式可識(shí)別的充分必要條件為： (77) 其中，矩陣A是從由結(jié)構(gòu)方程系數(shù)構(gòu)成的 MH 階矩陣中劃去被識(shí)別方程參數(shù)所在行和所在列元素之后剩余的矩陣。 模型識(shí)別的階條件是必要條件，即滿足階條件的不一定是可識(shí)別方程，但不滿足階第件的一定是不可識(shí)別方程。而秩條件才是充分且必要條件，即滿足秩條件的結(jié)構(gòu)方程，一定是可識(shí)別方程，不滿足秩條件的結(jié)構(gòu)方程，一定是不可識(shí)別方程。應(yīng)用中，兩個(gè)條件一般是結(jié)合使用的。因?yàn)椋瑢?duì)于較

18、大的模型來說，階條件往往具有簡(jiǎn)便易用的特點(diǎn)，而秩條件則顯得相對(duì)繁瑣些。因此，對(duì)于較大模型通常可先使用階條件，然后只對(duì)符合階條件的方程使用秩條件。2022/7/26制作人：熊義杰24三、模型識(shí)別條件的證明【證】在一個(gè)一般形式的結(jié)構(gòu)模型（72）中，假定要識(shí)別的是第一個(gè)方程，其中包含有G個(gè)變量，G=S+L，S為內(nèi)生變量數(shù)，L為前定變量數(shù)，模型的總變量數(shù)為H，方程數(shù)和內(nèi)生變量數(shù)均為M，則不在第一個(gè)方程中的剩余變量數(shù)為HG。要證明第一個(gè)方程統(tǒng)計(jì)形式的唯一性，實(shí)際上就是要使該方程中所包含的G個(gè)變量與其余的HG個(gè)變量相區(qū)別或者沒有共同解。于是，在結(jié)構(gòu)模型的系數(shù)矩陣中劃掉GSL個(gè)變量所在行和所在列的元素（這些

19、無素只與G個(gè)變量的值有關(guān)）后對(duì)剩余元素的系數(shù)矩陣重新排序后為：2022/7/26制作人：熊義杰25 根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，如果說第一個(gè)方程中的G個(gè)變量是有解的，則它們肯定是不全為零的。因此，要使得這G個(gè)變量與其余的H-G個(gè)變量無共同解，那么一個(gè)最簡(jiǎn)單的辦法就是讓其余的H-G個(gè)變量全部為零，這也就等價(jià)于讓下列的齊次線性方程組有零解： 其中： 變量數(shù)= 首先，根據(jù)齊次線性方程組成立（即有零解和非零解）的條件，要使齊次線性方程組（1）有零解和非零解，必須使方程的個(gè)數(shù)小于和等于未知量的個(gè)數(shù)，即必須成立：其次，根據(jù)齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件，應(yīng)有： 2022/7/26制作人：熊義杰267.2.3

20、模型識(shí)別實(shí)例及實(shí)用規(guī)則 最能說明識(shí)別問題的例子是供求模型。 這個(gè)模型一般由需求方程、供應(yīng)方程和供求平衡條件三個(gè)方程構(gòu)成。這里需要識(shí)別的對(duì)象是需求方程和供應(yīng)方程，它們能否識(shí)別則取決于它們各自的結(jié)構(gòu)。 一、不可識(shí)別的情形【例1】設(shè)有下列聯(lián)立方程模型 其中：D表示需求，S代表供給，P為商品價(jià)格。各變量間的關(guān)系如圖71所示。顯然，由平衡條件可得到：2022/7/26制作人：熊義杰27即 分別代入需求函數(shù)和供給函數(shù)，有 所以，即該模型有兩個(gè)約化參數(shù) 2022/7/26制作人：熊義杰28 假如約化參數(shù)已知，但由于參數(shù)關(guān)系體系中有四個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)未知量，只有兩個(gè)方程，根據(jù)線性方程組有一唯解的定理，顯然這四個(gè)結(jié)構(gòu)

21、參數(shù)是無法確定的，即模型是不可識(shí)別的。 同時(shí)，由結(jié)構(gòu)模型我們不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)數(shù)量函數(shù)Q亦即需求函數(shù)和供給函數(shù)的線性組合實(shí)際上是無法區(qū)別的，由于D=S=Q，因而兩個(gè)結(jié)構(gòu)方程中的變量實(shí)質(zhì)是完全同一的，因而兩個(gè)結(jié)構(gòu)方程均不具有統(tǒng)計(jì)形式的唯一性，這也說明了該模型是不可識(shí)別的。 我們?cè)賾?yīng)用階條件進(jìn)行分析。由于平衡條件的保證，因此實(shí)際上該模型是有兩個(gè)結(jié)構(gòu)方程兩個(gè)內(nèi)生變量（Q和P，也是內(nèi)生變量），沒有外生變量。顯然對(duì)于每個(gè)方程來說，階條件都不成立，因?yàn)椋谶@里M-1 =1，H-G = 0，零不大于等于1。由于階條件不成立，所以模型不可識(shí)別。2022/7/26制作人：熊義杰29二、恰好識(shí)別【例2】設(shè)有如下聯(lián)立方

22、程模型： 其中：Yt是居民收入，Pt-1是上期價(jià)格。據(jù)此，可得到的約化模型為： 其中： 顯然，由于約化參數(shù)個(gè)數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)相等，即由約化參數(shù)可求出唯一結(jié)構(gòu)參數(shù)，故模型是可識(shí)別的。 2022/7/26制作人：熊義杰30 再?gòu)拿恳环匠探y(tǒng)計(jì)形式的唯一性來看，在約化模型中由于兩個(gè)數(shù)量函數(shù)所包含的變量及其參數(shù)不同，因而是可以互相區(qū)別的，即每個(gè)方程的統(tǒng)計(jì)形式都是唯一的，因而也說明模型是可識(shí)別的。 從階識(shí)別條件來看，該模型的總變量數(shù)是H=4，內(nèi)生變量數(shù)M=2，每一方程中包含的變量數(shù)是G=3，每個(gè)方程都滿足M-1=H-G。由于階條件只是必要條件，還不能說明每個(gè)方程是否一定可識(shí)別，所以尚需要對(duì)秩條件進(jìn)行分析。該模

23、型的系數(shù)矩陣為： 不難看出，對(duì)于兩個(gè)方程，均有： 所以模型是可識(shí)別的。 由于模型可識(shí)別，因而根據(jù)約化參數(shù)即可求得結(jié)構(gòu)參數(shù)。 2022/7/26制作人：熊義杰31三、過度識(shí)別【例3】設(shè)有聯(lián)立方程模型為： 其中：P為代用品價(jià)格。其對(duì)應(yīng)的約化模型為： 顯然，由于結(jié)構(gòu)參數(shù)只有7個(gè)，而約化參數(shù)卻有8個(gè)，這時(shí)，如約化參數(shù)已知，則結(jié)構(gòu)參數(shù)就有無窮多解，即該模型是過度識(shí)別的。 再?gòu)碾A識(shí)別條件來看，該模型的總變量數(shù)H=5，其中內(nèi)生變量數(shù)M=2，對(duì)于方程一，G=4，對(duì)方程二，G=3，所以對(duì)方程一來說，等式成立，對(duì)方程二則不成立，所以模型為過度識(shí)別。 制作人：熊義杰32四、識(shí)別的一些實(shí)用規(guī)則 (1) 如果兩個(gè)方程包

24、含同一組變量，則這兩個(gè)方程都不可識(shí)別，如上述例1中的兩個(gè)方程。 (2) 每個(gè)方程都是包含一個(gè)內(nèi)生變量和全部前定變量的模型可恰好識(shí)別。這是容易理解的，因?yàn)樵谶@種情況下內(nèi)生變量的系數(shù)矩陣為單位陣，恒有Rk(A)M1。同樣，每個(gè)方程都只包含一個(gè)前定變量和全部?jī)?nèi)生變量的模型也可以恰好識(shí)別，如上述的例2。 (3) 包含模型中全部變量（包括內(nèi)生變量和前定變量）的方程不可識(shí)別，因?yàn)檫@里恒有Rk(A)0 。如在7.1.1中提出的形如模型（71）的三個(gè)模型中的第二個(gè)方程。 (4) 如果第i個(gè)方程的剩余變量都不出現(xiàn)于第個(gè)j方程之中，則第i個(gè)方程必不滿足秩條件，因而不可識(shí)別。因?yàn)檫@里充其量只能成立Rk(A)M2 。

25、 (5) 如果第i個(gè)方程的剩余變量都不出現(xiàn)于其余的M1個(gè)方程的某個(gè)線性組合之中，則第i個(gè)方程亦不可識(shí)別。 337.2.4 識(shí)別問題與多重共線性 識(shí)別問題是由于模型中包含一個(gè)以上的方程而產(chǎn)生的特殊問題，對(duì)于單一方程模型來說不存在識(shí)別問題。多重共線性問題是由于一個(gè)方程包含一個(gè)以上的解釋變量而產(chǎn)生的特殊問題，只有一個(gè)解釋變量的方程不存在多重共線性問題。顯然，這兩個(gè)問題之間存在著十分密切的親緣關(guān)系。 首先，我們知道，當(dāng)兩個(gè)變量共線時(shí)，從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看，這個(gè)變量不能作為不同的變量來處理，因此往往需要將其中之一刪除或者改變模型的數(shù)學(xué)形式。識(shí)別問題也是如此。當(dāng)某方程不可識(shí)別時(shí)，即是說該方程不具有統(tǒng)計(jì)形式的唯

26、一性，即它不能與其它的方程或這些方程的線性組合方程相區(qū)別，因此該方程也是應(yīng)該由模型中刪除的。當(dāng)然也可以象處理多重共線性問題一樣，通過改變模型的數(shù)學(xué)形式來解決。比如在7.1.1中的三個(gè)模型中對(duì)第一個(gè)方程引入第二個(gè)內(nèi)生變量的滯后變量后，模型即由不可識(shí)別變?yōu)榭勺R(shí)別。2022/7/2634 其次，不可識(shí)別的問題和多重共線性問題都給參數(shù)估計(jì)造成困難，這一點(diǎn)具有完全相同的性質(zhì)。 最后，識(shí)別問題和多重共線性問題產(chǎn)生的根源，都是因?yàn)樽兞恐g存在著多重關(guān)系的緣故。正因?yàn)槿绱耍诖嬖谶@兩類問題的場(chǎng)合，都很難用統(tǒng)計(jì)方法滿意地評(píng)價(jià)每一個(gè)變量對(duì)被解釋量的影響。2022/7/26制作人：熊義杰35 7.3 聯(lián)立方程模型的

27、估計(jì)方法7.3.1估計(jì)方法概述 聯(lián)立方程模型的參數(shù)估計(jì)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，因?yàn)榇嬖谥喾N不同的估計(jì)方法，而且每種方法的適用范圍、計(jì)算量和所給出的估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)又不盡相同，所以處理具體問題時(shí)必須根據(jù)研究目的進(jìn)行適當(dāng)選擇。 聯(lián)立方程模型的估計(jì)方法一般分為單方程估計(jì)法和系統(tǒng)估計(jì)法兩類。 如果在估計(jì)參數(shù)時(shí)將模型中的每一個(gè)方程單獨(dú)進(jìn)行處理而不考慮其余方程的存在對(duì)所估計(jì)方程的約束，這種方法就稱為單方程估計(jì)方法。單方程方法也稱為有限信息估計(jì)法，因?yàn)檫@種方法沒有考慮對(duì)所估計(jì)方程具有約束的其余方程的有關(guān)信息。單方程方法包括以下五種方法：2022/7/26制作人：熊義杰36一、普通最小平方方法（OLS法） 一

28、般地說，把OLS法直接用于聯(lián)立方程模型得出的估計(jì)量不僅在小樣本情況下有偏，甚至在大樣本條件下也是不一致的。這在第一節(jié)已經(jīng)做過證明。所以一般地說，OLS法只適用于遞歸模型。在遞歸模型中，由于屬于不同方程的同期隨機(jī)項(xiàng)互不相關(guān)，每個(gè)方程中的內(nèi)生解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)也不相關(guān)，所以可直接使用OLS法逐一地對(duì)每個(gè)方程進(jìn)行估計(jì)。但是對(duì)此說法也有不同意見，認(rèn)為對(duì)于結(jié)構(gòu)模型的OLS估計(jì)法未必不適用，其理由是： (1) 雖然OLS法估計(jì)量有偏，但在小樣本情形下用其它方法估計(jì)的參數(shù)同樣是有偏的。此外，同其它估計(jì)量相比，OLS估計(jì)量的方差最小，因此在小樣本情形下的OLS估計(jì)量的均方誤差也是最小的。這一看法已經(jīng)為蒙特卡羅（

29、Mont Carlo）研究所證實(shí)。 (2) 蒙特卡羅還表明，同其它估計(jì)量相比，OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)對(duì)于多重共線性和定型錯(cuò)誤等常見的估計(jì)問題較不敏感，在小樣本情形下尤其如此。 (3) 在很多情形下發(fā)現(xiàn)，用OLS法估計(jì)的模型同用其它方法估計(jì)的同一模型相比，前者所給出的預(yù)測(cè)結(jié)果并不比后者差。二、間接最小平方方法（ILS） ILS（Indirect Least Squares）法即通過對(duì)約化模型使用OLS法以便利用約化參數(shù)確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的一種方法。這一方法一般只適用于可恰好識(shí)別的方程和模型，而不適用于過度識(shí)別的模型。 即使是對(duì)于可恰好識(shí)別的模型而言，ILS法實(shí)際也并非是最佳估計(jì)方法。因?yàn)椋词辜s化模型

30、中每一個(gè)方程所含的隨機(jī)項(xiàng)都滿足經(jīng)典回歸的基本假定，結(jié)構(gòu)參數(shù)的ILS估計(jì)量也仍然是有偏的。這是因?yàn)榧s化參數(shù)的OLS估計(jì)量雖然是無偏的，但由于結(jié)構(gòu)參數(shù)與約化參數(shù)之間的關(guān)系是非線性的，2022/7/26制作人：熊義杰38所以由這種非線性關(guān)系得出的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量將仍然是有偏的。所以，用ILS法得出的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量只是一致估計(jì)量。也就是說，在大樣本條件下，結(jié)構(gòu)參數(shù)的ILS估計(jì)量將優(yōu)于OLS估計(jì)量，但是在小樣本條件下這一優(yōu)越性并不十分明顯。三、工具變量法（IV法）和二階段最小平方法（2SLS法） IV（Instrumental Variables）法在聯(lián)立方程模型的估計(jì)中有重要應(yīng)用，我們?cè)谙旅鎸ｉT作為一

31、個(gè)部分來討論。 2SLS（TWO-Stage Least Squares）法實(shí)際是IV法的一種特殊情形，我們也將在下一部分與IV法來一起討論。四、有限信息最大似然法（LI/ML 法） 2SLS法有一個(gè)主要的缺點(diǎn)，即估計(jì)量同正規(guī)化方式或被解釋變量的選擇有關(guān)，估計(jì)結(jié)果因每一方程中被解釋變量選擇的不同而異。而LI/ML（Limit Information / Maximum2022/7/26制作人：熊義杰39Likelihood ）法則恰恰可以克服這一缺陷。LI/ML法同2SLS法相比，一個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)，即估計(jì)量對(duì)正規(guī)化方式的選擇具有不變性。換言之，即在被估計(jì)方程中，不管選取哪一個(gè)內(nèi)生變量作解釋變量，

32、LI/ML估計(jì)量都一樣。 遺憾的是，LI/ML法的這一優(yōu)點(diǎn)被這一方法的兩個(gè)缺點(diǎn)所掩蓋：（1）這一方法的計(jì)算量比2SLS法大，因而計(jì)算費(fèi)用較高；（2）這一方法得出的估計(jì)量對(duì)多重共線性的敏感程度要比2SLS法估計(jì)量高，因而極不穩(wěn)定。正因?yàn)槿绱耍@一方法雖然在歷史上曾起過重要作用（50年代的許多重要模型都是用這一方法估計(jì)的），目前已經(jīng)很少使用。 以上方法都是單方程法。 如果在估計(jì)參數(shù)時(shí)對(duì)模型中的所有方程同時(shí)進(jìn)行估計(jì)，這種估計(jì)方法就稱為系統(tǒng)估計(jì)法。由于這類方法考慮了與各方程之間的相互聯(lián)系有關(guān)的全部信息，所以這類方法也稱作完全信息估計(jì)法。系統(tǒng)估計(jì)法主要包括兩種方法：2022/7/26制作人：熊義杰40（

33、1）三階段最小平方方法（3SLS法）；（2）完全信息最大似然法（FI/ML法）。由于多方面原因，系統(tǒng)估計(jì)法使用并不很廣泛，所以本節(jié)將主要對(duì)3SLS法作以簡(jiǎn)單介紹。7.3.2工具變量法 IV估計(jì)法的基本思路是當(dāng)某個(gè)解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)相關(guān)因而不能應(yīng)用OLS法時(shí)，可引入一個(gè)與此解釋變量強(qiáng)相關(guān)而與相應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)又不相關(guān)的前定變量作為工具，以便達(dá)到消除該解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)之間相關(guān)關(guān)系的目的。由于將OLS法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)方程模型時(shí)產(chǎn)生估計(jì)偏倚的根源，正是因?yàn)槟承┙忉屪兞颗c隨機(jī)項(xiàng)相關(guān)即 ，所以這種估計(jì)問題正好可以通過引入適當(dāng)?shù)墓ぞ咦兞縼斫鉀Q。不過對(duì)于聯(lián)立方程模型而言，其中的每一個(gè)內(nèi)生解釋變量都需要單獨(dú)地引進(jìn)一個(gè)相應(yīng)的

34、工具變量。 可以證明，IV估計(jì)量不具備無偏性，但具備一致性。證明如下：2022/7/26制作人：熊義杰41設(shè)有如下單一方程模型： 其中： 于是可得到由樣本觀測(cè)值表示的第一個(gè)正規(guī)方程式為： 但由于 即 ，所以就不能由方程兩端乘 后加總獲得第二個(gè)正規(guī)方程。為克服這一困難，我們?cè)O(shè)想用工具變量 代替 ， 與 強(qiáng)相關(guān)而與ui 不相關(guān)，于是用 乘方程式兩端加總得到：代入 后，再代入 ，可求得 2022/7/26制作人：熊義杰42 可以證明，通過IV方法獲得的估計(jì)量不是無偏估計(jì)量，但是一致估計(jì)量。 把IV法用于聯(lián)立方程模型，不僅要求經(jīng)典回歸的基本假定都滿足，而且還假定適當(dāng)?shù)墓ぞ咦兞慷即嬖凇?IV估計(jì)法應(yīng)用中

35、最重要的問題是如何尋找恰當(dāng)?shù)墓ぞ咦兞俊：线m的工具變量必備的條件包括：一是必須同方程所考慮的內(nèi)生解釋變量強(qiáng)相關(guān)；二是必須同該方程中的隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)。按照這兩個(gè)條件，顯然單一方程模型中的OLS估計(jì)量實(shí)際也是一種IV估計(jì)量，它所用的工具變量就是方程中的解釋變量X，由于X與自身完全相關(guān)，而且與不相關(guān)，所以完全符合作為工具變量的條件。 由此看來，在聯(lián)立方程模型中利用某一方程剩余的前定變量作為內(nèi)生解釋變量的工具變量以求得參數(shù)的一致估計(jì)量也就是十分自然的想法，因?yàn)槟Ｐ椭械乃星岸ㄗ兞慷颊镁邆涔ぞ咦兞康膬蓚€(gè)條件。問題是，在聯(lián)立方程模型中內(nèi)2022/7/26制作人：熊義杰43生解釋變量一般不止一個(gè)，每個(gè)內(nèi)生解釋

36、變量都需要一個(gè)前定變量作工具變量，那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)前定變量不夠用的情況？一般地說，只要方程是可以識(shí)別的，就保證了有足夠的前定變量可用來作為內(nèi)生解釋變量的工具變量使用。我們知道，階識(shí)別條件的另一種完全等價(jià)的表述是：被識(shí)別方程剩余的前定變量數(shù)必須大于等于該方程的內(nèi)生變量數(shù)減1（參式76，被作為被解釋變量的內(nèi)生變量無需工具變量）。所以，方程的可識(shí)別性是應(yīng)用工具變量法的基本前提。 我們知道，可識(shí)別包括兩種情況，即恰好識(shí)別和過度識(shí)別。在恰好識(shí)別的情況下，所需的工具量數(shù)與能夠提供的變量數(shù)相等，選擇不成問題。在過度識(shí)別的情況下，能夠提供的工具變量數(shù)大于需要的工具變量數(shù)，因此就有一個(gè)如何選擇的問題。因?yàn)椋谟貌?/p>

37、同的前定變量作工具變量時(shí)，毫無疑問，系數(shù)的估計(jì)值將是不同的。所以在方程過度識(shí)別的情況下，IV法不適用。在模型過度識(shí)別的情況下，2SLS法是一種常用的估計(jì)方法。 2022/7/26制作人：熊義杰44 然而，即使是在恰好識(shí)別的情況下，當(dāng)模型中的某一方程有多個(gè)剩余的前定變量時(shí)，要從中選擇一個(gè)最合適的前定變量作為工具變量也相當(dāng)困難。原因是：（1）這里有多種可能情況；（2）作為工具變量除滿足兩個(gè)方面的一般條件外，尚要求它必須與方程中的其它前定變量無關(guān)或相關(guān)很小，如果在一個(gè)結(jié)構(gòu)方程中引入了兩個(gè)以上的工具變量，則它們之間也必須互相獨(dú)立，以避免多重共線性；（3）每個(gè)結(jié)構(gòu)方程中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都是不能觀測(cè)的，因此事

38、實(shí)上很難斷定它是否與某個(gè)擬選為工具變量的前定變量相互獨(dú)立。正因?yàn)槿绱耍琁V法在聯(lián)立方程模型的估計(jì)中，實(shí)際并不常用。之所以說它重要，是因?yàn)樗菍?shí)際理解其它重要方法如2SLS法的基礎(chǔ)。 7.3.3 二階段最小二乘法 一、2SLS法的基本思路2022/7/26制作人：熊義杰45 2SLS法的實(shí)質(zhì)是一種存在多個(gè)剩余前定變量條件下的工具變量法。設(shè)有如下模型： 其中，Y代表內(nèi)生變量，x代表前定變量。利用階識(shí)別條件不難看出，兩個(gè)方程均屬于過度識(shí)別。按照IV法，該模型中的每一個(gè)前定變量都與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)，因而均可作為任一內(nèi)生解釋變量的工具變量。然而，對(duì)于每一個(gè)方程來說，都有兩個(gè)剩余的前定變量供選擇。所以存在的問

39、題是，就某一特定的內(nèi)生解釋變量而言，究竟選哪一個(gè)前定變量作工具變量最適當(dāng)，這里并沒有一個(gè)可遵循的準(zhǔn)則。也就是說，我們需要解決如何利用模型中的前定變量來構(gòu)造內(nèi)生解釋變量的唯一和“最佳”工具變量的問題。 對(duì)于這一問題，2SLS法是采用這樣一種思路解決的：2022/7/26制作人：熊義杰46首先，選取模型中所有前定變量的線性組合作為工具變量的最普遍形式，以克服 “究竟選擇哪一個(gè)前定變量作工具變量”的困難。這種形式的工具變量，在把線性組合中的參數(shù)作為常數(shù)看的情況下，滿足工具變量的第一條件即與隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立。因?yàn)椋械那岸ㄗ兞烤c隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)，因而它們的線性組合亦必與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)。其次，將模型中的每一個(gè)內(nèi)生解釋變量分別對(duì)所有的前定變量的線性組合進(jìn)行回歸，以這些內(nèi)生解釋變量的回歸估計(jì)量（即利用回歸方程得到的理論估計(jì)值）分別作為各自的工具變量。顯然，在前定變量的所有可能的線性組合中，只有這種回歸估計(jì)量與它們所代表的