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文檔簡介

1、 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法。教學要求：（）使學生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、 局部有界性、保號性、保不等式性； （）掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性 定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限。1.唯一性 定理 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.若數(shù)列收斂，則它只有一個極限。一、數(shù)列極限的性質(zhì)證故極限唯一.由定義,2.有界性定理2.3 收斂的數(shù)列必定有界. 證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.3.保號性 定理2.4若（或），則對任何（或），存在正數(shù)，使時有（或）。得當4.保不等性定理2.5設(shè)數(shù)列與均收斂，若存

2、在正數(shù)使得當時有，則。，思考：如果把條件“”換成“把結(jié)論換成”，那么能否？證5.夾逼準則本定理既給出了判別數(shù)列收斂的方法；又提供了一個計算數(shù)列極限的方法。設(shè)收斂數(shù)列、都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當時有則數(shù)列收斂，且.定理2.6上兩式同時成立,證注意:例2 求數(shù)列 的極限。上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限例3 解： 記 ， 這里 ，則有：左右兩邊的極限均為1， 故由夾逼準則本例得證。解由夾逼定理得6、極限運算法則 例：求解：由于 所以例：求解：例4 求解: 解：若 則 若，則由 有 若，則例5求 解：由于 故 從而二 數(shù)列的子列子列的定義定義 設(shè)為正整數(shù)集的無限稱為數(shù)列的一個子列，簡記為.子集，且注1 的子列的各項都來自且保持這些項在中的的先后次序, 為數(shù)列，則數(shù)列注2 子列中的表示是中的第項，表示 是中的第k項 注3 數(shù)列本身以及去掉有限項以后得到的子列，稱為的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為平凡子列。的非數(shù)列 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散， 時有相同的極限。 且在收斂定理2.8 數(shù)列收斂 的任何非平凡子列都收斂。 2 子列與其本斂散性關(guān)系若數(shù)列 有一個子列發(fā)散，或有兩個子列收斂而注 極限不相等，則數(shù)列 一定發(fā)散。 如 收斂于是1, 收斂于是-1。故 發(fā)散例：證明 證明：由于

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