1、小波變換 小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間，有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D像壓縮、邊緣抽取、噪聲過(guò)濾）。 小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù)，這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來(lái)刻畫(huà)。小波變換速度比傅立葉快一個(gè)數(shù)量級(jí)，長(zhǎng)度為M的信號(hào)，計(jì)算復(fù)雜度：傅立葉變換：小波變換：設(shè)有信號(hào)f(t):其傅里葉變換為F(j):即：像(t)這樣，有限長(zhǎng)且均值為0的函數(shù)稱(chēng)為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)如下圖：小波函數(shù)必須滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的函數(shù)：小波必須是振蕩的；小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1 小波

2、例1圖2 小波例2不是小波的例子圖4圖3平均與細(xì)節(jié)設(shè)一維信號(hào)x1，x2 平均 細(xì)節(jié) 則一維信號(hào)可以表示成a，d,且原信號(hào)可以恢復(fù)如下： 當(dāng)x1與x2非常接近時(shí)，一維信號(hào)x1，x2可近似的用a表示，可實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮。 a可以看成信號(hào)的整體信息 d可看成原信號(hào)用a表示時(shí)丟失的細(xì)節(jié)信息 平均與細(xì)節(jié)對(duì)多元素信號(hào)x1，x2，x3，x4 信號(hào)可以表示為：a1,0,a1,1,d1,0,d1,1 丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為： a1,0,a1,1信號(hào)可進(jìn)一步表示為：a0,0, d0,0丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為： a0,0平均與細(xì)節(jié)x1，x2，x3，x4最高分辨率信息a1,0,a1,1次高分辨率低頻信息d1,0,d1,1次高分辨

3、率細(xì)節(jié)信息a0,0最低分辨率低頻信息d0,0最低分辨率細(xì)節(jié)信息x1，x2，x3，x4的小波變換a0,0,d0,0,d1,0,d1,1由整體平均和兩個(gè)不同分辨率的細(xì)節(jié)信息構(gòu)成金字塔算法一維信號(hào)3,1,-2,4的小波變換為1.5,0.5,1,-31.5：最低分辨率低頻信息0.5：最低分辨率細(xì)節(jié)信息2,1：次高分辨率低頻信息1,-3：次高分辨率細(xì)節(jié)信息3,1,-2,4：最高分辨率信息尺度函數(shù)與小波函數(shù)信號(hào)序列x1，x2，x3，x4看成單位區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)平移伸縮引入記號(hào)：定義：可得：其它其它函數(shù)可以由一個(gè)尺度函數(shù)的伸縮與平移的線(xiàn)性組合表示同理，對(duì)小波變換其它伸縮和平移序列的多分辨率表示：1.1 一維

4、小波變換（一維多尺度分析）設(shè)有L2(R )空間的子空間序列：Vj 的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱(chēng)為尺度函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的設(shè)Wj 是Vj 相對(duì)于Vj+1的正交補(bǔ)空間， Wj 的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱(chēng)為小波函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的構(gòu)成Vj+1的正交基。滿(mǎn)足下列關(guān)系式(二尺度方程)：信號(hào)的多尺度分解：1.2 二維小波變換（二維多尺度分析）二維小波變換是由一維小波變換擴(kuò)展而來(lái)的，二維尺度函數(shù)和二維小波函數(shù)可由一維尺度函數(shù)和小波函數(shù)張量積得到，即：圖像的二維小波變換包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)濾波和2-下采樣，如圖所示：圖5 圖像濾波采樣說(shuō)明：如圖所示，首先對(duì)原圖像I(x,y)沿

5、行向(水平方向)進(jìn)行濾波和2-1下采樣，得到系數(shù)矩陣IL(x,y)和IH(x,y)，然后再對(duì)IL(x,y)和IH(x,y)分別沿列向(垂直方向)濾波和2-1下采樣，最后得到一層小波分解的4個(gè)子圖： ILL (x,y)I(x,y)的（粗）逼近子圖 IHL(x,y) I(x,y)的水平方向細(xì)節(jié)子圖 ILH (x,y) I(x,y)的垂直方向細(xì)節(jié)子圖 IHH (x,y) I(x,y)的對(duì)角線(xiàn)方向細(xì)節(jié)子圖二維金字塔分解算法令I(lǐng)(x,y)表示大小為MN的原始圖像，l(i)表示相對(duì)于分析小波的低通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,Nl-1， Nl表示濾波器L的支撐長(zhǎng)度； h(i)表示相對(duì)于分析小波的高通濾波器系

6、數(shù)，i=0,1,2,Nh-1， Nh表示濾波器H的支撐長(zhǎng)度，則對(duì)逼近子圖重復(fù)此過(guò)程，直到確定的分解水平，下圖是二層小波分解的示意圖。圖6 圖像多尺度分解，(a)一層分解，(b)二層分解 圖像的小波特征提取首先對(duì)輸入圖像做J層二維小波分解； 因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有很好的時(shí)頻局部化特性，所以可以將圖像的不同底層特征變換為不同的小波系數(shù)； 輸入圖像經(jīng)過(guò)經(jīng)一層小波分解后，被分成4個(gè)子圖： LL1逼近子圖，它代表輸入圖像水平和垂直兩個(gè)方向的低頻成分； HL1細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻成分； LH1細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的低頻成分和垂直方向的高頻成分； HH1細(xì)節(jié)子圖，

7、它代表輸入圖像水平和垂直方向高頻成分。 在逼近子圖LL1上重復(fù)二維小波分解過(guò)程，進(jìn)行二層小波分解，如此繼續(xù)分解，得到子圖序列LLJ，HLk，LHk，HHk(k=1,2,J)。 小波基與分解層次的選取是非常重要的，目前還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。I(x,y) 128128I1(x,y) 6464I1H(x,y) 6464I1V(x,y) 6464I1D(x,y) 6464I2(x,y) 3232I2H(x,y) 3232I2V(x,y) 3232I2D(x,y) 3232I3(x,y) 1616I3H(x,y) 1616I3V(x,y) 1616I3D(x,y) 1616I4(x,y) 88I4H(x,y) 88I4V(x,y) 88I4D(x,y) 88圖7 圖像I(x,y)的多尺度分解小波基的選取一般考慮下列因素： 線(xiàn)性相位：如果小波具有線(xiàn)性相位或至少具有廣義線(xiàn)性相位，則可以避免小波分解和重構(gòu)時(shí)的圖像失真，尤其是圖像在邊緣處的失真； 緊支性和衰減性：緊支性和衰減性是小波的重要性質(zhì)，緊支寬度越窄