1、第三章 導數的應用 第一節 微分中值定理 第二節 函數的性質 第三節 洛必達法則 1第二節 函數的性質 一.函數的單調性二.函數的極值本節主要內容:三.函數的最值四.曲線的凹凸性五.曲線的漸近線六.函數的分析作圖法2一、函數的單調性3 定理3.2.1（函數單調性的判定法）設y=f(x)在a,b上連續，在開區間(a,b)內可導，則（1)如果在(a,b)內f (x)0 ，那么函數y=f(x)在a,b上單調增加；（2)如果在(a,b)內f (x)0 由函數圖像可知函數在(-,+)上是單調遞增的當x=0時， y=0 當f(x)在某區間內僅在個別點處的導數為0或不存在，而在其余各點處導數均為正（或負）時

2、，f(x)在該區間仍是單增（或單減）的。 解6例2 討論函數f(x)=ex-x-1的單調性.函數的定義域為(-,+)；當x0時， y0 ,函數在( 0,+ )上單調增加當x0時， y0時， y0 ,函數在( 0,+ )上單調增加當x0時， y0時，ex1+x f (x)= ex-1所以x 0,+ ),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0 令f(x)=ex-1-x ，則f(x)在0,+ )上連續、可導,且當x0時， y0 ,函數在0,+ )上單調增加所以當x0時， ex1+x 利用單調性證明不等式證明12又因為： f(0)=0，所以：當x0時， y0 ,函數在0,+ )上單調增加所以x 0,

3、+ ),有f(x)f(0)，即不等式成立.例7 證明：令則證明13oxyy= (x)Mmab設函數 y = (x)在(a b)內圖形如下圖: 在1處的函數值f(1) 比它附近各點的函數值都要小;而在2處的函數值f(2)比它附近各點的函數值都要大;但它們又不是整個定義區間上的最小、最大值,為此,我們引入極值與極值點的概念. 二、函數的極值14 定義3.2.1 設函數f(x)在x0的某領域N(x0,)內有定義， ，都有（1）f(x)f(x0)成立，則稱f(x0)為函數f(x)的極小值函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點注： 1、極值是指函數值，而極值點是自變量的值；2

4、、函數的極值概念具有局部性；在小范圍內比較，該點的函數值較大或較小，而不是在整個定義域上最大或最小，所以函數的極大值不一定比極小值大；3、函數極值點必出現在區間內部，而不在區間的端點。15f(x)的極小值點:f(x)的極大值點:16 定理3.2.2（極值的必要條件）設函數f(x)在點x0處可導，且在點 x0處取得極值，那么函數 f(x)在點x0處的導數為零，即 f (x0) =0極值的必要條件171、可導函數的極值點必是它的駐點.從而有幾何意義: 可導函數的圖形在極值點處的切線是與 x 軸平行的 (羅爾定理) .2、對可導函數來說, 駐點不一定是極值點.即曲線上有水平切線的地方, 函數不一定有

5、極值. 如oxy則x =0 為 f (x) = x3 的駐點.如圖：x =0 不是f (x) = x3 的極值點.說明：183、對于函數y = |x| , 我們已知 x = 0 是函數的連續不可導點. 但x = 0是函數的極小值點. 如圖.oxy=|x|實際上, 連續不可導點也可能是極值點. 因而函數還可能在連續不可導點處取得極值.19 定理3.2.3（極值的第一充分條件）設函數f(x)在點x0某個空心鄰域內可導（ f (x0)可以不存在），x為該鄰域內任意一點，（1）當x0 ，當xx0時f (x)0 ，則f(x0)為函數f(x)的極大值；（2）當xx0時 f (x)x0時f (x)0 ，則f

6、(x0)為函數f(x)的極小值；（3）當xx0時f (x)的符號相同，則f(x0)不是函數f(x)的極值極值的充分條件20(是極值點情形)(不是極值點情形)21 定理3.2.4（極值的第二充分條件）設函數f(x)在點x0處二階可導，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，則（1）當f (x0) 0時，函 f(x)在點x0 處取得極小值注： 1、第一充分條件適用于駐點和不可導點，而第二充分條件只能對駐點判定；2、當f (x0) =0時，無法判定 f(x)在點x0處是否有極值22（1）確定函數f(x)的考察范圍，（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數定義域）；（2）求出函數f(x)的導數 f (

7、x)；求出函數 f(x)的所有駐點及不可導點，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的點； （3）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判定上述駐點或不可導點是否為函數的極值點，并求出相應的極值 求極值的方法：23例8 求函數 的極值（3）列表（1）函數的定義域為(-,+)；(-,-2) 0(-2,-4/5)-4/5(1,+ )+極大值 0-0+所以f(x)在x=0處取得極大值為0，在x=-4/5 處取得極小值為-8.4（2） ,無不可導點令f (x)=0 ，得 0極小值 -8.4(-4/5，1)+10無極值解24例9 求函數 的極值令f (x)=0 ，得（1）函數的定義域為(-,+)；

8、 所以f(x)在x=-1處取得極大值為17，在x=3 處取得極小值為-47（2） ,無不可導點（3）因為解25 定義3.2.2 設函數f(x)在區間I上有定義，x1,x2I ， （1）若xI ，都有f(x)f(x1) 成立，則稱f(x1)為函數 f(x)的最大值， x1為函數f(x)的最大值點；（2）若xI ，都有f(x)f(x2)成立，則稱f(x2)為函數f(x)的最小值，x2為函數f(x)的最小值點 函數的最大值與最小值統稱為函數的最值，使函數取得最值的點稱為最值點三、函數的最值26271. 最值是一個整體概念，在某一范圍內，最值若存在，只能是唯一的；2. 最值點可以是 I 內部的點，也可

9、以是端點；3. 如果最值點不是I 的端點，那么它必定是極值點；極值點不一定是最值點4. 當函數存在唯一的極值點時，函數的極大（小）值就是函數的最大（小）值.說明：28（2）求出函數 f (x)在內的所有可能極值點：駐點及不可導點，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的點； （3）計算函數f (x)在駐點、不可導點處及端點a，b處的函數值； （4）比較這些函數值，其中最大者的即為函數的最大值，最小者的即為函數的最小值 （1）確定函數f(x)的考察范圍（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數定義域）；求最值的方法（一）：29例10 求函數 在區間0,4 上的最值.（3）計算得f(-1)=32

10、,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57（1）考察區間為0,4 ； 所以f(x)在區間 0,4上的最大值是f(4)=57 ,最小值是 f(2)=5 （2） ,無不可導點令f (x)=0 ，得解30（1）當f (x0) 是極大值時， f (x0) 就是區間I上的最大值； （2）當f (x0) 是極小值時， f (x0) 就是區間I上的最小值. 設函數f(x)在區間I內可導，且只有唯一駐點x0，又x0是f(x)的極值點，則（）（）求最值的方法（二）：31xR,有令 f (x)=0有唯一駐點假設例11 證明：xR,有又所以函數f(x)在x=1/2 處取得極小值，即最小值因而xR,有f(x)0

11、即證明32 在實際問題中,往往根據問題的性質就可以斷定可導函數f(x) 必存在最大值(或最小值),而且一定在定義區間內部取到.這時,如果f(x)在定義區間內部只有唯一駐點x0,那么,可以斷定f(x0)就是最大值(或最小值). (不必討論f(x0)是否為極值).求最值的方法（三）：33例12 要做一個容積為V的有蓋圓柱形水桶，問半徑r與桶高h如何確定，可使所用材料最省？假設水桶表面積為S，則容積要使所用材料最省，就要使水桶表面積最小解34令S(r)=0,得唯一的駐點此時h=2r0 ，所以當半徑r為 ，桶高h為 時，可使所用材料最省35(1)根據題意建立函數關系式y=f(x)；(2)根據實際問題確

12、定函數的定義域；(3) 求出駐點；若定義域為開區間且駐點只有一個，則該駐點所對應函數值就是所求. 如果駐點有多個，且函數既存在最大值也存在最小值，則需比較這幾個駐點處的函數值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.實際問題求最值36曲線的凹凸性是描述函數性狀的一個更深入的概念.例如：yxo四、曲線的凹凸性37（1）（2）xyoxyo曲線(1)上任意兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2)之間的弦上的點位于曲線相應點的下面，即曲線在弦之上；曲線(2)則相反，曲線在弦之下.幾何解釋38 定義3.2.3 設f(x)在區間a,b上連續 如果對(a,b)內任意兩點x1 x2 恒有 那么稱

13、f(x)在a,b上的圖形是凹的（記為“”）；如果恒有那么稱f(x)在a,b上的圖形是凸的（記為“ ”）；39(1)觀察切線與曲線的位置關系.(1) 凹曲線位于其任一點切線的上方；凸曲線位于其任一點切線的下方(2)觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關系.(2) 凹切線斜率單調遞增；凸切線斜率單調遞減觀察與思考40 定義3.2.4 曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點如果(x0, f(x0)是拐點且f (x0)存在, 問f (x0)=？如何找可能的拐點？如何確定曲線yf(x)的拐點？oxyy= (x)aABbcC討論41(1)在拐點(x0, f(x0)處f (x0)=0或f (x0)不存在. (2)只有

14、f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點.(3) 如果在x0的左右兩側f (x)異號, 則(x0, f(x0)是拐點. (2)拐點是曲線上的點, 從而拐點的坐標需用橫坐標與縱坐標同時表示, 不能僅用橫坐標表示. 這與駐點及極值點的表示方法不一樣.(1)拐點一定是f (x)=0或不存在的點，但是f (x)=0或不存在的點不一定都是拐點.結論注意42 定理3.2.5 設f(x)在a b上連續 在(a b)內具有二階導數. 若在(a b)內f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 曲線凹凸性判定定理43若曲線

15、y=f(x)在點x0連續， f (x0)=0或不存在， f (x)在x0兩側異號，則點(x0, f(x0)是曲線的一個拐點(1)確定函數的定義域；(2)在定義域內求 f (x)=0的點和f (x)不存在的點；(3)用上述點劃分定義域，并列表判別函數的凹凸性拐點的判定：求曲線凹向區間和拐點的步驟：44f (x) 沒有為0的點，但是x=4時， f (x)不存在，例13 討論曲線 的凹向區間與拐點xf (x)f (x)(-,4)4(4 ,+)+-不存在拐點(4,2)（1）函數的定義域為(-,+)；解45 定義3.2.5 若曲線L上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時,點P與一條定直線C的距離趨于零,則稱

16、直線 C為曲線L的漸近線當C垂直于x軸時,稱C為曲線L的垂直漸近線; 當C垂直于y軸時,稱C為曲線L的水平漸近線五、曲線的漸近線46例如，對于曲線 來說，所以直線 y = 0 是曲線的水平漸近線若 或 則稱直線 y = b 為曲線 y = f (x) 的水平漸近線 .yxOy = 0（1）水平漸近線47所以直線都是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線yxOy = arctan x48例如，對于曲線y = ln x來說，所以直線 x = 0 是曲線y = ln x的垂直漸近線若 ,或 或 則稱直線 x = x0 為曲線 y = f (x) 的垂直漸近線.yxOy = ln x（2）垂直漸近線49所以直線x=1是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線1yxO50所以，y=2為水平漸近線;例14 求曲線 的漸近線.所以，x=1為垂直漸近線.解51所以，x=0為垂直漸近線;例15 求曲線 的漸近線.所以，y=-2為水平漸近線.解52作函數y=f(x)圖象的一般步驟為：（1）確定函數y=f(x)的定義域，分析函數的奇偶性、周期性；（2）求函數的一階導數，二階導數，并求出一階導數、二階導數為零的點及導數不存在的點；（3）列表求函數的單調區間、極值，確定