1、第三節 四邊簡支的矩形薄板在均布壓力下的壓曲第二節 薄板的壓曲第一節 薄板受縱橫荷載的共同作用第六章 薄板的穩定問題第四節 圓形薄板的壓曲 第五節 用能量法求臨界載荷 第六節 用能量法求臨界載荷舉例 當薄板僅受橫向荷載作用時,按薄板小撓度彎曲理論求解。 6-1 薄板受縱橫荷載的共同作用 第六章 薄板的穩定問題 當薄板僅受縱向荷載作用時,按平面應力問題求解。 第一節 薄板受縱橫荷載的共同作用平衡微分方程 當薄板受縱橫荷載共同作用時,若縱向荷載很小,中面內力也橫小,可不計其對薄板彎曲的影響。疊加原理成立。 當薄板受縱橫荷載共同作用時, 若中面內力并非很小,需考慮中面內力對薄板彎曲的影響。疊加原理不

2、成立。 考慮薄板任一微分塊的平衡。 由通過微分塊中心而平行于z軸的力矩平衡，有: 平衡微分方程第一節 薄板受縱橫荷載的共同作用(6-1) 由x和y方向的投影平衡,有: 由z方向的投影平衡: 計入橫向剪力、中面拉壓力、中面平錯力的影響（略去三階微量），有：平衡微分方程第一節 薄板受縱橫荷載的共同作用(6-2) 具體求解：具體求解第一節 薄板受縱橫荷載的共同作用 平面平衡狀態的性態：穩定的和不穩定的。 6-2 薄板的壓曲第六章 薄板的穩定問題薄板的壓曲 穩定的平面平衡狀態：薄板受橫向干擾力而彎曲，當干擾力除去后薄板恢復平面平衡狀態。 不穩定的平面平衡狀態：當縱向荷載超過某一臨界值，薄板受橫向干擾力

3、而彎曲，當干擾力除去后薄板無法恢復平面平衡狀態。薄板在邊界上受有縱向荷載時： 薄板在縱向荷載作用下處于彎曲的平衡狀態，稱縱彎曲或壓曲，也稱為屈曲。第二節 薄板的壓曲 薄板的壓曲 當縱向荷載達到臨界值后,荷載的稍許增加將引起位移和內力的急劇增大,甚至導致薄板的破壞。薄板的小撓度彎曲理論也不再適用。 確定薄板的臨界荷載為薄板穩定問題的主要分析內容。 臨界荷載：使薄板可能發生壓曲時縱向荷載的最小值。第二節 薄板的壓曲 薄板的壓曲 薄板壓曲的微分方程： 求臨界荷載的問題：在滿足邊界條件下微分方程的非零解，確定縱向荷載的最小值。(6-3) 設有四邊簡支的矩形薄板，它的一對邊受有均布壓力，在板邊的每單位長

4、度上為 ，試確定臨界荷載。6-3 四邊簡支的矩形薄板在均布壓力下的壓曲第六章 薄板的穩定問題 算例分析第三節 四邊簡支的矩形薄板 算例分析中面內力有：由壓曲微分方程（6-3），得：取撓度表達式為：滿足邊界條件第三節 四邊簡支的矩形薄板 算例分析由壓曲微分方程，得：要使系數 不全等為零，要求：縱向荷載臨界值需滿足的壓曲條件：（6-4）第三節 四邊簡支的矩形薄板 要求最小的臨界荷載，要求 ，即在y方向只有一個正弦半波。得：其中： 算例分析（6-5）（6-6）第三節 四邊簡支的矩形薄板 由此求得： 算例分析（6-7）第三節 四邊簡支的矩形薄板 若四邊簡支矩形薄板在雙向受有均布壓力： 算例分析由壓曲微

5、分方程有：（6-8）第三節 四邊簡支的矩形薄板 對不同的比值 ，均可由式（6-8）中取不同的m和n，求得臨界荷載 。 算例分析 當 為拉力時， 取負值，式（6-8）求臨界荷載仍適用。 針對圓形薄板，宜采用極坐標。可利用坐標變換由直角坐標得到極坐標下的相關方程。6-4 圓形薄板的壓曲第六章 薄板的穩定問題 圓形薄板的壓曲 應力分量的變換：第四節 圓形薄板的壓曲壓曲微分方程中面內力的變換：壓曲微分方程的變換：（6-9）第四節 圓形薄板的壓曲例題例題：設有圓形薄板，沿板邊受有均布壓力 的 作用，求臨界荷載。中面內力：解：按平面應力問題進行分析。 得應力分量： 當 ，薄板的環向圍線分別具有一個及兩個波

6、，其余類推。 第四節 圓形薄板的壓曲例題由壓曲微分方程（6-9），有：注：當 ，薄板的壓曲形式是軸對稱的。 試取微分方程的解為：第四節 圓形薄板的壓曲例題由壓曲微分方程得：注：引入量綱一的變量 整理后得： 第四節 圓形薄板的壓曲例題 已知Bessel微分方程其解為： 由薄板中心擾度條件和邊界條件確定待定系數 。 由此得： 第四節 圓形薄板的壓曲例題 壓曲微分方程的解可表示為：（6-10） 這樣，壓曲微分方程（6-9）的解為： 在薄板中心處： 第四節 圓形薄板的壓曲例題（6-11） 結論：利用板邊的兩個邊界條件，由（6-11）得出關于的一組兩個齊次線性方程。命該方程組的系數行列式等于零，即為計算

7、臨界荷載的方程。第四節 圓形薄板的壓曲求解過程 說明：當圓形薄板在中心有圓孔，并在板邊和孔邊同時均布壓力時，其求解過程為：薄板處于平面平衡狀態是否穩定的判別:6-5 用能量法求臨界荷載第六章 薄板的穩定問題 能量法 若薄板受有橫向干擾力而進入某一彎曲狀態,在干擾力除去后,它是否恢復原來的平面狀態。薄板處于平面平衡狀態是否穩定的能量判別: 當薄板平面狀態進入彎曲狀態時，勢能的增加還是減少。若勢能增加：表明該平面狀態下的勢能為極小， 對應于穩定平衡。第五節 用能量法求臨界荷載 能量判據若勢能減少：表明該平面狀態下的勢能為極大， 對應于不穩定平衡。若勢能保持不變：表明該平面狀態下的平衡是穩 定平衡的

8、極限，相應與這一極限狀 態的縱向荷載則為臨界荷載。由能量法求臨界荷載的依據：第五節 用能量法求臨界荷載 能量判據 薄板從平面狀態進入鄰近的彎曲狀態時，縱向荷載所做的功等于形變勢能的增加。形變勢能的增加為薄板的全部彎曲形變勢能。第五節 用能量法求臨界荷載 功能方程功能方程：形變勢能的增加等于縱向荷載所做的功。其中彎曲形變勢能：（6-12）（6-13）（6-14）以 為例，分析其做功：第五節 用能量法求臨界荷載 能量法縱向荷載所做的功：即為中面內力所做的功。對圖示薄板： 左右兩邊的內力 原來相距 ，當薄板彎曲后的距離為：同理，內力 所做的功為：第五節 用能量法求臨界荷載 能量法內力 所做的功為：

9、可先按 方向的拉壓力和伸縮，然后利用（a）和（b）計算，得到：第五節 用能量法求臨界荷載 能量法對于平錯力 所做的功為： 縱向荷載在壓曲過程中整體做功：第五節 用能量法求臨界荷載 能量法微分塊上全部中面內力做功:（6-15）第五節 用能量法求臨界荷載 能量法 求解過程: 其中 滿足位移邊界條件的函數，而 是互不依賴的待定系數。 由最小勢能原理，有：第五節 用能量法求臨界荷載 能量法具體求解：（6-16） 設定撓度表達式：（6-17） 由（6-17）給出求 的m個齊次線性方程。 為了 具有非零解，即要求 具有非零解，那么該齊次線性方程組的系數行列式等于零，則得到求解臨界荷載的方程。第五節 用能量

10、法求臨界荷載 能量法 對于加肋板，仍然可按能量法求解。 計入肋條的形變勢能，歸入 的表達式。第五節 用能量法求臨界荷載 能量法 倘若肋條有直接縱向荷載作用，應計入該縱向荷載在薄板壓曲過程中所做的功，歸入 的表達式。然后再進行計算。6-6 能量法求解實例第六章 薄板的穩定問題 能量法 中面內力為：例題1：設有四邊簡支的矩形薄板，它的一對邊受有均布壓力，在板邊的每單位長度上為 ，試確定臨界荷載。第六節 能量法求解實例 實例 形變勢能：設取壓曲后撓度表達式： 外力做功：第六節 能量法求解實例 實例最小勢能原理，有：第六節 能量法求解實例 例題 取撓度表達式（僅取一項）：例題2：設有四邊簡支的矩形薄板

11、，它的一對邊中點受有大小相等而方向相反的兩個集中力均布壓力 作用。第六節 能量法求解實例 實例 形變勢能： 外力做功：第六節 能量法求解實例 實例最小勢能原理，有：第六節 能量法求解實例 例題 若取撓度表達式（取兩項）： 形變勢能： 外力做功：第六節 能量法求解實例 實例最小勢能原理：第六節 能量法求解實例 實例命系數行列式等于零：第六節 能量法求解實例 實例討論（ ）：（1）當撓度僅取一項（2）當撓度取兩項（3）當撓度取三項或更多項第六節 能量法求解實例 實例 結論：（1）當薄板在兩對邊上受有任意多個成對的、 大小相等而方向相反的縱向荷載時，均可 用能量法求解臨界荷載。（2）若兩對邊荷載分布方式相同、大小相等而 方向相反，也可求得臨界荷載。