1、平面向量與數學文化1 . （2018 貴陽模擬）如圖，在 ABC中，BE是邊AC的中線，。是BE邊的中點，若AB= a, AC= b,則AO?于（） TOC o 1-5 h z 11A. 22 + 2ba十；b1c.4a + 2b11Dqa+4b答案 B解析 :,在ABW, BE是AC邊上的中線,1 AE= 2AC O是BE邊的中點，-1 AO= 2(AB+ AE,1 1 AO= 2AB 4ACAB= a, AC= b, TOC o 1-5 h z -11AO= -a b. 242. （2018 上饒模擬）設D, E為正三角形 ABC3 BC邊上的兩個三等分點，且BC= 2,則京-AE等于（）

2、482626A.9 B. 9 C. 9 D. T答案 C解析如圖，|AB = |AC = 2, AO =60DD E是邊BC的兩個三等分點，T T J 1 7 ) 占1 7. AD AB 以升 BCj AO 3CBc 再修二%2-1-1-2-產田什3AC/給升3AC TOC o 1-5 h z 25_ _ 2.2=91 AB +9AB- AO 91AC2 , 5 c 1 2 , 26 -X4+-X2X2X -+-X4=.992 99（2018 -昆明模擬）程大位算法統宗里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數來言.務要分明依次弟，孝和休惹外人傳. ”意為：996斤棉

3、花，分別贈送給 8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數為（）A. 65 B , 176 C , 183 D . 184答案 D解析 根據題意可得每個孩子所得棉花的斤數構成一個等差數列an,其中d=17, n = 8, $=996.88X7由等差數列前n項和公式可得8a1 + X17= 996,解彳導3 = 65.由等差數列通項公式得 a8=65+（8 -1）X17= 184.八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形 ABCDEFGH其中OA= 1,則給出下列

4、結論：/2HD-BF= 0;OA O氏一看；OBOH=小 OE | AH-FH =42#.其中正確結論的個數為（）八B圖I圖2A. 4 B . 3 C , 2 D , 1答案 B解析 正八邊形 ABCDEFGH, HDL BF,T T _三一一:HD-BF= 0,故正確；OA- OD= 1X1XCOS /= 一，故正確；OBOH=4 OA= 卡 OE故正確；| AH- FH = |AF =|OF- OA,貝“AFI 2= 1 + 1-2X 1X1Xcos 3-=2+2,綜上，正確的結論為，故選B.5.（2018 聊城模擬）在ABC,BC&上的中線AD的長為2,點P是 ABC在平面上的任意一點，

5、則PA。PB+ PA- PC勺最小值為（）A. 1 B . 2 C.2 D . - 1答案 C解析建立如圖所示的平面直角坐標系，使得點D在原點處，點A在y軸上，則A（0,2）設點P的坐標為（x, y）,則PA= ( -x, 2-y) , PQ= (-x, -y),故 PA- PBPA- POP A- ( pb+pC) =2PA- P0= 2(x2+y2-2y) =2 x2+(y-1)2 -2- 2,當且僅當x=0, y=1時等號成立.所以PAPB+ PA- PC勺最小彳！為2.（2018 石家莊模擬）三國時期吳國的數學家創造了一副“勾股圓方圖”，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明，如圖所

6、示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形（直角邊長之比為 1 ： 丫3）圍成的一個大正方形，中間部分是一個小正方形，如果在大正方形內隨機取一點，則此點取自中間的小正方形部分的概率是（）WB.jC. 1 坐D. 1半答案 C解析由題意可知，設直角三角形的直角邊長分別為k, /k（k0）,則大正方形的邊長為 2k,小正方形的邊長為（5一1）k,所以大正方形的面積為 4k：小正方形的面積為（J31）2k：故所求概率為 謂/4=1 .（2018 -南平質檢）我國古代著名的數學著作有 周髀算經、九章算術、孫子算經、五曹算經、夏 侯陽算經、孫丘建算經、海島算經、五經算術、綴術、緝古算機等10部算書，被稱為

7、“算經十書”.某校數學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代著名的數學著作產生濃厚的興趣.一天，他們根據最近對這十部書的閱讀本數情況說了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁： “丙比乙多”，有趣的是，他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數最少的一個 （他們四個人對這十部書I閱讀本數各不相同）.甲、乙、丙、丁按各人讀書本數由少到多的排列是（）A.乙甲丙丁B.甲丁乙丙C.丙甲丁乙D.甲丙乙丁答案 D解析由題意可列表格如下:甲乙丙丁甲說丁乙乙說甲 丙丙說丙丁丁說丙乙對于選項A,甲，丁說的都對，不符合只有一個人對；對于選項B,丙，丁說的都對

8、，也不符合只有一個人對；對于選項C,乙說的對，但乙不是最少的，不符合；對于選項D,甲說的對，也正好是最少的，符合，選D. （2018 河北省衡水中學模擬 ）已知10A = | OB =2,點C在線段AB上，且| 0C的最小值為1,則| 6AtoB|（tR）的最小值為（）A.娘 B. 3 C . 2 D.小答案 B解析 | oa = 10B =2二點0在線段AB的垂直平分線上.點C在線段AB上，且| 0C的最小值為1,:當C是AB的中點時| 0C最小，此時| 0C =1，一 1 T - T 一 一;此時0由0C勺夾角為60 ,OA 0B勺夾角為120 .又| OA-t0B| 2=0A+ t20B

9、-2toA- Ob 2c=4+ 4t -2t - 2 - 2 - cos 120 =4t2 + 4t + 4= 4+2 / + 33，一1 ，一，當且僅當t=2時等號成立.| 0A tOB|2的最小值為3,| OA- t0B|的最小值為小.已知向量a=(2,4) , | b| = 2, | a 2b| =8,則a在a+b方向上的投影為13 ,10 答案F- 解析 由 a=(2,4) , |b|=2, |a 2b|=8,可知 |a|=pT7 =24(a-2b)=4+36-4X 4= 2 6.11 .(2018 石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是 3，|a| =1,| b| =，,則向量a 2b與

10、a的夾角為 32 正答案V 3A,1111冗 1解析 a - b=| a| | b| cos 勾=力 3 4, c、2 c1a , （a - 2b） = a - 2a , b= 2,| a-2b| = y（a 2b j=小2- 4a , b+ 4b2 =1 4x 4+4義 4 = 1.設向量a2b與a的夾角為 o , cos e =an-膽1b）=， | all a 2bl 2又因為e e0,無,冗所以 0 =.=a2 + 4b2-4a - b=64,則 a , b= 7,所以a在a+b方向上的投影為a (a+ b 52+ a , b| a+ b|.a2+ b+2a b20-713 10.20

11、+4+2X (7)所示，則程序框圖中正整數m的值為. . (2018 煙臺模擬)如果 |a|=2, |b|=3, a - b=4,則 |a2b| 的值是.答案 2 6解析由| a| = 2, | b| = 3, a b= 4,z,得1 a-2兇m 7a工砧4ab答案 4=100,5x + 3y + z100,解析由s 3x+y+ z=得y = 25 7x,故x必為4的倍數,當 x = 4t 時，y= 25 7t,由y = 257t0得，t的最大值為3故判斷框應填入的是t4?, 即 mr= 4.13.若非零向量a,b滿足|b|=q2|a|若(a+2b)(3 atb) ,a與b的夾角等于 弓,則實

12、數t的值為答案解析 兀由a與b的夾角等于彳可得cos4=|rbr = 2|a|2由(a+ 2b)(3 a tb)可得_2一 一 _ 一 _2 一2=0,3a ta - b+6a , b2tb = 0即 3| a|2 + (6 1)| a| 2 4t| a|又a為非零向量,9t = 5.所以|a|2，0,則有3+6-1 -4t =0,解得14. (2018 -咸陽模擬)已知圓的半徑為1,A, B, C, D為該圓上四個點，且 ABR AC AD則 ABC面積的最大值為 答案1 解析 如圖所示，由AB+ AC= AD,四邊形ABDC&平行四邊形,fi又A, B, C, D四點共圓，:四邊形ABDC為矩形，即BC為圓的直徑,11 aB+aC 1 abC勺面積 s= 2AB ac萬 2=4aD, :當AD圓的直彳時， ABC勺面積最大. .當 AB= AC 時，r ，-1 abC勺面積取彳I最大值 4x4= 1.312. （2018 寧德質檢）我國南北朝時期的數學家張