1、一次函數(shù)1、（2013陜西）如果一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（2,m），B（n，），那么一定有（ ）Am0，n0 Bm0，n0 Cm0Dm0，n0考點：一般考查的是一次函數(shù)或者反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。解析：因為A，B是不同象限的點，而正比例函數(shù)的圖象要不在一、三象限或在二、四象限，由點A與點B的橫縱坐標(biāo)可以知：點A與點B在一、三象限時：橫縱坐標(biāo)的符號應(yīng)一致，顯然此題不可能，點A與點B在二、四象限：點A在四象限得m0，點B在二象限得n0，t0，b=1+t當(dāng)t=3時，b=4（2）當(dāng)直線過M（3,2）時解得b=55=1+tt=4當(dāng)直線過N（4,4）時解得 b=88

2、=1+tt=74t7(3)t=1時，落在y軸上；t=2時，落在x軸上；39、（2013牡丹江壓軸題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=12，tanACO=，（1）求B、C兩點的坐標(biāo)；（2）把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析式；（3）若點M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點N，使以O(shè)、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：一次函數(shù)綜合題3718684分析：（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標(biāo)即可得到；（2）直線DE是AC的中垂線，利用待定系數(shù)法以及互相垂直的兩直線的關(guān)系即可

3、求得DE的解析式；（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對角線兩種情況進行討論利用三角函數(shù)即可求得N的坐標(biāo)解答：解：（1）在直角OAC中，tanACO=，設(shè)OA=x，則OC=3x，根據(jù)勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，即9x2+3x2=144，解得：x=2故C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）；（2）直線AC的斜率是：=，則直線DE的斜率是：F是AC的中點，則F的坐標(biāo)是（3，3），設(shè)直線DE的解析式是y=x+b，則9+b=3，解得：b=6，則直線DE的解析式是：y=x6；（3）OF=AC=6，直線DE的斜率是：DE與x軸夾角是60，當(dāng)FM是菱形的邊時（如圖1），ONFM，則NOC=

4、60或120當(dāng)NOC=60時，過N作NGy軸，則NG=ONsin30=6=3，OG=ONcos30=6=3，則N的坐標(biāo)是（3，3）；當(dāng)NOC=120時，與當(dāng)NOC=60時關(guān)于原點對稱，則坐標(biāo)是（3，3）；當(dāng)OF是對角線時（如圖2），MN關(guān)于OF對稱F的坐標(biāo)是（3，3），F(xiàn)OD=NOF=30，在直角ONH中，OH=OF=3，ON=2作NLy軸于點L在直角ONL中，NOL=30，則NL=ON=，OL=ONcos30=2=3故N的坐標(biāo)是（，3）則N的坐標(biāo)是：（3，3）或（3，3）或（，3）40、（2013綏化壓軸題）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相

5、交于B點，且OA，OC（OAOC）的長分別是一元二次方程x214x+48=0的兩個實數(shù)根（1）求C點坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標(biāo)考點：一次函數(shù)綜合題分析：（1）通過解方程x214x+48=0可以求得OC=6，OA=8則C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k0）把點A、C的坐標(biāo)分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標(biāo)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征進行

6、解答解答：解：（1）解方程x214x+48=0得x1=6，x2=8OA，OC（OAOC）的長分別是一元二次方程x214x+48=0的兩個實數(shù)根，OC=6，OA=8C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k0）由（1）知，OA=8，則A（8，0）點A、C都在直線MN上，解得，直線MN的解析式為y=x+6；（3）A（8，0），C（0，6），根據(jù)題意知B（8，6）點P在直線MNy=x+6上，設(shè)P（a，a+6）當(dāng)以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：當(dāng)PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P1（4，3）；當(dāng)PC=BC時，a2+（a+66）2=64

7、，解得，a=，則P2（，），P3（，）；當(dāng)PB=BC時，（a8）2+（a+66）2=64，解得，a=，則a+6=，P4（，）綜上所述，符合條件的點P有：P1（4，3），P2（，）P3（，），P4（，）點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題其中涉及到的知識點有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)解答（3）題時，要分類討論，防止漏解另外，解答（3）題時，還利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想41、（2013常州壓軸題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（a，0），（其中a0），直線l過動點M（0，m）（0m2），且與

8、x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點D、E，P點在y軸上（P點異于C點）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點Q，連接PA（1）寫出A、C兩點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)0m1時，若PAQ是以P為頂點的倍邊三角形（注：若HNK滿足HN=2HK，則稱HNK為以H為頂點的倍邊三角形），求出m的值；（3）當(dāng)1m2時，是否存在實數(shù)m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代數(shù)式表示）；若不能，請說明理由考點：一次函數(shù)綜合題3718684分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求解；（2）如答圖1所示，解題關(guān)鍵是求出點P、點Q的坐標(biāo)，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答圖2所示，利用相似三角形

9、，將已知的比例式轉(zhuǎn)化為：，據(jù)此列方程求出m的值解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=2x+2中，令y=0，得x=1；x=0，得y=2，A（1，0），C（0，2）；（2）當(dāng)0m1時，依題意畫出圖形，如答圖1所示PE=CE，直線l是線段PC的垂直平分線，MC=MP，又C（0，2），M（0，m），P（0，2m2）；直線l與y=2x+2交于點D，令y=m，則x=，D（，m），設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，則有，解得：k=2，b=2m2，直線DP的解析式為：y=2x+2m2令y=0，得x=m1，Q（m1，0）已知PAQ是以P為頂點的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，即，整理得：（m1）2=，解得：m=（

10、1，不合題意，舍去）或m=，m=（3）當(dāng)1m2時，假設(shè)存在實數(shù)m，使CDAQ=PQDE依題意畫出圖形，如答圖2所示由（2）可知，OQ=m1，OP=2m2，由勾股定理得：PQ=（m1）；A（1，0），Q（m1，0），B（a，0），AQ=m，AB=a+1；OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=直線lx軸，CDECAB，；又CDAQ=PQDE，即，解得：m=1m2，當(dāng)0a1時，m2，m不存在；當(dāng)a1時，m=當(dāng)1m2時，若a1，則存在實數(shù)m=，使CDAQ=PQDE；若0a1，則m不存在點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了坐標(biāo)平面內(nèi)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、勾股定理、解方程等知識點題

11、目綜合性較強，有一定的難度第（3）問中，注意比例式的轉(zhuǎn)化，這樣可以簡化計算42、（2013濱州壓軸題）根據(jù)要求，解答下列問題：（1）已知直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y=x，請直接寫出過原點且與l1垂直的直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30求直線l3的函數(shù)表達(dá)式；把直線l3繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到的直線l4，求直線l4的函數(shù)表達(dá)式（3）分別觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達(dá)式，請猜想：當(dāng)兩直線垂直時，它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)之間有何關(guān)系？請根據(jù)猜想結(jié)論直接寫出過原點且與直線y=垂直的直線l5的函數(shù)表達(dá)式考點：一次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)

12、題意可直接得出l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）先設(shè)直線l3的函數(shù)表達(dá)式為y=k1x（k10），根據(jù)過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30，直線過一、三象限，求出k1=tan30，從而求出直線l3的函數(shù)表達(dá)式；根據(jù)l3與l4的夾角是為90，求出l4與x軸的夾角是為60，再設(shè)l4的解析式為y=k2x（k20），根據(jù)直線l4過二、四象限，求出k2=tan60，從而求出直線l4的函數(shù)表達(dá)式；（3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達(dá)式可得出它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，再根據(jù)這一關(guān)系即可求出與直線y=垂直的直線l5的函數(shù)表達(dá)式解答：解：（1）根據(jù)題意得：y=x；（2）設(shè)直線l3

13、的函數(shù)表達(dá)式為y=k1x（k10），過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30，直線過一、三象限，k1=tan30=，直線l3的函數(shù)表達(dá)式為y=x；l3與l4的夾角是為90，l4與x軸的夾角是為60，設(shè)l4的解析式為y=k2x（k20），直線l4過二、四象限，k2=tan60=，直線l4的函數(shù)表達(dá)式為y=x；（3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達(dá)式可知，當(dāng)兩直線互相垂直時，它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，過原點且與直線y=垂直的直線l5的函數(shù)表達(dá)式為y=5x點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)的解析式的求法，關(guān)鍵是根據(jù)銳角三角函數(shù)求

14、出k的值，做綜合性的題要與幾何圖形相結(jié)合，更直觀一些43、（2013攀枝花壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，ABCD，點B（10，0），C（7，4）直線l經(jīng)過A，D兩點，且sinDAB=動點P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿BCD的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線ADC相交于點M，當(dāng)P，Q兩點中有一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動設(shè)點P，Q運動的時間為t秒（t0），MPQ的面積為S（1）點A的坐標(biāo)為（4，0），直線l的解析式為y=x+4；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)

15、的t的取值范圍；（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；（4）隨著P，Q兩點的運動，當(dāng)點M在線段DC上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當(dāng)t為何值時，QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值考點：一次函數(shù)綜合題分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點D的坐標(biāo)，利用sinDAB=特殊三角函數(shù)值，得到AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標(biāo)；由點A、點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；（2）解答本問，需要弄清動點的運動過程：當(dāng)0t1時，如答圖1所示；當(dāng)1t2時，如答圖2所示；當(dāng)2t時，如答圖3所示x k b 1 . c o m（3）本問考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指

16、定區(qū)間上的極值，根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值；（4）QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解解答：解：（1）C（7，4），ABCD，D（0，4）sinDAB=，DAB=45，OA=OD=4，A（4，0）設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，則有，解得：k=1，b=4，y=x+4點A坐標(biāo)為（4，0），直線l的解析式為：y=x+4（2）在點P、Q運動的過程中：當(dāng)0t1時，如答圖1所示：過點C作CFx軸于點F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5過點Q作QEx軸于點E，則BE=BQcosCBF=5t=3tPE=PBBE=（142t）3t=14

17、5t，S=PMPE=2t（145t）=5t2+14t；當(dāng)1t2時，如答圖2所示：過點C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，則CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，S=PMPE=2t（167t）=7t2+16t；當(dāng)點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，即（2t4）+（5t5）=7，解得t=當(dāng)2t時，如答圖3所示：MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，S=PMMQ=4（167t）=14t+32（3）當(dāng)0t1時，S=5t2+14t=5（t）2+，a=50，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，當(dāng)0t1時，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=1時，S有最大值，最大值為

18、9；當(dāng)1t2時，S=7t2+16t=7（t）2+，a=70，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，當(dāng)t=時，S有最大值，最大值為；當(dāng)2t時，S=14t+32k=140，S隨t的增大而減小又當(dāng)t=2時，S=4；當(dāng)t=時，S=0，0S4綜上所述，當(dāng)t=時，S有最大值，最大值為（4）QMN為等腰三角形，有兩種情形：如答圖4所示，點M在線段CD上，MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，MN=DM=2t4，由MN=MQ，得167t=2t4，解得t=；如答圖5所示，當(dāng)點M運動到C點，同時當(dāng)Q剛好運動至終點D，此時QMN為等腰三角形，t=故當(dāng)t=或t=時，QMN為等腰三角形點評：本題是典型的運動

19、型綜合題，難度較大，解題關(guān)鍵是對動點運動過程有清晰的理解第（3）問中，考查了指定區(qū)間上的函數(shù)極值，增加了試題的難度；另外，分類討論的思想貫穿（2）（4）問始終，同學(xué)們需要認(rèn)真理解并熟練掌握44、（2013寧波壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（0，4），點B的坐標(biāo)為（4，0），點C的坐標(biāo)為（4，0），點P在射線AB上運動，連結(jié)CP與y軸交于點D，連結(jié)BD過P，D，B三點作Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交Q于點F，連結(jié)EF，BF （1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時求證：BDE=ADP；設(shè)DE=x，DF=y請求出y關(guān)于x的函數(shù)

20、解析式；（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由考點：一次函數(shù)綜合題分析：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）先證出BODCOD，得出BOD=CDO，再根據(jù)CDO=ADP，即可得出BDE=ADP，先連結(jié)PE，根據(jù)ADP=DEP+DPE，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，得出DPE=OAB，再證出DFE=DPE=45，最后根據(jù)DEF=90，得出DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=DE，即y=x；（3）當(dāng)=2時，過點F作FHO

21、B于點H，則DBO=BFH，再證出BODFHB，=2，得出FH=2，OD=2BH，再根據(jù)FHO=EOH=OEF=90，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根據(jù)DE=EF，求出OD的長，從而得出直線CD的解析式為y=x+，最后根據(jù)求出點P的坐標(biāo)即可；當(dāng)=時，連結(jié)EB，先證出DEF是等腰直角三角形，過點F作FGOB于點G，同理可得BODFGB，=，得出FG=8，OD=BG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根據(jù)即可求出點P的坐標(biāo)解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=1，則直線AB

22、的函數(shù)解析式為y=x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90，又OD=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，連結(jié)PE，ADP是DPE的一個外角，ADP=DEP+DPE，BDE是ABD的一個外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45，DF是Q的直徑，DEF=90，DEF是等腰直角三角形，DF=DE，即y=x；（3）當(dāng)BD：BF=2：1時，過點F作FHOB于點H，DBO+OBF=90，OBF+BFH=90，DBO=BFH，又DOB=BHF=9

23、0，BODFHB，=2，F(xiàn)H=2，OD=2BH，F(xiàn)HO=EOH=OEF=90，四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，點D的坐標(biāo)為（0，），直線CD的解析式為y=x+，由得：，則點P的坐標(biāo)為（2，2）；當(dāng)=時，連結(jié)EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF是等腰直角三角形，過點F作FGOB于點G，同理可得：BODFGB，=，F(xiàn)G=8，OD=BG，F(xiàn)GO=GOE=OEF=90，四邊形OEFG是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF

24、，8OD=4+2OD，OD=，點D的坐標(biāo)為（0，），直線CD的解析式為：y=x，由得：，點P的坐標(biāo)為（8，4），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，2）或（8，4）點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)知識作出輔助線，列出方程組45、（2013濟寧壓軸題）如圖，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發(fā)向點O做勻速運動，當(dāng)點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF若運動時間為t秒，在