1、關于中值定理及導數應用第一張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理拉格朗日中值定理及中值公式4. 1 中值定理第二張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 一、羅爾定理xO yCx 設連續光滑的曲線 y=f(x) 在端點 A、B 處的縱坐標相等。ABaby=f(x)提問：f (x)？觀察與思考：第三張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月羅爾定理： 如果函數yf(x)在閉區間a, b上連續，在開區間(a, b)內可導，且有f(a)f(b)，那么在(a, b)內至少在一點x ，使得f (x)0。 簡要證明：(1)如果 f(x)=f(a) ，則

2、 f (x)0，定理的結論顯然成立的。 (2)如果有 x(a, b)，使 f(x)f(a)，不妨設 f(x)f(a)，則函數f(x)的最大值點 x 必在(a, b)內。于是因此必有f (x)=0。第四張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月應注意的問題： 如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結論就可能不成立。xO yAB f(x)不滿足條件(1)abxO yAB f(x)不滿足條件(3)abxO yAB f(x)不滿足條件(2)abc羅爾定理： 如果函數yf(x)在閉區間a, b上連續，在開區間(a, b)內可導，且有f(a)f(b)，那么在(a, b)內至少在一點x ，使得f (x)0

3、。第五張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月二、拉格朗日中值定理觀察與思考： 設連續光滑的曲線y=f(x) 在端點A、B處的縱坐標不相等。 f (x)？， f (h)？提問： 直線AB的斜率k=？答案： f (x)f (h) k，C2h xO yABaby=f(x)C1x f(b)f(a)f (x)(ba) 。 f(b)f(a)？ 第六張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 如果函數f(x)在閉區間a, b上連續，在開區間(a, b)內可導，那么在(a, b)內至少有一點x，使得 f(b)f(a)f (x)(ba)。拉格朗日中值定理的幾何意義： 拉格朗日中值定理：C2h xO yABa

4、by=f(x)C1x 第七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月則函數j(x)在區間a, b上滿足羅爾定理的條件，于是至少存在一點x(a, b)，使j (x)0，即 簡要證明：令 由此得 f(b)f(a)f (x)(ba)。 拉格朗日中值定理： 如果函數f(x)在閉區間a, b上連續，在開區間(a, b)內可導，那么在(a, b)內至少有一點x，使得 f(b)f(a)f (x)(ba)。第八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 f(b)f(a)f (x)(ba) ， f(xDx)f(x)f (xqDx)Dx (0q 1)， Dy f (xqDx)Dx (0q 1)。拉格朗日中值公式：

5、拉格朗日中值定理： 如果函數f(x)在閉區間a, b上連續，在開區間(a, b)內可導，那么在(a, b)內至少有一點x，使得 f(b)f(a)f (x)(ba)。第九張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 定理 如果函數f(x)在區間I上的導數恒為零，那么f(x)在區間I上是一個常數。 證明：在區間I上任取兩點x1，x2(x1x2)，應用拉格朗日中值定理，就得 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1x N時f (x)及F (x)都存在且F (x)0； 說明： 在上述定理中，把xa換成x， 把條件(2)換成結論仍成立。第十四張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月“零比零”型

6、未定式的定值法：第十五張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月“零比零”型未定式的定值法：第十六張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月“無窮比無窮”型未定式的定值法：第十七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月其它類型未定式的定值法： 未定式0、00、1、0都可以轉化為 “零比零” 型或 “無窮比無窮” 型未定式。 第十八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月其它類型未定式的定值法： 未定式0、00、1、0都可以轉化為 “零比零” 型或 “無窮比無窮” 型未定式。 第十九張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 1洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但最好能與其它求極限的方法結

7、合使用。例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替代或重要極限時，應盡可能應用，這樣可以使運算簡捷。應注意的問題：第二十張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月應注意的問題： 2本節定理給出的是求未定式的一種方法。當定理條件滿足時，所求的極限當然存在(或為)，但定理條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在。所以不能用洛必達法則。但其極限是存在的：第二十一張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月一、函數單調性的判定法二、確定函數單調區間的步驟4.3 函數單調性的判定法第二十二張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月一、函數單調性的判定法觀察與思考：函數單調增加函數單調減少 函數的單調性與

8、導數的符號有什么關系？ f (x)0 f (x)0 f (x)0，則f(x)在a, b上單調增加； (2)如果在(a, b)內f (x)0，則f(x)在a, b上單調減少。 由拉格朗日中值公式，有 f(x2)= f(x1)+f (x)(x2x1) (x1x0，x2x10，所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0，即 f(x1)f(x2)，這就證明了函數f(x)在(a, b)內單調增加。 證明：只證(1)。在(a, b)內任取兩點x1，x2(x10，則f(x)在a, b上單調增加； (2)如果在(a, b)內f (x)0，所以函數 yxsin x 在0, 2p上的單調增加。函數單調性的

9、判定法： 設函數f(x)在a, b上連續，在(a, b)內可導。 (1)如果在(a, b)內f (x)0，則f(x)在a, b上單調增加； (2)如果在(a, b)內f (x)0，則f(x)在a, b上單調減少。 第二十七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月二、確定函數單調區間的步驟討論： 1設函數 yf(x)在a, b上連續，在(a, b)內可導，x1，x2是 f (x)的兩個相鄰的零點，問f(x)在x1, x2上是否單調？ 2如何把區間a, b劃分成一些小區間，使函數 f(x)在每個小區間上都是單調的？第二十八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 (1)確定函數的定義域； (2

10、)求出導數f (x)； (3)求出f (x)全部零點； (4)判斷或列表判斷； (5)綜合結論。二、確定函數單調區間的步驟第二十九張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 因為在(, 0)內y0，所以函數 yexx1在0, )上單調增加。50551015xyyexx1 解：函數ye x x1的定義域為(, )。 ye x 1。 例2討論函數 ye x x1的單調性。第三十張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月3210123412yx 解：函數的定義域為(, )。 所以函數在0, )上單調增加。 因為x0時，y0，所以函數在(, 0 上單調減少； 因為x0時，y0。所以函數yx3在區間(,

11、 0及0, )內都是單調增加的。 因此函數在整個定義域(, )內是單調增加的。第三十三張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月0123x1y y= 2x-(3-x1) 因為當x1時，f (x)0，所以f(x)在1, )上f(x)單調增加。因此當x1時，f(x)f(1)=0，即第三十四張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 44 函數的極值與最值一、函數的極值及其求法極值的定義取得極值的必要條件、駐點取得極值的第一種充分條件確定極值點和極值的步驟取得極值的第二種充分條件第三十五張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 設函數f(x)在區間(a, b)內有定義，x0(a, b)x1x2x3

12、x4x5x6x7xyOab y=f(x) f(a)和 f(b)是否為極值？ xU(x0)，有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一。如果U(x0)，個極小值；一、函數的極值及其求法極值的定義：第三十六張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點 設函數f(x)在區間(a, b)內有定義，x0(a, b) xU(x0)，有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一。如果U(x0)，個極小值；函數的極值及其求法極值的定義：第三十七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月取得極值的必要條件：觀察極值與切線的關

13、系：在極值點處，如果函數曲線有切線，則切線是水平的xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x)第三十八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 定理1 （必要條件）設函數f(x)在點x0處可導，且在x0處取得極值，那么f (x0)0證明駐點： 使導數為零的點(即方程f (x) 0的實根)叫函數f(x)的駐點應注意的問題： 可導函數f(x)的極值點必定是函數的駐點但反過來，函數f(x)的駐點卻不一定是極值點取得極值的必要條件：第三十九張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 假定f(x0)是極大值，根據極大值的定義，在x0的某個去心鄰域內，對于任何點 x ，f(x)f(x0)均成立于

14、是當xx0時因此因此從而得到 f (x0) 0 x 0時 極小值的情形可類似地證明必要條件的證明：第四十張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 觀察函數f(x)x在x0處的導數與極值情況xyOy=x3在 x=0處， f (0)0.但函數在x=0無極值第四十一張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 定理2（第一種充分條件）設函數f(x)在點x0的一個鄰域內連續，在x0的左右鄰域內可導 (1) 如果在x0的某一左鄰域內f (x)0，在x0的某一右鄰域內 f (x)0，那么函數f(x)在x0處取得極大值； (2) 如果在x0的某一左鄰域內f (x)0，那么函數f(x)在x0處取得極小值； (

15、3)如果在x0的左右鄰域內f (x)不改變符號，那么函數f(x)在 x0處沒有極值取得極值的第一種充分條件：第四十二張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月取得極值的第一種充分條件的幾何意義：x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x) f (x)0 f (x)0 f (x)0在極小值點附近在極大值點附近第四十三張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月確定極值點和極值的步驟： (1)求出導數f (x)； (2)求出f(x)的全部駐點和不可導點； (3)列表判斷（考察f (x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況，以便確定該點是否是極值點，如果是極值點，還要按定理 2 確定對應

16、的函數值是極大值還是極小值）； (4)確定出函數的所有極值點和極值第四十四張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 函數f(x)的極大值為f(1)10，極小值為f(3) 22 例1 求函數f(x)x 33x 29x 5的極值 解 (1)f (x)3x 26x 93(x1)(x3)(2)令3(x1)(x3)0， 得駐點x 11，x 23(3)列表判斷：(3, )22(,1)1(1, 3)3 f (x) 00 f(x) 10極大極小10123x2010y y=x3-3x2-9x+5第四十五張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 例2 求函數f(x)1(x2)2/3的極值解 (1)當x 2時，

17、(2)函數無駐點， x2是導數不存在的點； (3)列表判斷： f (x) f (x)(-，2)2(2，+ )+-不存在1極大值函數f(x)在x2取得極大值，極大值為f(2)1101234x1y f(x)1(x2)2/3第四十六張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月應注意的問題： 如果函數f(x)在駐點x 0處的二導數f (x 0) 0，那么點x 0一定是極值點，并且可以按二階導數f (x 0)的符來判定f(x 0)是極大值還是極小值但如果f (x 0)0，定理3就不能應用 定理2 (第二種充分條件) 設函數f(x)在點x 0處具有二階導數且f (x 0)0，f (x 0)0，那么 (1)當

18、f (x 0)0時，函數f(x)在x 0處取得極小值證明取得極值的第二種充分條件：第四十七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月從而知道，對于這去心鄰域內的x來說， f (x)與xx0符號相反因此，當xx00即x0；當xx00即xx0時，f (x)0于根據定理2，f(x)在點x0處取得極大值 在情形(1)，由于f (x0)0，按二階導數的定義有根據函數極限的局部保號性，當x 在x0的足夠小的去心鄰域內時，但f (x0)0，所以上式即 類似地可以證明情形(2)第二種充分條件的證明：第四十八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月討論：函數 f 1(x)x 4，f 2(x)x 3在點x0是否

19、有極值？ f 1(x)4x 3， f 1(0)0， f 1(x)12x 2， f 1(0)0當x0時， f 1(x)0時， f 1(x)0 f 1(0)為極小值 f 2(x)3x 2， f 2(0)0， f 2(x)6x ， f 2(0)0 f 2(x)0， f 2(0)不是極值 1012112xy101x1234y第四十九張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 (2)令f (x)0，求得駐點x 11，x 20，x 31 (3)f (x)6(x 21)(5x 21) (4)因f (0)60，所以x0為極小值點，極小值為 f(0)0 (5)因f (1)f (1)0，用定理 3 無法判別 例3

20、 求函數f(x)(x 21)31的極值 解法一(1)f (x)6x(x 21)2同理，f(x)在1處也沒有極值 因為在1的左右鄰域內f (x)0，則f(x)在a，b上的圖形是凹的； (2)若在(a，b)內f (x)0，則f(x)在a，b上的圖形是凸的確定曲線的凹凸性和拐點的步驟： (1)確定函數yf(x)的定義域； (2)求出在函數二階導數f (x)； (3)求使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點； (4)判斷或列表判斷，確定出曲線凹凸區間和拐點； 注：根據具體情況（1）（3）步有時省略曲線凹凸性的判定：第七十張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 例1 判斷曲線yln x 的凹凸性

21、解 (1)函數yln x 的定義域為(0，)； (3)因為當0 x時，y0，所以曲線yln x是凸的 例2 判斷曲線yx 3的凹凸性 解 (1) 函數yx 3的定義域為(，)； (2) y3x 2，y6x ； (3) 由y0，得x0； (4) 判斷：因為當x0時，y0時，y0，所以曲線在0，)內為凹的第七十一張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月(，0)(0，)0f (x) f (x)-+0 曲線在(，0內為凸的，在0，)內為凹的 (4)列表判斷： 例1 判斷曲線yln x 的凹凸性 解 (1)函數yln x 的定義域為(0，)； (3)因為當0 x時，y0，在區間(，)內曲線是凹的，因此

22、曲線無拐點 (3)無二階導數為零的點，二階導數不存在的點為x0； (4)判斷：當x0；當x0時，y0因此，點(0，0)曲線的拐點 解 (1)函數的定義域為(，)；第七十六張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月46 函數圖形的討論（描繪）復習觀察與思考描繪函數圖形的一般步驟畫圖舉例函數圖形的描繪第七十七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 f (x)0， f (x)0，abxyO y=f(x)ab函數單調增加 f (x)0，復習：函數圖形的描繪第七十八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月xyO函數單調減少曲線是凹的 y=f(x) f (x)0，abxyO y=f(x)ab函數單調

23、減少曲線是凸的 f (x)0， f (x)0，1、函數的單調性與曲線的凹凸性復習：函數圖形的描繪第七十九張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月xyOx1x2x3 f(x3)(x2, f(x2)極大值極小值極小值點極大值點拐點 y=f(x) f(x1) f (x1)=0f (x2)=0 f (x3)=02、極值點、極值與拐點第八十張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 觀察函數的圖形，在圖形上有哪些關鍵的點？關鍵點的兩側(或兩點間)曲線有什么特點？ 函數的圖形有無漸近線？有無對稱性？21012xy觀察與思考：第八十一張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月21012xy 觀察函數的圖形

24、，在圖形上有哪些關鍵的點？關鍵點的兩側(或兩點間)曲線有什么特點？ 函數的圖形有無漸近線？有無對稱性？觀察與思考：第八十二張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月21012xy 觀察函數的圖形，在圖形上有哪些關鍵的點？關鍵點的兩側(或兩點間)曲線有什么特點？ 函數的圖形有無漸近線？有無對稱性？觀察與思考：第八十三張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月21012123xy第八十四張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月21012123xy第八十五張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月21012123xy第八十六張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月321O123453211234

25、5xyx=1是函數的間斷點，無極值點和拐點 畫函數的圖形都要考慮什么？第八十七張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 (1)確定函數的定義域； (2)觀察函數y=f(x)是否具有奇偶性、周期性； (3)求出一階、二階導數為零的點和一階、二階導數不存在的點； (4)列表， 確定曲線的單調性、極值點和極值，確定曲線的凹凸性和拐點； (5)確定曲線有無漸近性； (6)確定一些特殊點(曲線與坐標軸的交點等); (7)在直角坐標系中，描出所有關鍵性的點，畫出漸近線，最后按照曲線的性態逐段描繪描繪函數圖形的一般步驟：第八十八張，PPT共九十四頁，創作于2022年6月 (4)計算特殊點：f(0)1； f(1)0. 解 (1)函數的定義域為(，)， (2) f (x)3x22x1(3x1)(x1)，f (x)6x22(3x1)駐點為x 1/3和x1；二階導數為零的點為x 1/3 (3)列表分析： f (x)f (x) f (x)(,-1/3)-1/3(-