1、PAGE PAGE 論文(lnwn)題目 傅里葉級數與傅里葉變換的關系(gun x)與應用 目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc384471886 摘要(zhiyo)： PAGEREF _Toc384471886 h 0 HYPERLINK l _Toc384471887 關鍵詞 PAGEREF _Toc384471887 h 0 HYPERLINK l _Toc384471888 Abstract PAGEREF _Toc384471888 h 0 HYPERLINK l _Toc384471889 1緒論 PAGEREF _Toc384471889 h

2、1 HYPERLINK l _Toc384471890 2傅里葉級數的概念 PAGEREF _Toc384471890 h 1 HYPERLINK l _Toc384471891 2.1周期函數 PAGEREF _Toc384471891 h 2 HYPERLINK l _Toc384471892 2.2傅里葉級數的定義 PAGEREF _Toc384471892 h 2 HYPERLINK l _Toc384471893 3 傅里葉變換的概念及性質 PAGEREF _Toc384471893 h 10 HYPERLINK l _Toc384471894 3.1傅里葉變換的概念 PAGEREF

3、 _Toc384471894 h 10 HYPERLINK l _Toc384471895 3.2傅立葉變換的性質 PAGEREF _Toc384471895 h 11 HYPERLINK l _Toc384471896 4傅里葉變換與傅里葉級數之間的區別與聯系 PAGEREF _Toc384471896 h 12 HYPERLINK l _Toc384471897 5傅里葉級數和傅里葉變換的應用 PAGEREF _Toc384471897 h 12 HYPERLINK l _Toc384471898 5.1傅里葉級數的應用 PAGEREF _Toc384471898 h 12 HYPERLI

4、NK l _Toc384471899 5.2傅里葉變換的應用 PAGEREF _Toc384471899 h 13 HYPERLINK l _Toc384471900 參考文獻 PAGEREF _Toc384471900 h 14滁州學院本科畢業論文 PAGE 19傅里葉級數與傅里葉變換(binhun)的關系與應用摘要(zhiyo)：傅里葉級數是對周期(zhuq)性現象做數學上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數的極限形式，它也可以看作是對周期現象進行數學上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的算法。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成

5、信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。在電子類學科，物理學科，信號處理學科等眾多領域都有著廣泛的應用。傅里葉級數針對的是周期性函數，傅里葉變換針對的是非周期性函數，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加，存在相似的特性。 關鍵詞：傅里葉級數；傅里葉變換；周期性 Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform

6、can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal

7、 component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fiel

8、ds have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1緒論(xln)傅里葉級數是法

9、國數學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出來的，從而極大的推動了偏微分方程理論的發展，在數學物理以及(yj)工程中都具有重要的應用。積分變換起源于19世紀的運算危機，英國著名的無線電工程師海維賽德（O .Heaviside）在用它求解電工學、物理學領域中的線性微分方程的過程中逐步形成一種所謂的符號法，后來符號法又演變成今天的積分變化法。所謂積分變換，就是把某函數類A中的函數乘上一個(y )確定的二元函數，然后計算積分，即這樣變成了另一個函數類B中的函數，這里的二元函數是一個確定的二元函數，通常稱為該積分變換的核，稱為象原函數，稱為的象函數，當選取不同的積分域和核函數，就得到

10、不同名稱的積分變換。傅里葉級數對周期性現象做數學上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數的極限形式，它也可以看作是對周期現象進行數學上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的算法。要想了解傅里葉變換算法的內涵，首先要了解傅里葉原理的內涵。傅里葉原理表明：對于任何連續測量的數字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。在電子類學科，物理學科，信號處理學科等眾多領域都有著廣泛的應用。傅里葉級數針對的是周期性函數

11、，傅里葉變換針對的是非周期性函數，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加，存在相似的特性。 2傅里葉級數(j sh)的概念2.1周期函數(zhu q hn sh)我們把凡是(fnsh)滿足以下關系式： （T為常數） （2.1.1）的函數，都稱為周期函數。周期定義：滿足式（1.1.1）的T值中的最小正數，即為該函數的周期；一個常數以任何正數為周期。基本三角函數系：按某一規律確定的函數序列稱為函數系。如下形式的函數系： 1， ， （2.1.2）稱為基本三角函數系。所有這些函數具有各自的周期，例如和的周期為，但它們的共有周期為（即所有周期的最小公倍數）。通常這個周期命名為函數系的周期。所以

12、式（1.1.2）的三角函數系的周期為。2.2傅里葉級數的定義傅里葉級數是一類特殊的函數項級數，對周期性現象進行數學上的分析，其在理論和應用上都有重要價值。2.2.1 三角級數、三角函數及其正交性在物理學中，我們知道，簡諧振動是一種簡單的周期運動，而在簡諧振動中，一種標準而簡單的簡諧振動可由下面函數描述， （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當(shdng)的變換為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數項級數 （2）如果(rgu)（2）式收斂到函數,即 （3）則易見是周期(zhuq)為的函數，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復雜的周期為的函數

13、分解為簡單標準的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質帶來了很大的方便。于是，我們自然提出以下問題：什么條件下我們可以將一個周期為的函數表示成如(1)式那樣簡單，標準的簡諧振動的疊加?即什么條件下(3)式成立?更一般地，什么條件下可以將一個周期為T的函數表示成簡諧振動的疊加？設g(t)周期為T，則只要令,就有則周期為，所以我們只要討論前一個問題就行了。為了數學推導和理論研究方便，我們將級數(2)作如下變形=令 則 =稱級數(j sh) (4)為三角(snjio)級數，稱級數(4)的部分和 (5)為三角多項式，后面(hu mian)我們將看到，將常數項記為的形式，是為了使有統一的表達式。我們通過簡單

14、的計算可知，三角函數系 (6)具有以下性質 (7) (8) (9) (10)即三角函數系（6）中任何兩個不同函數的乘積在上積分為0，我們稱這一性質為三角函數系(1)的正交性。也稱(6)為正三角函數系。從后面的推導我們也看到，三角函數系(6)的正交性在三角級數研究中扮演了重要的角色。另外，我們還有 (11) 2.2.2周期為的函數的傅里葉級數設函數能夠表示成三角級數(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級數在上一致收斂，則有如下關系式： , n=0,1,2, (13a) , n=0,1,2, (13b)證明(zhngmng)：由定理條件，對（12）式逐項積分可得： = 由關系式知，上式右邊括號

15、(kuho)內的積分都等于零，所以 即得 現以乘（12）式兩邊(lingbin)（t為正整數），得 （14）由級數（12）一致收斂，可以推出級數（14）也一致收斂。現在對級數（14）逐項求積，有 =由三角函數的正交性，右邊除了以為系數的那一項積分外，其他各項積分都等于零，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項求積，可得一般的說，若是以為周期且在上可積分的函數，則按公式（13）計算出的和叫做函數的傅里葉級數，記作 這里(zhl)的“”表示上式右邊是左邊函數(hnsh)的傅里葉級數。2.2.3周期(zhuq)為的函數的傅里葉級數設是以2為周期的函數，通過變量置換可以把變成以為周期的t的函數.若

16、在上可積，則在上也可積，這時函數的傅里葉級數展開式是 (1)其中 n=0,1,2 (2) n=1,2因為，所以。于是由（1）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2 (4) , n=1,2這里（4）式是以為周期的函數的傅里葉級數，（3）式是的傅里葉級數.2.2.4傅里葉級數的性質收斂性定理 傅里葉級數的收斂準則狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續，或者只有(zhyu)有限個間斷點，在間斷處函數的左、右極限都存在； （2）在上只有(zhyu)有限個極大值點與極小值點； （3）在外是周期函數(zhu q hn sh)，其周期為2，則級數 （1）證明=因為及所以 證畢例：試

17、將鋸齒波在區間上展開為傅里葉級數。解：我們要將在之外視作是2的周期函數，由傅里葉級數公式可得： （=0,1,2,）及 = （=1,2,3，）因此(ync)，所求級數為 （2）由于(yuy)=0是的連續點，所以上式兩邊可劃等號。事實上，也正是如此，可代入數字(shz)驗證。而=是間斷點，由定義可知按收斂準則，傅里葉級數在間斷點處應收斂到事實上，以=代入級數（2），得級數和為零。必須注意，狄利克雷定理中加在上的條件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在實際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級數收斂的必要且充分的條件是什么。值得注意的是，單從的連續性考慮還不能保證傅里葉級數收斂。積分定理2

18、 如果在區間上分段連續，其傅里葉級數為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。如果(rgu)原級數中，只要(zhyo)用代替(dit)公式（4）中的即可。3微分定理3 若在上連續，又絕對可積，則有 （6）其中 。利用求系數公式及分部積分，可以證明 （=0,1,2，） （=1,2,3，）如果，則的傅里葉級數可通過對的傅里葉級數進行逐項求導而得，即 （7）微分與積分大不相同，例如考慮下列函數（鋸齒波）： 的傅里葉級數為 （9.3.7）對上式逐項微分得 于是得到不收斂的級數其次，再考慮三角波 它的傅里葉級數(j sh) 是一個收斂得相當(xingdng)快的級

19、數，且在上一致(yzh)收斂。對上式逐項微分得 上式正是方波的傅里葉級數。事實上，三角波得導數正數方波。 從上面的例子可知，與積分相反，微分之后每一個系數前卻添加了一個增長因子，這就降低了收斂程度。所以上面第一個例子微分后得一發散級數。事實上，第一個例子中的級數在區間上一致收斂。一般來說，微分使級數的收斂 程度降低。有時將可以逐項微分的條件表示成如下形式： （8）此外，函數的光滑程度可以從該函數的傅里葉級數的系數上反映出來。一般而言，一個滿足狄利克雷條件的周期函數。其傅里葉級數中的系數和隨著趨向于無窮大時，他們至少應與（其中為與無關的常數）一樣快的趨向于零。如果函數包含一個或幾個間斷點，那么不

20、是就是，一般情況是二者都不能比更快的趨向于零。如果函數以及它的前（-1）階導數滿足狄利克雷條件，而且處處連續，那么隨著趨向于無窮大，的傅里葉級數的系數和至少應與一樣快趨向于零。如果的階導數不處處連續，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快地趨向于零。因此，函數愈光滑，其傅里葉級數的系數收斂得越快，反之，只要考慮某函數的傅里葉級數的系數的收斂快慢程度，就可以判斷該函數的光滑程度。3 傅里葉變換(binhun)的概念及性質傅里葉變換是一種(y zhn)對連續時間函數的積分變換，它通過特定形式的積分建立了函數之間的對應關系。它既能簡化計算，又具有明確的物理意義，因而在許多領域被廣泛的應用，如電力工

21、程、通信和控制領域以及其他許多數學、物理和工程技術領域。3.1傅里葉變換(binhun)的概念傅里葉（Fourier）變換，簡稱傅式變換，像拉普拉斯變換一樣，它也是一種化繁為簡，變難為易的重要數學運算工具，它的理論與方法在數學的許多分支以及其他自然科學和工程技術領域中，都有著廣泛的應用。若F(t)在上滿足以下條件：(1)在任一有限區間上滿足Dirchlet條件（即在任意有限區間上滿足：a連續或只有有限個第一類間斷點；b只有有限個極值點）； (2) 在無限區間上絕對可積，那么在的連續點處有 由此定義 （3.1）稱為函數的傅里葉變換，記作為，即 （3.2）其中由(2.1)式定義，公式（2.2）稱為

22、的傅里葉逆變換。記為，即3.2傅立葉變換(binhun)的性質1、共軛性質(xngzh) 設，是的共軛函數(hnsh)，則=2、線性性質 設則3、位移性質 4傅里葉變換與傅里葉級數之間的區別與聯系傅里葉級數是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換傅里葉級數是以三角函數為基對周期信號的無窮級數展開，如果把周期函數的周期取作無窮大，對傅里葉級數取極限即得到傅里葉變換。傅里葉變換是從傅里葉級數推演而來的，傅里葉級數是所有周期函數都可以分解成一系列的正交三角函數，這樣，周期函數對應的傅里葉級數即是它的頻譜函數傅里葉級數是周期信號的另一種時域的表達方式，也就是正交級數，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換

23、就是完全的頻域分析5傅里葉級數和傅里葉變換的應用5.1傅里葉級數的應用在數學方面計算無窮級數的和例如，設周期為2的某函數，其在一個周期上的表達式為 （由于是偶函數，所以它的傅里葉級數只有余弦項 （=1,2,3，）因此(ync)，的傅里葉級數(j sh)為 （令=,且利用(lyng)，所以 因此得 在物理方面為設計放大器提供依據例如電路中常常使用矩形波及鋸齒波，對于矩形波其傅里葉展開式為其中系數和成正比，因此，隨著簡諧次數的增高，幅度迅速減小。一般來說，在10次諧波以后，就認為幅度已經相當小，可以略去不計。因此在設計矩形波放大器時，要求它的通頻帶寬帶約為矩形脈沖的10倍。若掃描矩形波頻率為60H

24、z，則要求放大器的通頻帶度為600Hz就可以了。電視機及示波器常用掃描鋸齒波，也可作與上述相同的分析。5.2傅里葉變換的應用傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲結構力學、海洋學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量傅里葉變換在求解微分方程中的應用我們在研究研究線性常系數偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應用范圍(fnwi)包括求解無界區域的定解問題，用傅里葉變換法求解定解問題的思想與步驟：對定解問題(wnt)作傅里葉變換，化偏微分方程為常微分方程（2）求解(qi ji)像函數（3）對像

25、函數作傅里葉逆變換，得所求問題的解例：對于任意，求下面方程的定解問題 （1）其中解：對方程（1）兩邊作傅里葉變換，可得： （2）顯然偏微分方程（1）已經被轉換成代數方程（3.2）。求解方程（2），可得：經過傅里葉逆變換，可得：為了使的表達式比較簡單明了，下面來化簡上式可得：其中下面來求解 （其中a.0）假設(jish)且b0,令，則有其中(qzhng)表示在復平面(pngmin)的等直線，把轉化成實軸，則可計算，所以有所以 根據卷積原理，則偏微分方程（1）的解為 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想，實際上就是開始時使用傅里葉變換，將偏微分方程的問題轉化為常微分方程的問題，解出這個常微分方程的問題的解，然后利用傅里葉逆變換求原問題的解。周期函數與離散頻譜眾所周知，一個諧波函數，是由振幅，相位和頻率三個參數唯一的確定了。對于周期為的周期函數，它可展成指數形式的傅里葉級數：對上式取傅