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文檔簡介
1、3.2 等差數(shù)列及其前n項和基礎自測1.(2008廣東理,2)記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=,S4=20,則S6等于( )A.16B.24C.36D.48答案 D2.設an是等差數(shù)列,a10,a2 007+a2 0080,a2 007a2 0080成立的最大自然數(shù)n是( ) A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016答案B3.(2008全國理,5)已知等差數(shù)列an滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項的和S10等于( ) A.138 B.135 C.95 D.23答案C4.已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個
2、數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4D.5答案D5.數(shù)列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差數(shù)列,則2b+y-2a+x的值為( )A.正實數(shù) B.負實數(shù) C.零 D.不確定答案C例1 已知數(shù)列an滿足a1=4,an=4-(n2),令bn=.求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列.證明 an+1-2=2-=+-=,bn+1-bn=.數(shù)列bn是等差數(shù)列.例2 在等差數(shù)列an中,(1)已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;(3)已知前3項和為12,前3項積為48,且d0,求a1.解 (1)方法一 設首項為a1,公差為d,依條件得,解方程組得a61=-23+(61
3、-1)4=217. 方法二 由d=,得d=4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.(2)a6=10,S5=5,.解方程組得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,S8=8=44.(3)設數(shù)列的前三項分別為a-d,a,a+d,依題意有:,.d0,d=2,a-d=2.首項為2.a1=2.例3 (12分)在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.解 方法一 a1=20,S10=S15,1020+d=1520+d,d=-. 4分an=20+(n-1)(-)=-n+. 8
4、分a13=0. 即當n12時,an0,n14時,an0. 10分當n=12或13時,Sn取得最大值,且最大值為S12=S13=1220+(-)=130. 12分方法二 同方法一求得d=-. 4分Sn=20n+(-)=-n2+n=-+. 8分nN+,當n=12或13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130. 12分方法三 同方法一得d=-. 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分當n=12或13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130. 12分1.設兩個數(shù)列an,bn滿足bn=,若bn為等差數(shù)列,求證:
5、an也為等差數(shù)列.證明 由題意有a1+2a2+3a3+nan=bn, 從而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=bn-1(n2), 由-,得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d為bn的公差(n2).從而an+1-an=-=(n2).又a1=b1,a2=a2-a1=-b1=.綜上,an+1-an=d(nN*).所以an是等差數(shù)列.2.(2009成都市第一次調(diào)研)設an為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項和,求Tn.解 設等差數(shù)列an的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,S7=7,S15=75,即,解得,=a1+(n-1)d=-2
6、+(n-1), -=,數(shù)列是等差數(shù)列,其首項為-2,公差為,Tn=n2-n.3.等差數(shù)列an中,a10,S9=S12,該數(shù)列前多少項的和最小?解 由條件S9=S12可得9a1+d=12a1+d,即d=-a1.由a10知d0,即數(shù)列an為遞增數(shù)列.方法一 由,得,解得10n11.當n為10或11時,Sn取最小值,該數(shù)列前10項或前11項的和最小.方法二 S9=S12,a10+a11+a12=3a11=0,a11=0.又a10,公差d0,從而前10項或前11項和最小.方法三 S9=S12,Sn的圖象所在拋物線的對稱軸為x=10.5,又nN*,a10,an的前10項或前11項和最小.方法四 由Sn=
7、na1+d=+n,結(jié)合d=-a1得Sn=n2+n=-+a1 (a10),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知n=10.5時,Sn最小.又nN*,故n=10或11時Sn取得最小值.一、選擇題1.等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a2=1,a3=3,則S4等于( )A.12B.10C.8D.6答案 C2.在等差數(shù)列an中,已知=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于( )A.40B.42C.43D.45答案 B3.已知某等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為( )A.5B.4C.3D.2答案 C4.已知等差數(shù)列an的前三項分別為a-1,2a+1,a+7,則這個數(shù)列的通項公式為(
8、)A.an=4n-3B. an=2n-1C.an=4n-2D.an=2n-3答案 A5.(2008大連模擬)在等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 ( )A.14B.15 C.16 D.17答案C6.等差數(shù)列an的前n項和滿足S20=S40,下列結(jié)論中正確的是 ( )A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0 答案D二、填空題7.(2008重慶理,14)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16= .答案 -728.已知數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列,其首項分別為a1、b1,且a
9、1+b1=5,a1、b1N*.設cn=(nN*),則數(shù)列cn的前10項和等于 .答案 85三、解答題9.已知數(shù)列an中,a1=,an=2- (n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn=(nN*).(1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an中的最大項和最小項,并說明理由.(1)證明 因為an=2-(n2,nN*),bn=.所以當n2時,bn-bn-1=-=-=-=1.又b1=-.所以,數(shù)列bn是以-為首項,以1為公差的等差數(shù)列.(2)解 由(1)知,bn=n-,則an=1+=1+.設函數(shù)f(x)=1+,易知f(x)在區(qū)間(-,)和(,+)內(nèi)為減函數(shù).所以,當n=3時,an取得最小值-1;當n=4時
10、,an取得最大值3.10.等差數(shù)列an的奇數(shù)項的和為216,偶數(shù)項的和為192,首項為1,項數(shù)為奇數(shù),求此數(shù)列的末項和通項公式.解 設等差數(shù)列an的項數(shù)為2m+1,公差為d,則數(shù)列的中間項為am+1,奇數(shù)項有m+1項,偶數(shù)項有m項.依題意,有S奇=(m+1)am+1=216 S偶=mam+1=192 ,得=,解得,m=8,數(shù)列共有2m+1=17項,把m=8代入,得a9=24,又a1+a17=2a9,a17=2a9-a1=47,且d=.an=1+(n-1)=(nN*,n17).11.設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,已知S3,S4的等比中項為S5; S3,S4的等差中項為1,求數(shù)列an的通項公式.
11、解 方法一 設等差數(shù)列an的首項a1=a,公差為d,則Sn=na+d,依題意,有整理得a=1,d=0或a=4,d=-.an=1或an=,經(jīng)檢驗,an=1和an=均合題意.所求等差數(shù)列的通項公式為an=1或an=.方法二 因Sn是等差數(shù)列的前n項和,易知數(shù)列是等差數(shù)列.依題意得解得或由此得a4=S4-S3=1,a5=S5-S4=1,或a4=-,a5=-,d=0或d=-.an=a4+(n-4)0=1或an=a4+(n-4)(-)=-n.故所求等差數(shù)列的通項公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足:a3a4=117,a2+a5=22.(1)求通項an;(2)若數(shù)列bn滿足bn=,是否存在非零實數(shù)c使得bn為等差數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,請說明理由.解 (1)由等差數(shù)列的性質(zhì)得,a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是關于x的方程x2-22x+117=0的解,又公差大于零,所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通項為an=1+(n
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