1、3.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)自測1.（2008廣東理，2）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=，S4=20，則S6等于( )A.16B.24C.36D.48答案 D2.設(shè)an是等差數(shù)列，a10,a2 007+a2 0080,a2 007a2 0080成立的最大自然數(shù)n是（ ） A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016答案B3.（2008全國理，5）已知等差數(shù)列an滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10等于（ ） A.138 B.135 C.95 D.23答案C4.已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)

2、數(shù)是（ ） A.2 B.3 C.4D.5答案D5.數(shù)列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差數(shù)列，則2b+y-2a+x的值為（ ）A.正實(shí)數(shù) B.負(fù)實(shí)數(shù) C.零 D.不確定答案C例1 已知數(shù)列an滿足a1=4,an=4-(n2),令bn=.求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列.證明 an+1-2=2-=+-=，bn+1-bn=.數(shù)列bn是等差數(shù)列.例2 在等差數(shù)列an中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3項(xiàng)和為12，前3項(xiàng)積為48，且d0,求a1.解 （1）方法一 設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,依條件得,解方程組得a61=-23+(61

3、-1)4=217. 方法二 由d=,得d=4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.（2）a6=10,S5=5,.解方程組得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,S8=8=44.(3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a-d,a,a+d,依題意有：,.d0,d=2,a-d=2.首項(xiàng)為2.a1=2.例3 （12分）在等差數(shù)列an中，已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn，且S10=S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解 方法一 a1=20，S10=S15，1020+d=1520+d，d=-. 4分an=20+（n-1）(-)=-n+. 8

4、分a13=0. 即當(dāng)n12時(shí)，an0,n14時(shí)，an0. 10分當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12=S13=1220+(-)=130. 12分方法二 同方法一求得d=-. 4分Sn=20n+(-)=-n2+n=-+. 8分nN+,當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130. 12分方法三 同方法一得d=-. 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130. 12分1.設(shè)兩個(gè)數(shù)列an,bn滿足bn=，若bn為等差數(shù)列，求證：

5、an也為等差數(shù)列.證明 由題意有a1+2a2+3a3+nan=bn， 從而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=bn-1(n2), 由-，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d為bn的公差(n2).從而an+1-an=-=(n2).又a1=b1，a2=a2-a1=-b1=.綜上，an+1-an=d（nN*）.所以an是等差數(shù)列.2.（2009成都市第一次調(diào)研）設(shè)an為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn.解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,S7=7,S15=75,即,解得,=a1+(n-1)d=-2

6、+(n-1), -=,數(shù)列是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為-2,公差為,Tn=n2-n.3.等差數(shù)列an中，a10,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？解 由條件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a10知d0,即數(shù)列an為遞增數(shù)列.方法一 由，得,解得10n11.當(dāng)n為10或11時(shí)，Sn取最小值，該數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.方法二 S9=S12，a10+a11+a12=3a11=0，a11=0.又a10,公差d0，從而前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法三 S9=S12，Sn的圖象所在拋物線的對稱軸為x=10.5,又nN*，a10,an的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法四 由Sn=

7、na1+d=+n，結(jié)合d=-a1得Sn=n2+n=-+a1 （a10），由二次函數(shù)的性質(zhì)可知n=10.5時(shí)，Sn最小.又nN*，故n=10或11時(shí)Sn取得最小值.一、選擇題1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=1,a3=3,則S4等于（ ）A.12B.10C.8D.6答案 C2.在等差數(shù)列an中，已知=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于（ ）A.40B.42C.43D.45答案 B3.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為（ ）A.5B.4C.3D.2答案 C4.已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為a-1,2a+1,a+7,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

8、）A.an=4n-3B. an=2n-1C.an=4n-2D.an=2n-3答案 A5.（2008大連模擬）在等差數(shù)列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 （ ）A.14B.15 C.16 D.17答案C6.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足S20=S40，下列結(jié)論中正確的是 （ ）A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0 答案D二、填空題7.（2008重慶理，14）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16= .答案 -728.已知數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a1、b1,且a

9、1+b1=5，a1、b1N*.設(shè)cn=(nN*),則數(shù)列cn的前10項(xiàng)和等于 .答案 85三、解答題9.已知數(shù)列an中，a1=，an=2- (n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn=(nN*).(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.（1）證明 因?yàn)閍n=2-(n2,nN*),bn=.所以當(dāng)n2時(shí)，bn-bn-1=-=-=-=1.又b1=-.所以，數(shù)列bn是以-為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）解 由（1）知，bn=n-,則an=1+=1+.設(shè)函數(shù)f(x)=1+,易知f(x)在區(qū)間(-,)和(,+)內(nèi)為減函數(shù).所以，當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值-1；當(dāng)n=4時(shí)

10、，an取得最大值3.10.等差數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)的和為216，偶數(shù)項(xiàng)的和為192，首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末項(xiàng)和通項(xiàng)公式.解 設(shè)等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2m+1,公差為d,則數(shù)列的中間項(xiàng)為am+1,奇數(shù)項(xiàng)有m+1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有m項(xiàng).依題意，有S奇=(m+1)am+1=216 S偶=mam+1=192 ,得=，解得,m=8,數(shù)列共有2m+1=17項(xiàng)，把m=8代入，得a9=24,又a1+a17=2a9，a17=2a9-a1=47，且d=.an=1+(n-1)=(nN*,n17).11.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3，S4的等比中項(xiàng)為S5; S3，S4的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

11、解 方法一 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a，公差為d，則Sn=na+d，依題意，有整理得a=1，d=0或a=4，d=-.an=1或an=，經(jīng)檢驗(yàn)，an=1和an=均合題意.所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1或an=.方法二 因Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，易知數(shù)列是等差數(shù)列.依題意得解得或由此得a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或a4=-，a5=-，d=0或d=-.an=a4+（n-4）0=1或an=a4+（n-4）(-)=-n.故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3a4=117,a2+a5=22.（1）求通項(xiàng)an;(2)若數(shù)列bn滿足bn=,是否存在非零實(shí)數(shù)c使得bn為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由.解 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是關(guān)于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通項(xiàng)為an=1+(n