1、2022/7/181第4章 廣義線性模型4.1 廣義線性模型概述4.2 Logistic模型4.3 對數(shù)線性模型1 廣義線性模型概述之前我們研究了多元線性模型,該模型的一個重要假定是因變量是連續(xù)型的變量(通常假定服從正態(tài)分布),但在許多情況下,這種假定并不合理,例如下面這兩種情況.(1)結果變量可能是類型變量.二值分類變量和多分類變量.(比如:是/否,差/一般/良好/優(yōu)秀等)顯然都不是連續(xù)型變量.2022/7/1831 廣義線性模型概述(2) 結果變量可能是計數(shù)型變量(比如:一周交通事故的數(shù)目)這類變量都是非負的有限值,而且它們的均值和方差通常是相關的(一般線性模型假定因變量是正態(tài)變量,而且相

2、互獨立).普通線性回歸模型(2.3)假定因變量y服從正態(tài)分布,其均值滿足關系式:=X,這表明因變量的條件均值是自變量的線性組合.本章介紹兩種常見的廣義線性模型:Logistic模型與對數(shù)線性模型.2022/7/1841 廣義線性模型概述1.廣義線性模型的定義：(1)隨機成分:設y1,y2,yn是來自于指數(shù)分布族的隨機樣本,即yi的密度函數(shù)為其中ai(.) ,b(.),ci(.) 是已知函數(shù),參數(shù)i是典則參數(shù),是散度參數(shù).2022/7/1851.廣義線性模型的定義：(2)聯(lián)結函數(shù):設yi的均值為i而函數(shù)m(.)是單調可微的聯(lián)接函數(shù),使得其中 是協(xié)變量, 是未知參數(shù)向量.指數(shù)分布族正態(tài)分布二項分布

3、泊松分布2022/7/1862022/7/1872.正態(tài)線性回歸模型正態(tài)分布屬于指數(shù)分布族,其密度函數(shù)為與(1)對照可知2. 正態(tài)線性回歸模型只要取聯(lián)結函數(shù)為 ,則正態(tài)線性回歸模型滿足廣義線性模型的定義. 類似的,容易驗證,二項分布和泊松分布都屬于指數(shù)分布族.下面介紹實際中應用廣泛的兩種廣義線性模型:Logistic模型和對數(shù)線性模型.3.2 Logistic模型1.模型定義設yi服從參數(shù)為pi的二項分布,則i =E(yi)=pi 采用邏輯聯(lián)結函數(shù),即這個廣義線性模型稱為Logistic模型.2022/7/1810例1(數(shù)據(jù)文件為eg3.1)表3.1 某地區(qū)45個家庭的調查數(shù)據(jù)2022/7/1

4、8112. 模型的參數(shù)估計和檢驗采用R軟件中的廣義線性模型過程glm( )可以完成回歸系數(shù)的估計,以及模型回歸系數(shù)的顯著性檢驗.程序如下：#eg3.1廣義線性模型:Logistic模型#打開數(shù)據(jù)文件eg3.1.xls,選取A1:B46區(qū)域,然后復制data3.1-read.table(clipboard,header=T) #將eg3.1.xls數(shù)據(jù)讀入到data3.1中glm.logit-glm(yx,family=binomial,data=data3.1) #建立y關于x的logistic回歸#模型,數(shù)據(jù)為data3.1summary(glm.logit) #模型匯總,給出模型回歸系數(shù)的

5、估計和顯著性檢驗等yp-predict(glm.logit,data.frame(x=15) p.fit|z|) (Intercept) -21.2802 10.5203 -2.023 0.0431 *x 1.6429 0.8331 1.972 0.0486 *Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)Null deviance: 62.3610 on 44 degrees of freedomResidual deviance:

6、6.1486 on 43 degrees of freedomAIC: 10.149Number of Fisher Scoring iterations: 92. 模型的參數(shù)估計和檢驗 yp p.fit-exp(yp)/(1+exp(yp);p.fit #估計x=15時y=1的概率 1 0.9665418容易看出:回歸模型的回歸系數(shù)在5%水平上顯著,于是得回歸模型為當x=15時,估計y=1的概率約為0.97,即年收入為15萬元的家庭有私家車的可能性約為97%.2022/7/18143.3 對數(shù)線性模型1.模型的定義設y服從參數(shù)為的泊松分布,則=E(y)=,采用對數(shù)聯(lián)結函數(shù),即這個廣義線性模型

7、稱為泊松對數(shù)線性模型.2022/7/1815例3.2(數(shù)據(jù)文件為eg3.2)表3.4 Breslow癲癇數(shù)據(jù)2022/7/1816例3.2(數(shù)據(jù)文件為eg3.2)這個數(shù)據(jù)是robust包中的Breslow癲癇數(shù)據(jù)(Breslow,1993).我們討論在治療初期的八周內,癲癇藥物對癲癇發(fā)病數(shù)的影響,響應變量為八周內癲癇發(fā)病數(shù)(y) ,預測變量為前八周內的基礎發(fā)病次數(shù)(x1),年齡(x2)和治療條件(x3),其中治療條件是二值變量, x3=0表示服用安慰劑, x3=1表示服用藥物. 根據(jù)這個數(shù)據(jù)建立泊松對數(shù)線性模型并對模型的系數(shù)進行顯著性檢驗.表3.2 Breslow癲癇數(shù)據(jù)Nox1x2x3yNo

8、x1x2x3y1113101431192017211300143210301133625011331918119483601334242411156622055353130174284722053581336102976181425912371103038321282022/7/18172022/7/18182. 模型的參數(shù)估計和檢驗采用R軟件中的廣義線性模型過程glm( )來建立泊松對數(shù)線性模型并對模型的系數(shù)進行顯著性檢驗.程序如下：#eg3.2 廣義線性模型: 泊松對數(shù)線性模型#打開數(shù)據(jù)文件eg3.2.xls,選取A1:E60區(qū)域,然后復制data3.2-read.table(“clipboard”,header=T) #將eg3.2.xls數(shù)據(jù)讀入到data3.2中glm.ln|z|) (Intercept) 1.9488259