1、三、乘除運算中的誤差分析前面我們提到過，“乘除運算”當中我們應該考慮“相對誤差”，而這是 我們誤差分析最為重要的內容。那么，如果相乘或者相除的兩個數分別發生一定 程度的近似，它們的乘積或者商又會發生什么樣的變化呢？我們首先先給出兩個 重要的結論：兩個數相乘，那么這兩個數的相對誤差之和，近似為總體的相對誤 差；兩個數相除，那么這兩個數的相對誤差之差，近似為總體的相對誤 差。我們先舉兩個相乘的例子：5(H9 1021 500() 1000 = ? 10fi(1):924電 2W(i 8000 = 1 8-1 107(.2)在上面第(J)個式子中，前一個因子下降了1片左右，后一個因子下降了 0左右

2、所以最后得到的結果會比真實值小科住右51%+(-乎Q尸尸治).所以真實值約為；5 1#-(14 3K)在上面第(2)個式子中,前一個因子下降了 2%左右，后一個因子上升了 1%左右 所以最后得到的結賓會區真實值小1。右右1-型#1。尸理某 所以箕實值豹為；S4 - 1!07 - (l + Pol我們再舉兩個相除的例子二?(149-1021 5000-1000 = 5(312319- -92-1 23HU8iOO=C.2S-5(由在上面第G)個式子中，被除數下降了心旌右，除數下降了 左右,所以最后 到的結果會比真實值大產讓右所以真實值約為T烈 3 Q 1%)在上面第 5 個式子中,被除數下降了

3、2%左右,除數上升了左右，所以最后到的結果會比真實值小型姓右所以真實值因為；占”2C 11+3，)力嗎4舊5仃.5注：上面分析的所有誤差指的都是“相對誤差”，因為只有“相對誤差”才能在 乘除運算當中保持近似的加減關系。四、近似誤差與選項差異通過上面的分析我們知道，近似的計算會產生一定的誤差，那么這種誤差 會不會對最后結果的判定產生影響呢？這就取決于近似誤差(“近似誤差”指的 是數字近似后產生的相對誤差，在與“選項差異”進行大小比較時，指其絕對值) 與選項差異之間的相對關系了，通俗的講就是：選項差別大，估算可大膽；選項 差別小，估算需謹慎。但我們需要的不僅僅是這樣一句定性的描述，我們更加需 要的

4、是定量的結論。首先，我們對兩個數字之間的“相對差異”進行一個定義：我們以兩個數 字當中較大的數字為真實值，較小的數字為估算值，這樣計算得到的“相對誤差” 的絕對值，我們稱之為這兩個數字之間的“相對差異”。譬如“4”和“5”，我 們以5為真實值，以4為估算值，得到的“相對誤差”為“-20%”，那么我們就 說“4和5之間的相對差異為20%”。再譬如說，9和12之間的相對差異為25%， 15和18之間的相對差異為16.7%等等。然后，我們對“選項差異”進行一個定義：所謂“選項差異”，是指四個 選項中任意兩個數值之間的“相對差異”的最小值。具體操作時，我們僅需要考 慮相鄰數字之間（是指大小相鄰，非而位

5、置相鄰）的相對差異即可。我們看下面 這樣的選項設置：A.20B.24C.28D.32我們考慮相鄰數字之間的相對差異：20與24之間的相對差異為16.7%，24 與28之間的相對差異為14.3%，28與32之間的相對差異為12.5%。那么，這樣 設置下的“選項差異”就是12.5%。事實上，我們對選項差異的計算也只需要得 到一個大致的值，并不一定需要計算得非常的精確。當我們知道了“選項差異”之后，我們就可以在近似計算中控制近似誤差， 使其不至于影響最后結果的判定。下面我們再來看一個例子：例 3 706.38 + 24.75=?A.20.5B.24.5C.28.5D.32.5答案C解析我們大致估算，

6、“選項差異”高于10%，那么在近似計算中產生1% 左右（或以下）的誤差不會影響到最后結果的判定：706.38 + 24.75700 + 25=28由“706.38”近似到“700”減小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增 加了1%左右，這樣的近似不會影響到最后結果的判定，因為“選項差異”在10% 以上。因此，我們選擇離28最近的數字“28.5”，選擇C。通過上面的分析我們知道，近似估算若要不影響最后結果的判定，“近似 誤差”必須比“選項差異”要小，但具體要小到什么程度呢?我們大概給出下面 這樣的參考：選項差異+近似誤 差4倍以下49倍950 倍50倍以上估算建議不建議使 用注意控制誤

7、差選擇近似 值忽略誤差我們進行的乘除計算，一般是23個數字的計算，當“選項差異”不到“近 似誤差”的4倍時，多個數字的“近似誤差”就很可能影響到最后結果的判定， 這時候我們不建議使用這種精度的估算。當“選項差異”為“近似誤差”的49 倍時，我們一般會進行“有向誤差分析”或者“誤差抵消”以提高精度，后面我 們將有專題進行討論。當“選項差異”為“近似誤差”的950倍時，選擇離估 算結果最近的值即可，正因如此，我們一般推薦大家將“近似誤差”控制在選項 差異的1/10左右（或以下），更高的精度計算一般是沒有必要的。當“近似誤 差”不到“選項差異”的“1/50”時，我們得到的結果完全可以直接代表最終正

8、確的答案。例 4 38716 84397=?B.40.74%D.49.34%A.35.37%C. 45.87%答案C解析初步估算，選項差異在在10%左右，我們可以對原數字進行1%左 右（或以下）的近似：38716 84397-3900084000-46%,選擇最接近的值， 即C。例 5 9.503X5.837=?A.50.44B.55.47C.59.98D.60.28答案B解析C和D之間的相對差異很小，但我們知道：9.503X5.83710X6=60, 所以D選項可以直接排除不予考慮。而A、B、C之間的“選項差異”在7%以 上，那么我們可以對原數字進行0.7%左右（或以下）的近似：9.503X

9、5.837-9.5 X5.8=55.1,選擇最接近的值，即B。例 6 6405179934=?A.4%B.6%C.8%D.10%答案C解析640579934-640080000=8%。“選項差異”為20%,近似誤差 低于1%。，因此誤差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最終的真實值。學到這里，我們把思路理清楚一下：我們在進行近似估算之前，先分析“選 項差異”，然后在近似中將“近似誤差”控制在“選項差異”的“1/10”左右（或 以下），然后選擇與計算結果最接近的選項即可。這樣一來，似乎所有的近似估 算都變得特別簡單，然而，如果有一個問題沒有解決的話，我們的計算仍然沒有 得到實質的簡化，那就是：如

10、何快速判斷近似估算的“近似誤差”（譬如說將 5.837近似為5.8，“近似誤差”到底是多少?），這個問題不解決，誤差分析 無從談起；這個問題掌握后，不僅“近似誤差”的問題解決了，“選項差異”的 估算也同時得到解決，因為兩者本質是相同的。誤差初步理論（3）（選自資料分析模塊寶典五版）五、近似誤差的估算在學“近似誤差”的估算之前，我們先強調兩個重要的問題：1. 我們對“近似誤差”的分析只需要也只能進行“估算”，精算是沒有 必要也是不可行的，實際操作中我們只需要給出一個大概的值即可；2.“近似誤差”一般分成兩檔：“1-10%”與“1-10%”，明顯低于1%很多的一般可以忽略，明顯高于10%很多的情形

11、在近似中一般也很難見 到。我們一般運用“左移兩位百分法”估算“1-10%”左右的“近似誤差”。譬 如，當我們判斷將“42.83”近似為“42”時產生了多大的“近似誤差”時，先將絕對誤差（不考慮正負號）“0.83”左移兩位變為“83.00”，再與原數“42.83” 進行比較，大概是2倍的關系，那么這個近似的近似誤差應該大約就是“-2%”。 如下圖所示：42 *3 - 42-0.S3將絕對誤差與 原數逆行比較人致為2倍 得到結果運用上而同樣的辦法，我們來判斷將歹近似為和（T所產生的相對誤差:我們再判斷將“乂近似為“NO。”所產生的相對誤差:%儲17 1，%5464550。+ 36將絕對誤差與 原數

12、進行比較546436-左$兩位,一+54643600不到I倍得到結果同樣的道理，我們采用1左移三位千分法”來估篁左右的近似誤差, 我們來判斷將42 S3近似為 W 所產生的相對誤差：我們再判斷格”46T近似為”-訪0“所產生的相將誤差:5464_小到1岱 一得到第果,打4叩門日總3”門冰川M通過上面六個例子的講述，相信大家已經掌握了 “近似誤差”估算的要領。 與此同時，“選項差異”的估算也是通過同樣的方法進行估算的，只是在具體操 作的時候有這樣兩點特別之處：“選項差異”關于“絕對誤差”的計算可能較為復雜，我們一般截取 前12位計算即可；“選項差異”很容易達到“相對誤差”很難達到的10%以上的差

13、異， 這時候一般通過計算“絕對誤差是真實值的幾分之一”或者運用類似 的“左移一位十分法”來進行估算。我們分析某題選項當中兩個數值“784.31”、“768.45”之間的相對差異， 兩個數相差約為“16.00”，將之與“784.31”做對比，通過“左移兩位百分法” 易知相對差異大約為2%左右。我們再分析某題選項當中兩個數值“6437.21”、“4829.32”之間的相對 差異，兩個數相差約為“1600.00”，將之與“6437.21”做對比，前者大概是后 者的1/4，得知相對差異大約為25%。我們再分析某題選項當中兩個數值“3158”、“1871”之間的相對差異， 兩個數相差約為“1300”，將

14、之左移一位（變成“13000”）與“3158”做對比， 大概是后者的4倍左右，得知相對差異大約為十分之4，即40%左右。至此，我們便真正掌握了“近似誤差”和“選項差異”的估算，在精度范 圍允許的前提下，我們便可以自由的進行截位估算了。六、有向誤差分析我們前面提到過，當“選項差異”為“近似誤差”的49倍時，對數字的 近似有可能會在一定程度上影響到對最后結果的判定，這時候我們一般有兩種辦 法來應對和修正，我們先介紹第一種辦法：有向誤差分析。所謂有向誤差分析，指的是截位估算的時候，通過對過程數字的相對誤差 來判斷最后估算結果相對誤差的符號，直白的說，就是判斷估算結果是大于真實 值還是小于真實值，從而

15、鎖定答案的方法。這是一種定性的分析方法，在后面的 章節里，我們還可能碰到定量的分析。我們用一個簡單的例子來闡明這個道理：例 7 5461 14831=?B.35%D.39%A.33%C.37%答案C解析5461 14831-540015000=36%這時候問題來了，與36%最接近的有兩個選項，這時候應該怎么選擇呢? 我們可以選用“有向誤差分析”來判定。通過簡單估算，“選項差異”超過5% （37%與39%之間的相對差異），將“5461”、“14831”分別近似為“5400”、 “15000”的近似誤差都在1%左右，于是我們可以確定，結果肯定在36%的附近， 也就是在35%與37%之間進行選擇。很

16、明顯，近似的過程縮小了分子而擴大了分 母，導致估算值36%小于真實值，因此我們選擇C。例 8 3390.5X36.69%X 12.73%=?A.143B.158C.174D.191答案B解析3390.5 X 36.69% X 12.73%-3333.333 X 36% X 12.50%=150“選項差異”在10%左右，“近似誤差”在2%以內，算得結果肯定在150 附近。由于近似過程中三個因子都被縮小，所以近似結果肯定小于真實值，那么 答案就應該比150要大，所以選擇B。七、誤差抵消與精度提高我們前面提到過：兩個數相乘（或相除），那么這兩個數的相對誤差之和 （或之差），近似為總體的相對誤差（事實

17、上，對于多于兩個數的數字的乘除也 是近似滿足的）。那么，如果我們在近似的時候，使得乘法中的相對誤差保持相 反的方向或者除法中的相對誤差保持相同的方向，就能有效的抵消誤差，從而提 高精度。而這便是我們應對“選項差異”不足夠大時的另外一個有效方法。我們再來看這兩個例子：例 9 5461 14831=?A.33%C.37%B.35%D.39%答案C解析5461 14831-550015000=36.7%,選擇 C。注釋截位近似時，被除數提高了1%左右，除數也提高了1%左右，兩者 相減，誤差將大大的被削減。例 10 3390.5X36.69%X 12.73%=?A.143B.158C.174D.191答案B解析3390.5 X 36.69% X12.73%-3500X 36% X12.50%=157.5,選擇 B注釋截位近似時，第一個因子提高了3-4%，第二個因子降低了2%以內， 第三個因子也降低了2%以內，三者相加，誤差