1、一 定積分的概念二 定積分的簡單性質三 定積分的計算四 定積分的應用五 廣義積分和函數 第五章 定積分及其應用定積分的演示背景來源面積的計算！矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積？一般圖形的面積是什么我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時可旋轉）“典型圖形”面積的計算問題就產生了定積分5.1.1兩個實際問題1. 曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積5.1.1 定積分的概念 解決步驟 :1) 分割.在區間 a , b 中任意插入 n 1 個分點用直線將曲邊梯形

2、分成 n 個小曲邊梯形;2) 近似.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3) 求和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分的演示1、分割 將a，b分割為n個小區間2、取介點 在每個小區間上任取一點i3、局部以直代曲 每個小區間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替4、作和：S=yx定積分的演示1、分割 將a，b分割為n個小區間2、取介點 在每個小區間上任取一點i3、局部以直代曲 每個小區間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替4、作和：S=5、取極限 a

3、 byx2. 變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內物體所經過的路程 s.解決步驟:1) 分割.將它分成在每個小段上物體經2) 近似.得已知速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 n 個小段過的路程為3) 求和.4) 取極限 .上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5.1.2 定積分概念任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數在區間上的定積分,即此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作機動 目錄 上頁 下頁 返回

4、 結束 積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數及積分區間有關 ,而與積分變量用什么字母表示無關 ,即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理1.可積的充分條件:例1. 利用定義計算定積分解:將 0,1 n 等分, 分點為取機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注 利用得兩端分別相加, 得即例2. 用定積分表示下列極限:解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 根據定積分定義可得如下近似計算方法:將 a , b 分

5、成 n 等份: (左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 公式, 復化求積公式等, 并有現成的數學軟件可供調用.性質1 常數因子可提到積分號外性質2 函數代數和的積分等于它們積分的代數和。5.2 定積分的簡單性質性質3 若在區間 a , b 上 f (x)K，則性質4 定積分的區間可加性 若 c 是 a , b 內的任一點，則當 a , b , c 的相對位置任意時, 例如則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質5 如果在區間 a , b 上 ，f (x) g (x)，則性質6 設在區間 a , b 上

6、（a1 時收斂 ; p1 時發散 .因此, 當 p 1 時, 反常積分收斂 , 其值為當 p1 時, 反常積分發散 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2. 計算廣義積分解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2、暇積分無界函數的積分引例:曲線所圍成的與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義2. 設而在點 a 的右鄰域內無界,存在 ,這時稱暇積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱暇積分發散 .類似地 , 若而在 b 的左鄰域內無界,若極限數 f (x) 在 （a , b 上的暇積分, 記作則定義機動 目錄 上頁 下頁 返回

7、結束 則稱此極限為函 而在點 c 的無界點常稱鄰域內無界 ,為瑕點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則定義下述解法是否正確: , 積分收斂例3. 計算暇積分解: 顯然瑕點為 a , 所以原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例4. 討論暇積分的收斂性 . 解:所以暇積分發散 .備用題 試證, 并求其值 .解:令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5.6.2、 函數1. 定義2. 性質(1) 遞推公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證: (分部積分)注意到:(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 習題課一、與定積分概念有關的問題的解法機動 目錄

8、上頁 下頁 返回 結束 二、有關定積分計算和證明的方法定積分及其相關問題 第五章 一、與定積分概念有關的問題的解法1. 用定積分概念與性質求極限2. 用定積分性質估值3. 與變限積分有關的問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例1. 求解: 因為時,所以利用夾逼準則得因為依賴于且1) 思考例1下列做法對嗎 ?利用積分中值定理原式不對 !機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明: 2) 此類問題放大或縮小時一般應保留含參數的項 . 如, P265 題4練習: 1.求極限解：原式2. 求極限提示：原式左邊= 右邊機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例3.估計下列積分值解: 因為即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例4. 證明證: 令則令得故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、有關定積分計算和證明的方法1. 熟練運用定積分計算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定積分的計算3. 利用各種積分技巧計算定積分4. 有關定積分命題的證明方法思考: 下列作法是否正確?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例9. 求解: 令則原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例1 求解:機動 目錄 上頁 下頁 返回