1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是（ ）ABCD2設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為( )ABCD13已知集合,則（ ）ABCD4已知集合,，則ABCD5若實數滿足不等式組，則的最大值為（ ）ABC3D26已知為定義在上的奇函數，且滿足當時，則（ ）ABCD7設函數（，為自然對數的底數）,定義在上的函數滿足，且當時，若存在，且為函數的一個零點，則實數的取值范圍為（ ）ABCD

3、8已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面平面ABCD，當點C到平面ABE的距離最大時，該四棱錐的體積為（ ）ABCD19已知集合，則=（ ）ABCD10已知函數，若不等式對任意的恒成立，則實數k的取值范圍是（ ）ABCD11集合,則集合的真子集的個數是A1個B3個C4個D7個12若復數滿足,則()ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設實數x，y滿足，則點表示的區域面積為_.14已知數列為正項等比數列，則的最小值為_.15已知雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率為_.16已知實數，對任意，有，且，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或

4、演算步驟。17（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現在市場上流行多種可實現語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯程度，從某地區隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數據如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多

5、少人？（2）根據列聯表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）已知橢圓：的兩個焦點是，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.19（12分）已知橢圓 的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點為橢圓上一點，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.

6、20（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且.（）求橢圓的標準方程；（）設直線與橢圓相交于、兩點，與圓相交于、兩點，求的取值范圍.21（12分）已知在中，角，的對邊分別為，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.22（10分）已知數列的前項和為，且滿足（）.（1）求數列的通項公式；（2）設（），數列的前項和.若對恒成立，求實數，的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】構造函數（），求導可得在上單調遞增,則 ,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有

7、2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2C【解析】試題分析：設，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當且僅當時取等號，故選C考點：1拋物線的簡單幾何性質；2均值不等式【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔題解題時一定要注意分析條件，根據條件，

8、利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題3B【解析】計算，再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數，故.故選：.【點睛】本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.4D【解析】因為,所以,故選D5C【解析】作出可行域，直線目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1故選：C【點睛】本題考查簡單的線性規劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形6C【解析】由題設條件，可得函數的周期是，再結合函數是奇函數的性質將轉化為函數

9、值，即可得到結論.【詳解】由題意，則函數的周期是，所以，又函數為上的奇函數，且當時，所以，.故選：C.【點睛】本題考查函數的周期性，由題設得函數的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.7D【解析】先構造函數，由題意判斷出函數的奇偶性，再對函數求導，判斷其單調性，進而可求出結果.【詳解】構造函數，因為，所以，所以為奇函數，當時，所以在上單調遞減，所以在R上單調遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，所以函數在時單調遞減，由選項知，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數與方程的綜合問題

10、，難度較大.8B【解析】過點E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面ABE，所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設，將表示成關于的函數，再求函數的最值，即可得答案.【詳解】過點E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形，所以.因為平面ABE，所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設，則，.因為，所以，所以，當時，等號成立.此時EH與ED重合，所以，.故選：B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最

11、值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意輔助線及面面垂直的應用.9D【解析】先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【詳解】，所以 .故選：D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.10A【解析】先求出函數在處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象，利用數形結合進行求解即可.【詳解】當時，所以函數在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象如下圖的所示：利用數形結合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數的

12、應用，屬于中檔題.11B【解析】由題意，結合集合，求得集合，得到集合中元素的個數，即可求解，得到答案【詳解】由題意，集合， 則，所以集合的真子集的個數為個，故選B【點睛】本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數個數的求解，其中作出集合的運算，得到集合，再由真子集個數的公式作出計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力12C【解析】把已知等式變形，利用復數代數形式的除法運算化簡，再由復數模的計算公式求解【詳解】解：由，得，故選C【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先畫出滿足條件的平面區域，求出交點坐標，

13、利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數x，y滿足表示的平面區域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎題.1427【解析】利用等比數列的性質求得，結合其下標和性質和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數列的性質可知，則，.當且僅當時取得最小值.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列的下標和性質，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎題.15【解析】根據雙曲線方程，可得漸近線方程，結合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關系表示，最后結合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其

14、一條漸近線經過點，即，則，由此可得.故答案為：.【點睛】本題考查由雙曲線的漸近線構建方程表示系數關系進而求離心率，屬于基礎題.16-1【解析】由二項式定理及展開式系數的求法得，又，所以，令得：，所以，得解【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【解析】（1）根據題意，知100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估

15、計該地區購買“小愛同學”的女性人數和購買“天貓精靈”的女性的人數，即可求得答案；（2）根據列聯表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知， ，有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【點睛】本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應用，考查

16、計算能力.18（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標，表示出，根據韋達定理即可求證為定值.【詳解】（1）因為，由橢圓的定義得，點在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設，直線的斜率為，設直線的方程為，聯立方程組，消去，整理得，所以，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.19 (1) .(2) 為定值.過程見解析.【解析】分析

17、：（1）焦距說明，用點差法可得.這樣可解得，得橢圓方程；（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時，直線方程為，設，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長公式計算出弦長，同時直線方程為，代入橢圓方程可得點坐標，從而計算出，最后計算即可.詳解：（1）由題意可知，設，代入橢圓可得：，兩式相減并整理可得，即. 又因為，代入上式可得，.又，所以， 故橢圓的方程為. （2）由題意可知，當為長軸時，為短半軸，此時； 否則，可設直線的方程為，聯立，消可得， 則有：， 所以設直線方程為，聯立，根據對稱性，不妨得，所以. 故，綜上所述，為定值. 點睛：設直線與橢圓相交于兩點，的中點為，則有，證明方法是點差法：即

18、把點坐標代入橢圓方程得，兩式相減，結合斜率公式可得.20（）；（）.【解析】（）利用勾股定理結合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進而可得出，則橢圓的標準方程可求；（）設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理與弦長公式求出，利用幾何法求得直線截圓所得弦長，可得出關于的函數表達式，利用不等式的性質可求得的取值范圍.【詳解】（）在橢圓上， ，又，橢圓的標準方程為；（）設點、，聯立消去，得，則，設圓的圓心到直線的距離為，則.，的取值范圍為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解，涉及韋達定理與弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.21（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當時，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據題意，得，.又，.解：（2）由（1）求解知，.當時，.又，.【點睛】本