1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設，分別為雙曲線（a0，b0）的左、右焦點，過點作圓 的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD2中，角的對邊分別為，若，則的面積為（ ）ABCD3設數列的各項均為正數，前項和為，且，則（ ）A128B65C64D63

2、4已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD5已知函數滿足，且，則不等式的解集為（ ）ABCD6小明有3本作業本，小波有4本作業本，將這7本作業本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業本的概率為( )ABCD7已知函數，若,且 ，則的取值范圍為（ ）ABCD8某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（ ）A100B1000C90D909設過定點的直線與橢圓：交于不同的兩點，若原點在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（

3、）ABCD10甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人已知：甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；乙不在原始森林，也不在遠古村寨；“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；丁不在百里絕壁，也不在遠古村寨若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（ ）A甲B乙C丙D丁11已知橢圓：的左，右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，成等差數列，則的離心率為（ ）ABCD12盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為

4、( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在直角坐標系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標為_.14設等比數列的前項和為，若，則數列的公比是 15有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為_.16（5分）如圖是一個算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為_ 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數 .（1）若在 處導數相等，證明： ；（2）若對于任意 ，直線 與曲線都有唯一公共點，求實數的取值范圍.18（12分）已知函數.（1）討論函數的極值；（2）記關于

5、的方程的兩根分別為，求證：.19（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABAF2EF2，點P在棱DF上（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角DAPC的正弦值為，求PF的長度20（12分）健身館某項目收費標準為每次60元，現推出會員優惠活動：具體收費標準如下：現隨機抽取了100為會員統計它們的消費次數，得到數據如下：假設該項目的成本為每次30元，根據給出的數據回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設每個會員每星期最多消費

6、4次，以事件發生的頻率作為相應事件的概率，從會員中隨機抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數學期望21（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，BAD60，AB=PA4，E是PA的中點，AC，BD交于點O.（1）求證：OE平面PBC；（2）求三棱錐EPBD的體積.22（10分）設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

7、是符合題目要求的。1C【解析】設過點作圓 的切線的切點為，根據切線的性質可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設過點作圓 的切線的切點為，所以是中點，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題.2A【解析】先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計算【詳解】由題意，由得，故選：A【點睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數關系，兩角和的正弦公式與誘導公式，解題時要根據已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解3D【解析】根據，得到，即，由等比數列的

8、定義知數列是等比數列，然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為，所以，所以，所以數列是等比數列，又因為，所以，.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的定義及等比數列的前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4A【解析】建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關系通過數量積的坐標表示，將表示成與的關系式，消元，轉化成或的二次函數，利用二次函數的相關知識，求出其值域，即為的取值范圍【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線 ， 設點， 所以 由得 ，即 ，所以，由及，解得，由二次函數的圖像知，所以的取值范圍是故選A【點睛】本題主要考查解析法在向量中的

9、應用，以及轉化與化歸思想的運用5B【解析】構造函數,利用導數研究函數的單調性，即可得到結論.【詳解】設,則函數的導數,，即函數為減函數,，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數單調性，根據函數的單調性解不等式，考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.6A【解析】利用計算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個數，為基本事件總數.【詳解】從7本作業本中任取兩本共有種不同的結果，其中，小明取到的均是自己的作業本有種不同結果，由古典概型的概率計算公式，小明取到的均是自己的作業本的概率為.故選：A.【點睛】本題考查古典概

10、型的概率計算問題，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.7A【解析】分析：作出函數的圖象，利用消元法轉化為關于的函數，構造函數求得函數的導數，利用導數研究函數的單調性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數取得最小值，當時，；當時，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數的應用，構造新函數，求解新函數的導數，利用導數研究新函數的單調性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉化與化歸的數學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.8A【解析】利用頻率分布直方

11、圖得到支出在的同學的頻率，再結合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.9D【解析】設直線：，由原點在以為直徑的圓的外部，可得，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設直線：，由，得，解得或，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯立方程組，通過韋達定理建立起目標的關系式

12、，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題10D【解析】根據演繹推理進行判斷【詳解】由可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由可知必有甲去了原始森林，由可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁故選：D【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎11C【解析】根據等差數列的性質設出，利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，成等差數列，設，.由于，據勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查

13、等差數列的性質，屬于中檔題.12C【解析】先計算出總的基本事件的個數，再計算出兩張都沒獲獎的個數，根據古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系，意在考查數學建模、數學計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐

14、標求向量的模，屬于中檔題.14.【解析】當q=1時，.當時，所以.15【解析】試題分析：從編號分別為1，1，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，有種不同的結果，由于是隨機取出的，所以每個結果出現的可能性是相等的；設事件為“取出球的編號互不相同”，則事件包含了個基本事件，所以.考點：1.計數原理；1古典概型.16或【解析】依題意，當時，由，即，解得；當時，由，解得或(舍去)綜上，得或三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（I）見解析（II）【解析】（1）由題x0，由f（x）在x=x1，x2（x1x2）處導數相等，得到，得，由韋達定理得，由基本不等式得，得

15、，由題意得，令,則，令，利用導數性質能證明（2）由得，令，利用反證法可證明證明恒成立由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數，得，令，由此可求的取值范圍.【詳解】（I）令，得，由韋達定理得即，得令,則，令，則，得（II）由得令，則，下面先證明恒成立若存在，使得，且當自變量充分大時，所以存在，使得，取，則與至少有兩個交點，矛盾由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數，得，令，則，得【點睛】本題考查函數的單調性，導數的運算及其應用，同時考查邏輯思維能力和綜合應用能力屬難題18（1）見解析； （2）見解析【解析】（1）對函數求導，對參數討論，得函數單調區間，進而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化

16、簡換元，構造新函數利用函數單調性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數在上單調遞增，此時函數既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當時，單調遞增；當時，單調遞減，此時函數有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當時，單調遞增；當時，單調遞減，此時函數有極大值，無極小值；（2）依題意，則，故，；要證：，即證，即證：，即證，設，只需證：，設，則，故在上單調遞增，故，即，故.【點睛】本題考查函數極值及利用導數證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉化為證明一元不等式，再轉化為函數最值問題.利用導數證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉化為證明；(2)若與的最值不易

17、求出，可構造函數，然后根據函數 的單調性或最值，證明.19（1）（2）【解析】（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，則（1，0，2），（2，1，1），計算夾角得到答案.（2）設，01，計算P（0，2，22），計算平面APC的法向量（1，1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根據夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）BAF90，AFAB，又平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，AF平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，AD2，ABAF2EF2，P是DF的中點，B（2，0，

18、0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（1，0，2），（2，1，1），設異面直線BE與CP所成角的平面角為，則cos，異面直線BE與CP所成角的余弦值為（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），設P（a，b，c），01，即（a，b，c2）（0，2，2），解得a0，b2，c22，P（0，2，22），（0，2，22），（2，2，0），設平面APC的法向量（x，y，z），則，取x1，得（1，1，），平面ADP的法向量（1，0，0），二面角DAPC的正弦值為，|cos|，解得，P（0，），PF的長度|PF|【點睛】本題考查了異面直線夾角，根據二面角求長度，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】（1）根據頻數計算頻率，得出概率；（2）根據優惠標準計算平均利潤；（3）求出各種情況對應的的值和概率，得出分布列，從而計算出數學期望【詳解】解：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率；（2）第1次消費利潤；第2次消費利潤；第3次消費利潤；第4次消費利潤；這4次消費獲得的平均利潤：（3）1次消費利潤是27，概率是；2次消費利潤是，概率是；3次消費利潤是，概率是；4次消費利潤是，概率是；由題意：故分布列為： 0 期望為: 【點睛】本題考查概率、平均利潤、離散型