1、第十一章 概率與統(tǒng)計(jì)離散型隨機(jī)變量的期望與方差第 講2（第一課時(shí)）1 考 點(diǎn) 搜 索數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式期望與方差的基本性質(zhì)，二項(xiàng)分布的期望與方差公式高 考猜 想1. 以實(shí)際問題為背景，求隨機(jī)變量的期望與方差.2. 利用期望和方差對實(shí)際問題進(jìn)行決策與比較.2 1. 若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 則稱E=_為數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.x1x2xnPP1P2Pnx1p1+x2p2+xnpn+32. 如果離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是x1，x2 ，xn，且取這些值的概率分別為p1，p2，pn，則稱D=叫做隨機(jī)變量的方差.D的算術(shù)平方根D叫做隨機(jī)變量的_，記作_.(x1-

2、E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+標(biāo)準(zhǔn)差43. 期望與方差的基本性質(zhì)：(1)E(a+b)=_，D(a+b)=_;(2)若B(n，p)，則E=_，D=_.aE+b a2D np np(1-p) 51.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為，則( ) A. E=3.5，D=3.52B. E=3.5，D=C. E=3.5，D=3.5D. E=3.5，D=B6解：可以取1，2，3，4，5，6.P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=16，所以D=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)272.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的

3、事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是( )A. E=0.1B. D=0.1C. P(=k)=0.01k0.9910-kD. P(=k)=解：B(n，p)，E=100.01=0.1，P(=k)= A83.有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動包裝機(jī) 的質(zhì)量較好.解：E1=E2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣；D1D2說明甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定，所以乙機(jī)質(zhì)量好.乙9題型1 利用基本公式求數(shù)學(xué)期望1. (1)某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這3個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游

4、覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響.設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值，求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)把4個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中去，設(shè)表示空盒子的個(gè)數(shù)，求E.10分析：第(2)小題中每個(gè)球投入到每個(gè)盒子的可能性是相等的，所以總的投球方法數(shù)為44，空盒子的個(gè)數(shù)可能為0個(gè)，此時(shí)投球方法數(shù)為 ，所以 ；空盒子的個(gè)數(shù)為1時(shí)，此時(shí)投球方法數(shù)為 所以 .同樣可分析得出P(=2)，P(=3).解：(1)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”“客人游覽乙景點(diǎn)”“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A、B、C，由已知A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)=0.6.11據(jù)題意，的可能取值為1，3.其

5、中P(=3)=P(ABC)+P()=20.40.50.6=0.24.P(=1)=1-0.24=0.76.所以E=10.76+30.24=1.48.(2)的所有可能的取值為0，1，2，3.12 所以的分布列為 所以 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.計(jì)算數(shù)學(xué)期望可以在求得分布列后，直接按公式計(jì)算即可.13 某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎金10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金

6、總額.求：(1)X的分布列；(2)X的數(shù)學(xué)期望.14解：(1)X的所有可能取值為0，10，20，50，60.15 故X的分布列為 (2)16 題型2 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望2. 為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的 ，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.17解:記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai,Bi,Ci，i=1，2，3.由題意知A1,A2,A3相互獨(dú)立，B1,B2,B3相互獨(dú)

7、立，C1,C2,C3相互獨(dú)立，Ai,Bj,Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)= ，P(Bi)= ，P(Ci)= .18解法1：設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知B(3， )，且=3-.所以19 故的分布列為 的數(shù)學(xué)期望20解法2：第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i=1,2,3，由已知，D1，D2，D3相互獨(dú)立，且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=所以B(3, ),即21 故的分布列為 的數(shù)學(xué)期望 點(diǎn)評：若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)式分布時(shí)，可由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式(若B(n，p)，則E=np)

8、更簡便的求得期望.22為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場，騰訊公司為QQ用戶推出了多款QQ應(yīng)用，如“QQ農(nóng)場”“QQ音樂”“QQ讀書”等市場調(diào)查表明，QQ用戶在選擇以上三種應(yīng)用時(shí)，選擇農(nóng)場、音樂、讀書的概率分別為、，現(xiàn)有甲、乙、丙三位QQ用戶獨(dú)立任意選擇以上三種應(yīng)用中的一種進(jìn)行添加(1)求三人所選擇的應(yīng)用互不相同的概率；(2)記為三人中選擇的應(yīng)用是“QQ農(nóng)場”或“QQ音樂”的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望23解：記第i名用戶選擇的應(yīng)用是“QQ農(nóng)場”“QQ音樂”“QQ讀書”分別為事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，且Ai，Bj，C

9、k(i，j，k=1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.(1)他們選擇的應(yīng)用互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=.24解：(2)設(shè)3位用戶選擇的應(yīng)用是“QQ讀書”的人數(shù)是，由已知B(3，)，且=3-，2526題型3 利用分解與合成原理求數(shù)學(xué)期望3. 甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，甲隊(duì)隊(duì)員是A1，A2，A3，乙隊(duì)隊(duì)員是B1，B2，B3.根據(jù)以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：A1勝B1的概率為 ，A2勝B2的概率為 ，A3勝B3的概率為 ，按上述對陣方式出場，每場比賽勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)

10、得0分，設(shè)甲、乙兩隊(duì)最后所得總分分別為、，求E、E.27解法1：根據(jù)題意，的可能取值為3，2，1，0，且+=3.所以28因?yàn)?-+3，所以解法2：設(shè)甲隊(duì)隊(duì)員Ai(i=1，2，3)每場的得分為i，則=1+2+3.因?yàn)?的可能取值為1，0，且29所以同理所以30點(diǎn)評：如果兩個(gè)隨機(jī)變量、滿足一定的關(guān)系式：=a+b，則E(a+b)=aE+b，利用這個(gè)公式可方便快捷地求相關(guān)隨機(jī)變量的期望.31 某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班.若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如：ACD算作兩個(gè)路段，其中路段AC、CD發(fā)生堵車事件的概率分別為 ).若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望E.32解：設(shè)1、2、3分別為路段AC、CF、FB中遇到堵車的次數(shù)，則其可能取值都為1，0，且=1+2+3.因?yàn)樗?31. 對離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.(2)E是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量是可變的，可取不同值