1、第七章 四階問題（板的彎曲）在對中厚板進行分析時，重點將介紹位移和轉角各自獨立插值的板單元，這種板單元考慮了板的剪切變形。而且，彎曲問題可以降階為二階問題來描述。（對插值函數要求CO連續）在常見的工程結構中，板或板梁結構較為普遍；有限元分析中板可分為薄板和中厚板；對薄板分析時采用了克希霍夫（Kirchhoff）假設： 板中面上任一點（x, y）允許有三個位移分量，其中面內位移u、v 構成一平面應力問題（二階問題）。橫向位移則構成一個四階問題（彎曲問題）。對于線性問題（小撓度），這兩個問題之間沒有耦合。可以分別進行研究，再將結果迭加。7-1 薄板小撓度彎曲的基本方程x,uy,vz,w圖z,wxy

2、圖q(x,y)MxxyMxyMxyMy設板中面的橫向位移（撓度）為w (x, y) 1. 幾何關系中面法線繞 x, y 軸的轉角(7-1-1)(7-1-2)曲率2. 彈性關系(7-1-3)(7-1-4) 3. 平衡方程板在單位面積上受到的橫向載荷為q(x,y)， z,wxy圖q(x,y)MxxyMxyMxyMy(7-1-5)以位移 w 為基本未知量的平衡方程 (7-1-6)四階橢圓型方程雙調和方程 橢圓型方程?雙調和方程?調和方程?圖ns4. 邊界條件設邊界的切線方向為 s 。外法線方向為 n 則可將邊界條件分為四類:(1) 撓度 w 的邊界條件(7-1-7)(2) 轉角邊界條件(7-1-8)

3、(7-1-9)(7-1-10)(3) 彎矩邊界條件 (4) 剪力邊界條件7- 2 有限元解法1. 廣義解 在所有滿足強制性邊界條件(即關于w, 的邊界條件)和協調條件（ 在上連續）的可能位移中使總勢能泛函 取駐值的位移 w 稱為板彎曲問題在 Ritz 意義下的廣義解。 廣義解的容許空間：H2()2. 收斂條件位移場應滿足以下條件: （）在單元內連續；（）包括足夠的剛體位移模式 （） 能夠描述任何一種常曲率狀態 nsoxy圖（4） 協調條件 四階問題要求穿過單元邊界時 連續。但如果沿邊界的局部坐標系 n s 考察。若穿過單元邊界時 w 連續，則一定連續。故協調條件更恰當的提法應是：穿過單元邊界時

4、w（位移）和（轉角）連續。 上述四個條件為有限元解收斂到真實解的充分條件，其中條件（1）（3）為必要條件。不滿足條件（）的單元，只有能夠通過分片檢驗時才能保證收斂性。 為了同時保證位移和轉角的協調性，一般采用Hermite型插值。這樣至少可以保證節點處的協調性。既便如此。我們將會看到：實現協調性仍然是一件困難的事。 7- 3 十二自由度矩形元（元）nnnnyxo圖節點: 取矩形的四個角點。1. 單元和節點參數單元： 邊與 x、y 軸平行的矩形；節點參數：2. 單元位移場(7-3-1)其中（廣義坐標）可由個節點參數唯一定出。12 對結點參數12 個代數方程12 個待定系數nnnnyxo圖3. 收

5、斂性分析 位移場為 x、y 的四次多項式。完全到 x、y 的三次項。故收斂條件（1）（3）可以滿足。下面分析協調性。以-邊為例。 (7-3-1) （2）沿、邊轉角 是 y 的三次函數，不能僅由節點、處剩下的兩個節點參數 所決定。故沿不協調。 沿 2-3 邊的位移函數: （1） 沿-邊：x = 常數。位移 w 是 y 的三次多項式。可以完全被節點、處的四個節點參數 所決定。故沿邊位移 w 是協調的。 沿 2-3 邊的轉角函數: 在廣義解 wH3() 的情況下可以在理論上證明有限元解的收斂性。23可以決定出沿邊3線性變化的、協調的 ， 在節點處 為零，且仍然包括 y 的二次項和三次項，而其中的偶次

6、項對通過分片檢驗是不利的，但是由于單元是形狀十分規則的矩形，仍然可以通過分片檢驗； 元是出現較早的一種單元，雖然它不滿足轉角協調條件，但可以保證收斂性，加上它的單元剛度矩陣的元素可以用精確的解析表達式求得。這種單元在自編程序中得到廣泛應用。7- 4 十六自由度矩形單元（元）實現協調條件的一個辦法是引入高階導數做為節點參數 nnnnyxo圖6節點: 取矩形的四個角點。單元： 邊與 x、y 軸平行的矩形；節點參數：1. 單元和節點參數2. 單元位移場(7-4-1)其中（廣義坐標）可由6個節點參數唯一定出。16 對結點參數16 個代數方程16 個待定系數 3. 收斂性分析nnnnyxo圖6(7-4-

7、1) 位移場是 x、y 的六次多項式，完全到 x、y 的三次項。對于x 和 y 每一個變量而言，次數不超過三，這項剛好構成 x、y 的雙三次多項式。顯然，收斂條件所要求的（1）（3）得到滿足。 （1）沿邊 x 常數，w 是y 的三次函數； （2） 是 y 的三次函數； （3）沿邊 w 和 都滿足協調要求。 在節點處不能保證高階導數連續（例如板的材料、厚度有突變）在強制邊界條件的邊界上與高階導數有關的節點參數如何處理？不利因素：7- 5 常矩三角元(Morley元)nsoxy圖節點: 、 位于三個角點 、 位于各邊中點。 單元： 任意三角形；節點參數：1. 單元和節點參數2. 單元位移場(7-5

8、-1)在單元內曲率和扭率為常數，故稱為常矩三角元。 由 定出6個待定系數。. 收斂性討論nsoxy圖對于Morley元僅在廣義解的可微性比較好(wH4() )的情況下證明了它的收斂性，對單元的形狀則不必加以限制。 （1）單元位移場 w 為 x、y 的完全二次多項式。收斂條件所要求的（1）（3）得滿足。 （2）沿-邊 w 是 s 的二次函數，不能僅由w1、w2 所決定；（3） 是 s 的一次函數，不能僅由 所決定。(7-5-1) 沿-邊按線性變化，平均值為 ，它的不協調性不會成為通過分片檢驗的障礙。 w1、w2 可以決定沿邊界線性變化的、協調的 ，在節點處為零， 仍然是 s 的二次函數，偶次項對

9、通過分片檢驗是不利的。7-6 九自由度三角元（ Zienkiewicz 三角元）nsoxy圖 8(7-6-1)由 定出9個待定系數。節點: 、 位于三個角點單元： 任意三角形；節點參數：1. 單元和節點參數2. 單元位移場解決辦法是：放棄上述限制，直接構造各節點參數的形函數。借助面積坐標 優點：是剛體位移和常應變條件可以明顯地得到滿足。缺陷： x2y 與 xy2 項系數相等的做法使單元的九個節點參數之間實際上是不獨立的。Oxy圖9M(x,y)（1）面積坐標和求導公式 設單元三個節點的序號為、為單元內一點。三角形的面積點的面積坐標 節點的面積坐標為：（，）節點的面積坐標為：（，）節點的面積坐標為

10、：（，）點的面積坐標（L1、L2、L3）和總體坐標（ x、y ）之間存在著線性關系（7-6-2）求導關系(7-6-3)(7-6-4)（2） 位移場和形函數結點參數： 其中：位移場：(7-6-5 )形函數的表達式為： 單元位移場 w 是x、y 的三次多項式 。 w 不可能是 x、y的完全三次多項式。 能否精確地表達任何一種按 x、y 二次多項式分布的位移場? 的系數3. 收斂性分析nsOxy圖10( 只需要分析協調性 ) 以邊為例，設此邊與x軸夾角為，建立局部坐標系ns。 w 是 s 的三次函數 位移 w 協調 ;是 s 的二次函數 不協調。線性函數： 在節點、處為零，且是 s 的二次函數。偶次

11、項對通過分片檢驗是不利的。 圖 只有當所劃分的三角形單元的三條邊與三個已知方向平行時才能通過“分片檢驗” (圖)，在廣義解 w H() 的情況下可以從理論上證明有限元解的收斂性。在一定的條件下可以保證有限元解的收斂性。 nsoxy圖nsoxy圖 8(Morley元)（Zienkiewicz 三角元）7-7 二十一自由度三角元（Argyris三角元）nsoxy圖節點: 、 位于三個角點， 4 、5 、6 邊中點。單元： 任意三角形；節點參數：1. 單元和節點參數2. 單元位移場（7-7-1）3. 協調性分析nsoxy圖(邊 )w 是 s 的五次函數 是 s 的四次函數 位移 w 和轉角 都滿足協

12、調性要求。 高階導數做為節點參數也有其不利的一面 分析復雜結構時有可能導致未知數個數過多、計算量過大。7- 8 線性曲率協調三角元（單元） 這是一族單元，這族單元不引入高階導數做為節點參數。而是在單元內再次利用“分片插值”的方法實現協調條件。 1. 基本單元 (LCCT-12)nsoxy圖 13節點: 、 位于三個角點， 4 、5 、6 邊中點。單元共有個自由度（外自由度）。稱為LCCT12 oxy圖14o在單元內再取一個內節點0 結點參數：將原三角形分成三個子三角形。 oo 每個三角形共有個節點參數，對于三角形 它們是： 在每個子三角形內可以假設位移w 是 x、y 的完全三次多項式； 這樣的

13、位移場可以描述每個子三角形的任何一種剛體位移和常曲率狀態； 整個單元的剛體位移和常曲率條件也可以得到滿足。. 協調性分析o子三角形, 沿原單元的邊 w 是 s 的三次函數 是 s 的二次函數 位移和轉角都滿足協調條件 。onsons邊 w 是 s 的三次函數 是 s 的二次函數 無法確定一個二次函數。oooons 在單元內部（包括子三角形內部和子三角形之間）w 連續，沿單元的三條邊 協調，但子三角形之間 還未滿足協調要求。 4. 約束條件和內自由度凝聚設點、分別為、的中點。 (7-8-1)附加三個強制 條件：子三角形之間也協調。(7-8-1)消去內自由度，（靜凝聚）子三角形之間協調。LCCT1

14、2單元的位移場的特征歸納如下：（iii）可以描述任何一種剛體位移和常曲率狀態。（i）在每個子三角形內w 是 x、y 的三次多項式；（ii）單元之間以及子單元之間滿足 w 和 的協調條件；有限元解的收斂。5. LCCT12族的其它單元圖 LCCT-11 (a)LCCT-10 (b)LCCT-9 (c)LCCT1單元 LCCT10 單元 LCCT9 單元 LCCT單元比LCCT12單元多加了三個約束，剛度增加、因此精度低于LCCT12單元。 6. LCCT1單元圖圖靜凝聚法消去個內自由度個外自由度進入總體平衡方程。個LCCT1單元組合成四邊形單元。共有個自由度。 內自由度個; 外自由度個，稱為單元。 協調單元，沒有取高階導數做為節點參數，精度也比較好。缺點是單元分析過程比較復雜，程序相當長，自編程序較為困難。 用個LCCT9單元拼成一個四邊形單元（圖）。這個單元也只有個外自由度，表面上與Q19單元十分類似，但精度較后者低，好處是僅需要凝聚個內自由度，化費機時比Q19少。 z,woy